Cayley-Klein-metriikka

Matematiikan, joka on Cayley-Klein metriikka on metrinen määritelty komplementti on kiinteä Quadric on projektiivisen tilaa , absoluuttinen Quadric, käyttäen kaksoissuhde . Tämän mittarin rakensi Arthur Cayley vuonna 1859; rakentamisen valmistui Felix Klein vuosina 1871-1873. Cayley-Klein -metriikat tarjoavat yhtenäisen kehyksen erilaisille eukleideisille ja muille kuin eukleideisille geometrioille ja määrittelevät etäisyyden käsitteen kaikissa tapauksissa samalla konstruktiolla.

Historiallinen

Cayley-Kleinin rakentamisen perustan muodostaneista ideoista on Karl von Staudtin vuonna 1847 luoma " suihkualgebra (sisään) " , lähestymistapa geometriaan, joka ei sisällä etäisyyksiä tai kulmia ja käyttää vain harmonisen jaon käsitteitä. ja ristisuhde . Vuonna 1853, Edmond Laguerre saadaan toinen tärkeä tulos (in) , joka osoittaa, että kulma kahden rivit (Euklidinen geometria) voidaan laskea rajat suhde. Lopuksi, vuonna 1859, Arthur Cayley muotoili artikkelissaan etäisyyden teoriasta suhteet, jotka ilmaisevat etäisyydet laskelmista ( projektiivisessa geometriassa ), jotka liittyvät hänen neliöihin, jotka hän on määritellyt tutkitun geometrian absoluuttiseksi . Felix Klein , vuosien 1871 ja 1873 artikkeleissa, sitten sarjaan teoksia, otti von Staudtin työn, poisti viimeiset viittaukset euklidealaiseen etäisyyteen ja yhdisti sen Cayleyn teoriaan määritellessään uuden metrikan ristin logaritmina -suhde, joka eliminoi pyöreän määrityksen riskin ja osoittaa, että ei-euklidiset geometriat, kuten euklidisetkin geometriat, voidaan määritellä tästä mittarista.

Geometria Cayley-Klein (periaatteiden mukaisesti Erlangen-ohjelma ) on tutkimuksen isometria ryhmä , jotta näitä tietoja; todistamme, että tämä on projektiivisten muunnosten alaryhmä, joka jättää absoluuttisen kvadrisen globaalisti invariantin ; jokainen neliön valinta vastaa yhtä klassisista geometrioista ( euklidinen , hyperbolinen , elliptinen jne.).

Määritelmä

Me korjata Quadric Q on projektiivisen tilaa E kentällä komplekseja; Q: ta kutsutaan määritettävän geometrian absoluuttiseksi kvadriikaksi . Jos a ja b ovat kaksi erillistä pistettä E: ssä , ei Q: ssä , viiva ( a, b ) leikkaa Q : n kahdessa muussa pisteessä p ja q . Cayley - Klein etäisyys d ( , b ) on verrannollinen logaritmiin kaksoissuhde ( a, b, p, q ): , jossa on vakio. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Jos ristisuhde on positiivinen, on todellinen (tämä vastaa hyperbolista geometriaa ; arvo 1/2 antaa kaarevuuden ); jos ei, on välttämätöntä ottaa monimutkainen (yksi on silloin elliptisen geometrian tapauksessa ). $VS$ ${\ displaystyle K = -1}$ $VS$

Algebrallisia laskelmia varten (ja käyttämällä nykyaikaisempaa esitysmuotoa) sijoittuu homogeenisiin koordinaatteihin ja korjataan neliöllinen muoto ; merkitsemme siihen liittyvää bilineaarista muotoa , jota kutsutaan tässä yhteydessä polaariseksi muodoksi , jonka määrittelee . Absoluuttinen Quadric sitten yhtälö (spesifisesti , ollessa koordinaattipiste , jossa tapauksessa kone ja tilaan, lisäksi matriisi on symmetrinen, me ); Sitten todistaa, että Cayley - Klein etäisyys pisteiden ja on: ${\ displaystyle Q}$ $B$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ vasen (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ oikea)}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ summa q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $x$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alfa, \ beta \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $x$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}}

; tämän merkinnän kanssa .

{\ displaystyle B (x, y) = \ summa q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Ottaen yksinkertaisuuden, päätellään, että hyperbolisen tapaus: ${\ displaystyle C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operaattorin nimi {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

ja elliptisessä tapauksessa (ottaen ): ${\ displaystyle C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operaattorin nimi {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}}

Absoluuttisen neliön normaalit muodot

Todellisessa tapauksessa mikä tahansa yhtälön määrittämä kvadriisi voidaan laittaa muuttujan (lineaarisella) muutoksella muodossa , jossa ( Gaussin vähennys ), kunkin tyypin lukumäärä ei riipu muuttujan muutoksesta lain mukaan. Sylvesterin hitaus . Saamme tavallisesta euklidisesta avaruudesta seuraavan luokituksen (katso neliöllistä artikkelia ja yksityiskohtaisia artikkeleita): ${\ displaystyle Q (x) = \ summa q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ summa \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ sisään \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Nelikulmioiden luokittelu I. Säännölliset kvadriikat . 1 .. Tyhjä pinta.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Pinnat ovat topologisesti samanlaisia kuin pallo.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Ellipsoidi (ei leikkausta ääretön tason kanssa). b) elliptinen paraboloidi (tangentti äärettömyyden tasolle). c) Hyperboloidi, jossa on kaksi kerrosta (erottuva ääretön taso). 3 .. Pinnat ovat topologisesti samanlaisia kuin Klein-pullo .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Yhden arkin hyperboloidi (sekantti äärettömän tason kanssa). b) Hyperbolinen paraboloidi (tangentti äärettömän tason kanssa). II. Käpyjä . 1 .. Tyhjät kartiot.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Kartio ylhäältä alaspäin. b) Tyhjä sylinteri (kärki tasossa äärettömässä). 2 .. Tavalliset "käpyjä".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Kartio b) elliptinen sylinteri (kärki tasossa äärettömässä) c) Parabolinen sylinteri (kaksoisviiva äärettömässä tasossa) d) Hyperbolinen sylinteri (kaksi viivaa tasossa äärettömässä) III. Suunnitelmien parit . 1 .. Konjugoidut kuvitteelliset suunnitelmat.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Risteys rajallisella etäisyydellä. b) Rinnakkaistasot. 2 .. Todelliset suunnitelmat.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Risteys rajallisella etäisyydellä. b) Rinnakkaistasot. c) Taso äärellisellä etäisyydellä ja äärettömyyden taso. IV. Kaksinkertainen suunnitelma. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Kaksoistaso rajallisella etäisyydellä. b) Ääretön suunnitelma lasketaan kahdesti.

Muunnokset projektiivinen bijective (jäljempänä collineations ) poistuva muuttumattomia nämä muodot liittyvät Möbiuskuvausten . Nämä muodot johtavat yksinkertaisiin yhtälöihin Cayley-Klein -matkalle; euklidisella tasolla on siten absoluuttisesti isotrooppiset viivat (tai, jos halutaan, sykliset pisteet ). Samoin hyperbolisella tasolla on absoluuttinen yksikköympyrä ja Cayley-Klein-etäisyys . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operaattorin nimi {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Suhteellisuus

Vuosien 1919 ja 1920 luennoissaan (julkaistiin postuumisti vuonna 1926) matematiikan historiasta Klein kirjoitti:

"Tapaus (tai pysyä kolmiulotteisena ja käyttää homogeenisia koordinaatteja ) on viime aikoina saanut erityisen merkityksen suhteellisuusteorian avulla . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Toisin sanoen, kartiomainen (tai Quadric) Absoluuttinen hyperbolinen geometria, tai vastaa välein tai aika-avaruuden , ja jättäen muuttumattoman muunnokset absoluuttinen Quadric ovat vastaten Lorentz muutoksia . Samoin ympyrän tai yksikköpallon yhtälöt hyperbolisessa geometriassa vastaavat fyysisiä nopeuksia tai , joita suhteellisuusteollisuudessa rajoittaa valon nopeus c , minkä vuoksi minkä tahansa fyysisen nopeusvektorin v suhteen v / c on pysyttävä yksikön pallon sisällä, joka muodostaa absoluuttisen geometrian. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ oikea) ^ {2} = 1}$

Muita näkökohtia tästä suhteesta hyperbolisen avaruuden Cayley-Klein-mittarin ja erityisen suhteellisuusteollisuuden Minkowski-tilan välillä Klein korosti vuonna 1910, samoin kuin hänen luentojensa 1928-painoksessa. Ei-euklidisesta geometriasta .

CK-affiinigeometria

Vuonna 2008 Horst Martini ja Margarita Spirova yleistivät ensimmäisen Clifford- lauseet ympyröistä (in) ja muista Euklidean geometrian lauseista käyttäen affiinista geometriaa, joka liittyy Cayley-Kleinin metriikkaan: idea on soveltaa samaa rakennetta rappeutuneisiin absoluuttisiin kartioihin ( muodostuu viivan ja äärettömän viivan tulosta); kompleksien rooli euklidisessa geometriassa on jakautunut jakamaan komplekseja niiden rakenteissa.

Viitteet

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Cayley - Klein metric ” ( katso luettelo tekijöistä ) .

Klein & Rosemann (1928), s. 163
Klein & Rosemann (1928), s. 138
Cayley (1859), s. 82, §209--229
Klein & Rosemann (1928), s. 303
Pierpont (1930), s. 67 jt
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), s. 163, 304
Russell (1898), sivu 32
Campo & Papadopoulos (2014)
Jos tämä viiva on tangentti Q: lle , meillä on p = q .
Klein & Rosemann (1928), s. 164
Klein & Rosemann (1928), s. 167ff
Veblen & Young (1918), s. 366
Veblen & Young (1918), s. 372
Klein & Rosemann (1928), s. 68; katso myös luokitukset sivuilla 70, 72, 74, 85 ja 92.
Klein & Rosemann (1928), luku III
Klein & Rosemann (1928), s. 132f
Klein & Rosemann (1928), s. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), s. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), XI luku, 5 kohta
Martini ja Spirova (2008)

Bibliografia

Ensisijaiset lähteet

(de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F.Korn,1847( lue verkossa )
Edmond Laguerre , " Huomautus fokusten teoriasta ", New Annals of Mathics , voi. 12,1853, s. 57–66 ( lue verkossa )
(en) Arthur Cayley , " Kuudes muistelmateos kvarteilla " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , voi. 149,1859, s. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , lue verkossa )
(de) Felix Klein , ” Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie ” , Mathematische Annalen , voi. 4, n o 4,1871, s. 573–625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , lue verkossa )
(de) Felix Klein, " Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie " , Mathematische Annalen , voi. 6, n o 21873, s. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , lue verkossa )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.1893( lue verkossa )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.1893( lue verkossa )

Toissijaiset lähteet

(de) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, Teubner,1885( lue verkossa )
(de) R. Fricke ja F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Leipzig, Teubner,1897( lue verkossa )
(en) Bertrand Russell (1898) Essee geometrian perusteista , jonka Dover Books julkaisi uudelleen vuonna 1956.
(en) Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , Kirja VI, luku 1: Etäisyyden teoria, s. 347–70, erityisesti 199 §: n Cayleyn teoria etäisyydestä.
(de) Hausdorff, F., " Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie " , Leipziger Math.-Phys. Berichte , voi. 51,1899, s. 161–214 ( lue verkossa )
(en) Duncan Sommerville (1910/11) "Cayley - Klein metrics n -dimensional space", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25–41.
(de) Klein, Felix, " Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe " , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , voi. 19,1910, s. 533–552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Painettu uudelleen julkaisussa Klein, Felix, Gesammelte mathematische Abhandlungen , voi. 1,1921, 533–552 Sivumäärä ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Englanninkielinen käännös: David Delphenich: Lorentz-ryhmän geometrisista perustoista
(en) Veblen, O. ja Young JW, Projektiivinen geometria , Boston, Ginn,1918( lue verkossa )
(de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin & Leipzig, Berliini W. de Gruyter,1923( lue verkossa )
(de) Klein, F. ja Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berliini, Springer,1926( lue verkossa ); Englanninkielinen käännös: Matematiikan kehitys 1800-luvulla, kirjoittanut M. Ackerman, Math Sci Press
(de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berliini, Springer,1928( lue verkossa )
(en) Pierpont, J., " Non-euclidean geometry, a retrospect " , Bulletin of the American Mathematical Society , voi. 36, n ° 21930, s. 66–76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
(en) JE Littlewood , Littlewoodin sekalaista , Cambridge University Press ,1986( 1 st toim. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , matematiikka sta 872 858 , lukea verkossa )
(en) Harvey Lipkin (1985) metrinen geometria alkaen Georgia Institute of Technology
(en) Horst Struve ja Rolf Struve , " Projisoitavat tilat Cayley - Klein -metrikoilla " , Journal of Geometry , voi. 81, n o 1,2004, s. 155–167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , matemaattiset arvostelut 2134074 )
(en) Martini Horst, Spirova Margarita, " Circle geometry in affine Cayley-Klein planes " , Periodica Mathematica Hungarica , voi. 57, n ° 22008, s. 197--206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
(en) Horst Struve ja Rolf Struve , ” Ei-euklidiset geometriat: Cayley - Klein -lähestymistapa ” , Journal of Geometry , voi. 89, n o 1,2010, s. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , matemaattiset arvostelut 2739193 )
(en) A'Campo, N. ja Papadopoulos, A., Sophus Lie ja Felix Klein: Erlangen-ohjelma ja sen vaikutus matematiikassa ja fysiikassa ,2014, 91–136 Sivumäärä ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10,4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406,7309 ) , ”On Kleinin Ns Epäeuklidinen geometria”
(en) Frank Nielsen , Boris Muzellec ja Richard Nock , IEEE: n kansainvälinen kuvankäsittelykonferenssi (ICIP) ,2016, 241–245 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , "Luokittelu kaarevien mahalanobis-metriikkaseosten kanssa"

Täydennykset

(en) Jan Drösler (1979) "Moniulotteisen metrisen skaalauksen perusteet Cayley-Klein -geometriassa", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185–211