Apuoperaattori

Vuonna matematiikassa , An avustaja toimija on toimija on prehilbertian tila , jossa on esitetty mahdollisuuksien mukaan toiselta operaattorilta ja jota me ilmi * . Sanotaan myös, että A * on operaattorin A liitos .

Tämä apuoperaattori mahdollistaa operaattorin A siirtämisen skalaarisen tuotteen oikealta puolelta, joka määrittelee prehilbertisen tilan , skalaarisen tuotteen vasemmalle puolelle . Siksi se on yleistys matriisin käsitteestä, joka on siirretty äärettömän kokoisiin tiloihin.

Jos alkuperäinen operaattori on jatkuva ja vektoritila on täydellinen , lisäaine määritetään aina. Näin ollen äärellisen ulottuvuuden tapauksessa minkä tahansa operaattorin avustaja on hyvin määritelty. Sovellus, joka liittää sen lisänä käyttäjä on semi-lineaarinen (fi) ja surkastuttavassa isometria .  

Lisäaineen käsite antaa mahdollisuuden määritellä joukko operaattoreita, joilla on erityinen yhteensopivuus skalaarituotteen kanssa, operaattoreiden liikkuessa lisäaineen kanssa. Sitten heidän sanotaan olevan normaalia . Näiden operaattoreiden joukossa on kolme tärkeää erityistapausta: itsehoitajan (itsensä avustajan), itsensä avustavan (vastakkaisensa avustajan) ja yhtenäisen (avustajan käänteisen ) tapaus . Todellisessa vektoriavaruudessa käytetyt termit ovat vastaavasti: symmetrinen , antisymmetrinen ja ortogonaalinen . Monimutkaisessa vektoriavaruudessa sanomme vastaavasti: hermitiikka (tai hermiitti), antihermiitti (tai antihermiitti) ja yhtenäinen .

Operaattorin avustajan käsitteellä on monia sovelluksia. Äärellisessä ulottuvuus ja kentällä kompleksilukujen, rakenne normaali endomorphisms on yksinkertainen, ne voidaan diagonalisoida käytettäessä ortonormaali kanta . Äärettömän ulottuvuuden tapaus on monimutkaisempi. Se on tärkeä toiminnallisessa analyysissä . Autoadjoint-tapausta tutkitaan erityisesti, se tarjoaa spektriteorian yksinkertaisimman kehyksen , joka itsessään on kvanttimekaniikan ydin . Vuonna operaattori teoriassa , eli C * -algebra on Banach avaruus varustettu sisäisellä koostumuksen laki samanlainen koostumus toimijoiden ja tähti operaatio , jolla on samat ominaisuudet kuin sovelluksen, joka liittää sen lisänä operaattorille.

Määritelmät

Operaattorin avustaja on käsite, joka vastaa hyvin erilaisia ​​tilanteita. Sitä voidaan soveltaa euklidisen tai hermiittisen avaruuden tapauksessa , toisin sanoen äärelliseen ulottuvuuteen . Sitä käytetään myös yksinkertaisin yhteydessä funktionaalista analyysia , joka on, joka Hilbert tilaan tai prehilbertian tilaa . Lopuksi sitä voidaan soveltaa hyvin yleisissä puitteissa Banach-tiloihin . Tästä syystä kaksi määritelmää esiintyy rinnakkain.

Prehilbertian

Tämä määritelmä kattaa käytännössä kaksi hieman erilaista teoreettista kehystä. Tämä on äärellinen ulottuvuus ja se, jossa ulottuvuutta ei oleteta. Se vastaa myös ensimmäistä toiminnallisen analyysin tapausta, yksinkertaisinta. Yleensä valittu vektoriavaruus on Hilbert-tila, toisin sanoen täydellinen prehilbertin tila . Koska se on suhteellisen helppo suorittaa prehilbertian tilan ja käytettävissä lauseet ovat paljon enemmän, tässä yhteydessä käytetään laajalti. Yksi määritelmä kattaa nämä kaksi tapausta:

Olkoon H prehilbertin avaruus kentän K päällä, joka on yhtä suuri kuin reaalilukujen or tai kompleksien ℂ. Pistetuote on tässä artikkelissa merkitty (⋅ | ⋅). Olkoon a ja a * kaksi operaattoria H : llä eli kaksi lineaarista H- karttaa itsessään.

Määritelmä  -  Operaattorin sanotaan olevan lisäaine , jos: Vastaanottaja∗{\ displaystyle a ^ {*}}Vastaanottaja{\ displaystyle a}

∀x,y∈H(Vastaanottaja(x)|y)=(x|Vastaanottaja∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -algebra

Kuten loppuartikkeli osoittaa, kartta *, joka yhdistää sen liitännän endomorfismiin, on puolilineaarinen kartta endomorfismiavaruudesta. Tämä tila on, jossa koostumus endomorphisms, algebran rakenne . Sovellus *, jolla on samat ominaisuudet kuin liitteellä ja määritelty algebraan, on C * -algebra -nimisen rakenteen kehys. Kuva elementin soveltamalla * kutsutaan avustaja .

Banach

Toiminnallisessa analyysissä kaikilla välilyönneillä ei ole pistetuloa. Edustajien lähestymistapa on kuitenkin hedelmällinen. Operaattorilla a on huonommat ominaisuudet kuin edellisessä kappaleessa.

Yleisessä tapauksessa se ei ole enää rajoitettu, ts . Yksikön pallon vektorin kuvan normin ylärajaa ei välttämättä ole . Täten reaalijoukon todellisen muuttujan funktion derivaatti kompaktilla tuella , äärettömästi eroteltava ja absoluuttista arvoa yhdellä korotettu, ei kasva funktiosta riippumaton vakio. Tämä tila, jolla on yhdenmukaisen lähentymisen normi, on tärkeä jakaumien määrittelyssä . Johdannainen on rajaton lineaarinen operaattori, jolla on suuri rooli toiminnallisessa analyysissä.

Operaattoria a ei välttämättä ole määritelty koko Banachissa. Täten derivaatiooperaattoria ei ole määritelty millään funktiolla] –1/2, 1/2 [in ℝ ja integroitava absoluuttisessa arvossa. Samasta syystä kuin edellisessä kappaleessa, on kuitenkin hyödyllistä ottaa huomioon tämä operaattori.

Tässä osassa, E ja F nimetä kaksi Banachin on rajaton operaattorin välillä E ja F , E * ja F * tarkoittavat topologinen duals on E ja F . Artikkelin loppuosassa termi dual tarkoittaa topologista dualia. Sitä käytetään todellakin enemmän kuin algebrallinen kaksoiskappale tässä yhteydessä. Termi D ( ) tarkoittaa domeeni , joka on sanoen vektori aliavaruus , jolla on määritelty. Oletetaan, tiheä in E . Merkinnät 〈⋅, ⋅〉E (tai 〈⋅, ⋅〉F ) merkitsevät kaksinaisuusluokkaa , se vastaa E * × E: n (vastaavasti F * × F ) bilineaarista karttaa, joka d: n muodostamaan pariin lineaarinen muoto ja E: n vektori (tai F ) yhdistävät skalaarin.

Määritelmä  -  domeeni merkitään D ( *) ja liittyvällä operaattori on seuraava osajoukko F *:

D.(Vastaanottaja∗)={y∗∈F∗,∃vs.≥0,∀x∈D.(Vastaanottaja)|⟨y∗,Vastaanottaja(x)⟩F|≤vs.‖x‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ in F ^ {*}, \; \ olemassa c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Tämä määritelmä sallii seuraavat:

Määritelmä  -  adjoint operaattori * of on operaattori D ( *) on E * tarkastaa tasa:

∀x∈D.(Vastaanottaja),∀y∗∈D.(Vastaanottaja∗)⟨y∗,Vastaanottaja(x)⟩F=⟨Vastaanottaja∗(y∗),x⟩E{\ displaystyle \ forall x \ muodossa {\ mathcal {D}} (a), \; \ kaikki y ^ {*} \ kohteessa {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

On tavallista, että E ja F sekoitetaan; avustaja on silloin E *: n operaattori .

Hilbert-tila

Oletamme tässä osassa, että H on Hilbert-tila , ts. Täydellinen prehilbertin tila . Tässä tapauksessa topologinen kaksi tunnistaa tilan kanssa H . Bilineaaristen muotojen tapauksessa saadut tulokset ovat voimassa ilman suuria muutoksia.

Äärellisen ulottuvuuden tapaus on hieman yksinkertaisempi, koska mikä tahansa lineaarinen kartta on jatkuva ja isomorfismi avaruuden ja sen dualin välillä on ilmeisempää. Didaktisempi lähestymistapa on saatavilla artikkelissa Euklidisen avaruus todelliselle tapaukselle ja Hermitian tila monimutkaiselle tapaukselle.

Huomaa: Jos H: n taustalla oleva runko on komplekseja, pistetuote on sesquilineaarinen . Artikkelissa valittu käytäntö on, että muoto on lineaarinen ensimmäiselle muuttujalle ja puolilineaarinen toiselle. Konjugaatti on skalaari λ merkitään λ . Oletuksena lausekkeet annetaan monimutkaisille tiloille. Ne pysyvät totta todellisessa ja yhdistetystä sovelluksesta tulee identiteetti.

Oleminen (ja ainutlaatuisuus)

• Tahansa rajoitettu operaattori on H myöntää a kappale (ainutlaatuinen) avustaja. Olkoon y todellakin H: n vektori , kartta, joka vektoriin x liittyy ( a ( x ) | y ), on jatkuva lineaarinen muoto. Rieszin esityslause sitten takaa olemassaolon (ainutlaatuinen) vektori z siten, että jatkuva lineaarinen muoto osuu hakemuksen x osakkuusyrityssijoituksiin ( x | z ). Sovellus on *, johon se yhdistyy Z on sitten avustaja on .
  
• Päinvastoin, jos jokin kahdesta kartasta tyydyttääVastaanottaja,Vastaanottaja∗:H→H{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ - H}∀x,y∈H(Vastaanottaja(x)|y)=(x|Vastaanottaja∗(y)){\ displaystyle \ kaikki x, y \ H \ quadissa (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}sitten a , a * ovat sekä lineaarisia että jatkuvia .
  Osoittakaamme se esimerkiksi *.
  • Lineaarisuus on suora seuraus pistetuotteen bilineaarisuudesta ja degeneraatio-ominaisuuksista. Käytämme sitä:∀x,y1,y2∈H,∀λ∈K(x|Vastaanottaja∗(y1+λy2))=(Vastaanottaja(x)|y1+λy2)=(Vastaanottaja(x)|y1)+λ¯(Vastaanottaja(x)|y2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ in H, \; \ forall \ lambda \ in K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Voimme päätellä:(x|Vastaanottaja∗(y1+λy2))=(x|Vastaanottaja∗(y1))+(x|λVastaanottaja∗(y2))niin(1)(x|Vastaanottaja∗(y1)+λVastaanottaja∗(y2)-Vastaanottaja∗(y1+λy2))=0.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.}Yhtälö (1) pätee kaikkiin x: n arvoihin, mikä osoittaa, että oikealla oleva termi on nolla. Tämä mitättömyys osoittaa lineaarinen luonne *.
  • Näyttää jatkuvuuden * riittää, kiitos suljetun kuvaajan lause , sen varmistamiseksi, että jos x n pyrkii kohti x , ja jos a * (x n ) pyrkii kohti y sitten * ( x ) = y . Nyt nämä kaksi hypoteesia tarkoittavat (summausyhtälön avulla), että kaikilla z : llä ( z | a * ( x n )) on taipumus sekä ( z | a * ( x )): iin että ( z | y ): een siten, että a * ( x ) - y on nolla (koska kohtisuorassa kaikkeen z ).

Esimerkki Kaikilla vektoreilla operaattorin avustaja on operaattori .x,y∈H{\ displaystyle x, y \ H: ssä}x⊗y:z↦⟨z,y⟩x{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}y⊗x{\ displaystyle y \ otimes x}

Perusominaisuudet

Monin tavoin avustaja on käyttäjän peilikuva .

• Operaattorin a avustaja on lineaarinen.

Tämä tulos (joka ei liity lineaarisuus ) on osoitettu edellä.

Äärellisissä ulottuvuuden matriisi on täydentäjinä on lisä matriisin . Todellakin, anna matriisi on ortonormaaleina on H ja X (vast. Y ) matriisiin vektorin x (vast. Y) H .

(x|Vastaanottaja∗(y))=(Vastaanottaja(x)|y)=t(TOX)Y¯=tX(tTOY¯)=tXtTO¯Y¯.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ yliviiva {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• Jos operaattori a on rajattu , niin myös avustaja on rajoitettu ja sen operaattorin normi on yhtä suuri kuin a .

Tässä rajoitettu termi tarkoittaa, että yksikköpallon kuva on rajoitettu. Operaattoria rajoittaa vain ja vain, jos se on jatkuva.

Lisäaineen jatkuvuus on osoitettu yllä ilman, että oletetaan, että a on rajattu, käyttämällä voimakasta suljetun kuvaajan teoreemaa. Olettaen, että se on rajallinen, todisteet ovat perustavanlaatuisempia: huomasin vain, että standardi oli yhtä hyvin kuin avustajankin, että bilineaarinen tai sesquilineaarinen muoto x- ja y- osakkuusyrityksissä ( a ( x ) | y ) = ( x | a * ( y )).

• Komponentin a ja sen lisäosan normi on yhtä suuri kuin a  : n neliö :

‖Vastaanottaja∘Vastaanottaja∗‖=‖Vastaanottaja‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = = | | a \ | ^ {2}.}

Assistant-sovellus

Isometria * , on ℒ ( H ) itsessään, jossa operaattorille assosioi avustaja *, kutsutaan avustaja kartta .

Lause  -  Isometria a ↦ a *, itsessään ℒ ( H ):

• tarkastettu(Vastaanottaja∘b)∗=b∗∘Vastaanottaja∗ ;{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;}
• on puolilineaarinen:(Vastaanottaja+λb)∗=Vastaanottaja∗+λ¯b∗ ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• on osallistuva  :Vastaanottaja∗∗=Vastaanottaja.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Esittelyt

• Yhdisteen sijainen:∀x,y∈H(Vastaanottaja∘b(x)|y)=(b(x)|Vastaanottaja∗(y))=(x|b∗∘Vastaanottaja∗(y)).{\ displaystyle \ kaikki x, y \ H \ quadissa (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ ympyröi ^ {*} (y)).}
• Puolilineaarisuus:∀x,y∈H((Vastaanottaja+λb)(x)|y)=(Vastaanottaja(x)|y)+λ(b(x)|y)=(x|(Vastaanottaja∗+λ¯b∗)(y)).{\ displaystyle \ kaikki x, y \ H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*} (y)).}
• Involutiivisuus:∀x,y∈H(Vastaanottaja(x)|y)=(x|Vastaanottaja∗(y))=(Vastaanottaja∗(y)|x)¯=(y|Vastaanottaja∗∗(x))¯=(Vastaanottaja∗∗(x)|y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ overline {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Todellisen vektoriavaruuden invutiivisena endomorfismina se on siis symmetria, toisin sanoen se on diagonalisoitavissa ominaisarvojen 1 ja –1 kanssa (lisätietoja on diagonalisaation artikkelin §: ssä "Symmetria" ).

Avustajan kanssa samanarvoisen (tai vastakkaisen) operaattorin sanotaan olevan Hermitian tai itseavustaja (tai Antihermitian tai itsensä avustaja). Tällainen operaattori on normaalia , toisin sanoen hän vaihtaa avustajansa kanssa. Toinen normaalien operaattorien perhe on ortogonaalisten automorfismien perhe .

Hermitilaisen avaruuden normaalit endomorfismit ja euklidisen avaruuden itsestään liittyneet endomorfismit ovat diagonalisoitavissa.

Ortogonaalisuus

Kaksisuuntaisiin muotoihin liittyvät ortogonaalisuuden ominaisuudet esiintyvät tässä yhteydessä:

• Ydin on * on ortogonaalinen n kuva of  :KerVastaanottaja∗=(OlenVastaanottaja)⊥.{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Todellakin, ∀x∈H,x∈KerVastaanottaja∗⇔∀y∈H(Vastaanottaja∗(x)|y)=0⇔∀y∈H(x|Vastaanottaja(y))=0⇔x∈(OlenVastaanottaja)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Vasen oikeanpuoleinen \ kaikki y \ H \ quadissa (x | a (y)) = 0 \ Vasen oikeanpuoleinen x \ sisään ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Välitön seuraus - myös matriisisesti osoitettavissa - on se, että äärellisessä ulottuvuudessa a ja a * ovat samanarvoisia, koska mikä tahansa vektorialatila suljetaan, joten sen ortogonaalinen on ylimääräinen .

Ottaen kahden jäsenen kohtisuoran, siitä päätellään:

• Ortogonaalinen on ytimen * on adheesio ja kuva  :(KerVastaanottaja∗)⊥=OlenVastaanottaja¯.{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}.}Joukon E , jota merkitään E , tarttuvuus on pienin suljettu, joka sisältää sen. Esimerkiksi jos * on injektiivinen , sitten on tiheä kuva on H , mikä ääretön ulottuvuus, ei tarkoita, että on surjective .
• Olkoon E olla aliavaruus vakaa jonka , ortogonaalinen ja E on stabiili *. Todellakin, anna Y elementti ortogonaalisten ja E , sen kuvan * on kohtisuorassa E koska
  ∀x∈E(x|Vastaanottaja∗(y))=(Vastaanottaja(x)|y)=0.{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}Ääretön ulottuvuus, jos E ei ole suljettu, päinvastainen on väärä (esimerkiksi jos E on unclosed hypertason , ortogonaaliset on aina stabiili * - koska se on vähennetty nolla vektori - kun taas E n 'ei ole stabiili a yleensä).

Spektri

Operaattorin a spektri on skalaarien λ joukko siten, että kartta a - λId ei ole bijektiivinen (identiteettikarttaa osoittava Id). Äärellisessä ulottuvuudessa spektri on ominaisarvojen joukko . Äärettömässä ulottuvuudessa se voi olla laajempi (katso artikkelit Lineaarisen operaattorin spektri ja Spektriarvo ).

• Spektri operaattorin * on konjugaatti, joka on .

Spektrin ominaisuudet määritetään, jos H on äärellinen ulottuvuus:

• Jos H on rajallinen ulottuvuus, determinantti (vast. Tunnusomainen polynomi) ja * on konjugaatti, joka on .

• Jos H on äärellinen ulottuvuuden minimaalinen polynomi on * on konjugaatti, joka on .

Näin ollen, jos λ on ominaisarvo moninaisuus m operaattorin (eli juuri järjestys m sen tunnusomainen polynomi) sitten konjugaatin λ on ominaisarvo moninaisuus m operaattorin *, ja samoin, jos λ on juuri tilauksen m minimaalisen polynomin (joka vastaa sanomalla, että m on pienin kokonaisluku siten, että ytimen ( - λId) m on yhtä suuri kuin ytimen ( - λId) m + 1 ), niin konjugaatin λ on juuri tilauksen m minimaalisen polynomin *.

Esittelyt

• Spektri operaattorin * on konjugaatti, joka on  :

Operaattori on bijektiivinen vain ja vain, jos sen lisäaine on (ominaisuuden mukaan ). Soveltamalla tätä - λId, tulos on johdettu. (Vastaanottaja∘b)∗=b∗∘Vastaanottaja∗{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}}

• Jos H on rajallinen ulottuvuus, determinantti (vast. Tunnusomainen polynomi) ja * on konjugaatti, joka on  :

Artikkeli Determinantti (matematiikka) osoittaa, että neliömatriisilla on sama determinantti kuin sen transposilla. Konjugaattimatriisin determinantti on lisäksi determinantin konjugaatti. Se seikka, että tekijä, joka endomorphism on yhtä suuri kuin sen matriisi osoittaa, että determinantti täydentäjinä on konjugaatti, joka on . Samat ominaisuudet, joita sovelletaan endomorfismiin a - λId, osoittavat tyypillisten polynomien tasa-arvon.

• Jos H on rajallinen, a *: n minimipolynomi on a  : n konjugaatti :

Olkoon P ( X ) a: n minimipolynomi . Endomorphism P ( ) on nolla, ja sen konjugaatti on myös nolla, mikä osoittaa, että konjugaatti polynomi P ( X ) peruuttaa lisäaineen, sen konjugaatti on siis moninkertainen polynomin *. Osoitamme myös, että lisäaineen minimipolynomin konjugaattipolynomi peruu a . Nämä kaksi polynomia ovat useita toisistaan, ne ovat molemmat yhtenäisiä, mikä tekee mahdolliseksi päätellä tasa-arvon olemassaolosta.

Banach-tila

Tämän matematiikkaartikkelin sisältö on tarkistettava (joulukuu 2016).

Paranna sitä tai keskustele tarkistettavista asioista . Jos olet juuri kiinnittänyt bannerin, ilmoita tarkistettavat kohdat täällä .

Vertaa englanninkieliseen artikkeliin : Rajaton operaattori

Monet Hilbertsille voimassa olevat ominaisuudet voidaan yleistää. Operaattorin avustajan analyysillä Banachin yleisemmissä puitteissa on tiettyjä analogioita edelliseen tapaukseen. Käytetyt tekniikat ovat kuitenkin hieman erilaisia. Tämän osan E ja F tarkoittavat Banach ja on rajaton operaattorin välillä E ja F .

Termi "rajoittamaton operaattori" tarkoittaa lineaarista karttaa ilman tarkkuutta käyttäjän jatkuvaan luonteeseen. Matemaatikko Haïm Brezis täsmentää: Siksi voi tapahtua, että rajaton operaattori on rajattu. Terminologia ei ole kovin onnellinen, mutta sitä käytetään laajalti eikä se aiheuta sekaannusta!

Oleminen ja ainutlaatuisuus

Kuten aikaisemmin, kukaan operaattori on hyväksynyt yhden varajäsenen. Tarkemmin :

• Tahansa rajaton operaattori peräisin D ( ) on F on olemassa ainutlaatuinen lisä, ja lisäaineen on lineaarinen.

Sitten herää kysymys, onko D ( a *) tiheä F : n kaksoisosassa .

• Jos a on suljettu operaattori, F : n D: n , D ( a *): n heikko topologia on tiheä F: n dualissa . Jos lisäksi F on refleksiivinen sitten D ( *) on tiheitä tavallista topologia.

Esittely

• Tahansa rajaton operaattori peräisin D ( ) on F on olemassa ainutlaatuinen lisä, ja lisäaineen on lineaarinen.

Huomaa ensin, että D ( a *) on vektoriavaruus. Anna y 1 * (vast. Y 2 *) on vektori D ( *), λ elementti K ja C 1 (vast. C 2 ) vakio, joka täyttää seuraavat ominaisuus:

∀x∈D.(Vastaanottaja)|⟨y1∗,Vastaanottaja(x)⟩|≤vs.1‖x‖ja|⟨y2∗,Vastaanottaja(x)⟩|≤vs.2‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ muodossa {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {ja}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |}

Seuraava lisäys osoittaa, että y 1 * + λ y 2 * on todellakin D: n elementti ( a *).

∀x∈D.(Vastaanottaja)|⟨y1∗+λ.y2∗,Vastaanottaja(x)⟩|≤|⟨y1∗,Vastaanottaja(x)⟩|+λ.|⟨y2∗,Vastaanottaja(x)⟩|≤(vs.1+|λ|.vs.2).‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ muodossa {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Olkoon y * D: n elementti ( a *). Oletuksena, * ( y *) on jatkuva lineaarinen muoto yli D ( ). Saapumisjoukko K on täydellinen, muoto on jatkuva, joten Cauchy-jatkuva ja jatkuu jatkuvuudella ainutlaatuisella tavalla. Siten kartta a * ( y *) on todellakin osa E *: tä.

Lineaarisuus * tulee suoraan bilinearity on <⋅, ⋅>.

Avustajan jatkuvuus

Suljettu kaavio teoreema osoittaa, että operaattori on jatkuva, jos ja vain jos sen kuvaaja on suljettu. Kuvaaja on vektori aliavaruus E x F muodostama pistettä ( x , ( x )), kuten x traverssien D ( ). Operaattorin, jolla on suljettu kaavio, sanotaan olevan suljettu , mikä tarkoittaa sanomista rajoitetuksi tai jatkuvaksi. Tyylistä syistä on yleisempää puhua suljetusta rajoittamattomasta operaattorista kuin rajoitetusta suljetusta operaattorista, vaikka merkitykset olisivat samat.

• Rajoittamattomalla operaattorilla a, jolla on tiheä verkkotunnus, on suljettu avustaja.

Esittely

Olkoon ( v n *) D: n ( a *) sekvenssi, joka lähentyy v *: een F : n duaalissa, ja siten, että myös sekvenssi (a * ( v n *)) yhtyy, mutta tällä kertaa kohti u *: ta duaalissa ja E . Tavoitteena on osoittaa, että ( v *, u *) on osa kuvaaja täydentäjinä . Seuraava tasa-arvo varmistetaan:

∀x∈E,∀ei∈EI⟨vei∗,Vastaanottaja(x)⟩=⟨Vastaanottaja∗(vei∗),x⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ rangle}

Rajan ylitys osoittaa, että:

∀x∈E⟨v∗,Vastaanottaja(x)⟩=⟨u∗,x⟩≤‖u∗‖.‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

Viimeinen lisäys osoittaa, että v * on D: n elementti ( a *) ja viimeinen yhtälö osoittaa, että u * on v *: n kuva a: lla . Näin ollen piste ( v *, u *) on osa kuvaajan *, joka osoittaa vaihtoehdon.

Ortogonaalisuus

Jos a on suljettu ja sillä on tiheä domeeni, niin Hilbert-tilannetta vastaavat ortogonaalisuusominaisuudet pysyvät totta:

• Ytimen on yhtä suuri kuin ortogonaalisen on kuva * ja ytimen * on yhtä suuri kuin ortogonaalisen kuvan ja .

KerVastaanottaja=(OlenVastaanottaja∗)⊥jaKerVastaanottaja∗=(OlenVastaanottaja)⊥{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ text {ja}} \ quad {\ text { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}}

Tilanne eroaa hieman ytimien kohtisuorasta.

• Ortogonaalinen on ytimen sisältää adheesion kuva sijainen ja ortogonaalinen sekä ytimen sijainen on tarttuvuutta kuvan .

(KerVastaanottaja)⊥⊃OlenVastaanottaja∗¯ja(KerVastaanottaja∗)⊥=OlenVastaanottaja¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ text {ja} } \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}}

Jos tila E on refleksiivinen, niin ortogonaalinen ja ytimen on yhtä tarttuvuutta kuvan *; muuten tasa-arvoa ei taata.

Oletuksilla a- alueen domeenin sulkemisesta ja tiheydestä  :

• Seuraavat neljä ominaisuutta vastaavat:

(1) Kuva a on suljettu. (2) Varajäsenen kuva on suljettu. (3) Kuva a on kohtisuorassa lisäydin. (4) kuva lisäaine on ortogonaalinen ytimen ja . Esittelyt

• Ytimen on yhtä suuri kuin ortogonaalisen on kuva * ja ytimen * on yhtä suuri kuin ortogonaalisen kuvan of  :

Huomaamme, että on jatkuvaa, verkkotunnuksen * on duaali kokonaisluvun F , siis:

x∈KerVastaanottaja⇔∀y∗∈F∗⟨y∗,Vastaanottaja(x)⟩=0⇔∀y∗∈D.(Vastaanottaja∗)⟨Vastaanottaja∗(y∗),x⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, \ Leftightarrow \ forall y ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

Mikä osoittaa ensimmäisen tasa-arvon.

Huomaamme, että koska D ( ) on tiheä E , vektorin duaali E on nolla jos ja vain jos se on kohtisuorassa D ( ), siis:

y∗∈KerVastaanottaja∗⇔∀x∈D.(Vastaanottaja)⟨Vastaanottaja∗(y∗),x⟩=0⇔∀x∈D.(Vastaanottaja)⟨y∗,Vastaanottaja(x)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0}

Mikä osoittaa toisen tasapelin.

• Ortogonaalinen n ydin sisältää tarttuvuutta kuvan sijainen ja ortogonaalinen n ytimen sijainen on tarttuvuutta kuvan  :

Jatkuvien bilinaaristen muotojen tutkimus osoittaa, että vektoriavaruuden kohtisuorassa oleva ortogonaali sisältää alkutilan tarttuvuuden. Ortogonaalinen ortogonaalisen kuvan n täydentäjinä siis sisältää tarttumista kuvan täydentäjinä . Edellisen ehdotuksen perusteella voidaan päätellä seuraavaa:

(KerVastaanottaja)⊥⊃OlenVastaanottaja∗¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}}}

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Katso esimerkiksi S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Pariisi, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , s.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C * -algebras ja heidän esityksensä , Gauthier-Villars, 1964, ruoko. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. Katso esimerkiksi Brezis , s.  27.
4. Tämä on yksi Hellinger-Toeplitz-lauseen  (sisään) versioista  : RE Edwards, "  The Hellinger-Toeplitz -lause  ", J. London Math. Soc. , S. 1, voi. 32, n o  4, 1957 s.  499-501 .
5. Brezis , s.  27.

Viitteet

• Walter Rudin , Real ja monimutkainen analyysi: Lessons ja harjoituksia , Dunod, 3 rd painos 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ]
• Haïm Brezis , Toiminnallinen analyysi: teoria ja sovellukset ,1999 [yksityiskohdat painoksista]
• (en) Joram Lindenstrauss ja Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (en) Gert Pedersen, C * -algebras ja niiden automorfismiryhmät , Academic Press, Lontoo, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Liitteet

Sisäiset linkit

• Aluthge-muutos

Ulkoiset linkit

• A. Morame Nantesin yliopistosta 2006. Endomorfismin ja sen ominaisuuksien lisäaine. Kurssi käsittelee todellista tapausta rajallisessa ulottuvuudessa.
• Hermiti- avaruuden endomorfismin avustaja les-mathematiques.net -sivustolla, kirjoittanut C. Antonini ja muut. Tämä kurssi käsittelee monimutkaista tapausta pääasiassa äärellisessä ulottuvuudessa.
• CNRS: n ja Grenoblen yliopiston Joseph Fourierin yliopiston tukeman Cabrilog-yhtiön endomorfismin sivusto. Se käsittelee toisen ulottuvuuden euklidista tapausta.
• Toiminnallinen analyysi ja spektriteoria B. Maurey University of PARIS VII. Se vastaa maisterikurssia ja käsittelee Banachin yleistä tapausta.
• Operaattorin avustaja, kirjoittanut J.Ch. Gilbert Inriasta. Tämä teksti koskee vain Banachin tapausta.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">