Ehrenpreisin perusperiaate
On matematiikka , perusperiaate Ehrenpreis on erittäin tärkeä rooli lineaariset yhtälöryhmät teorian osittaisderivaatat vakiokertoimiset. Sanomme toiminnallisen tilan , että se täyttää perusperiaate, jos se on - moduuli , jossa on rengas on differentiaalioperaattori , ja jos eksponentiaalinen-polynomin ratkaisut homogeenisen järjestelmän muodostavat yhteensä osajoukko tilaa ratkaisujen teho / . Tämä pätee äärettömän differentiable toimintoja ja jakaumat koskevasta avoin kupera ja . Tämän lauseen totesi ensin Leon Ehrenpreis (vuonna), jonka sitten näytti Victor P. Palamodov ja itsenäisesti Bernard Malgrange , Ehrenpreis ja lopulta hän itse; Siksi sitä tulisi kutsua oikeammin (perinteistä huolimatta) "Ehrenpreis-Palamodov-Malgrange -periaatteeksi".
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Tällä tuloksella, jolla on oma etunsa, on erittäin tärkeät seuraukset: toisaalta päätellään, että mikä tahansa skalaarinen differentiaalinen operaattori, jolla on vakiokertoimet, myöntää perustavanlaatuisen ratkaisun (tai " Greenin toiminnon "), joka johtuu Ehrenpreisin ja Malgrangen tuloksista (riippumatta ja eri menetelmillä); Toisaalta, se tekee mahdolliseksi määrittää algebrallisesti jos on olemassa ratkaisuja, on teho , joka lineaarinen ero järjestelmän , jossa on ei-homogeeninen osittaisderivaatat vakiokertoimiset: se on välttämätöntä ja riittävää (kun perusperiaate on varmistettu) että toinen jäsen tarkistaa "yhteensopivuusolosuhteet". Perusperiaatteen mukaiset tilat ovat - injektiomoduulit . Tilaa loputtomiin differentiable tehtäviä ja että jakaumien on kupera joukko on siis tämä viimeinen ominaisuus; sama koskee hyperfunktioiden tilaa tällaisella avoimella.
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![{\ mathbb {R}} ^ {{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Perusperiaate
Johdanto
Tarkastellaan ensin lineaarista (tavallista) differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla
R(D.)u=0{\ displaystyle R (D) u = 0}![R (D) u = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dcb91070cddff79244b761f5d19a2c2b48c865)
missä , ja missä kanssa
. Antaa olla Alkutekijähajotelma on päällä :
D.=-i∂{\ displaystyle D = -i \ osittainen}
∂=ddx{\ displaystyle \ parts = {\ frac {d} {dx}}}
R(D.)∈D.{\ displaystyle R (D) \ in {\ mathfrak {D}}}
D.=VS[D.]{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} = \ mathbb {C} \ vasen [D \ oikea]}
R(ζ){\ displaystyle R (\ zeta)}
VS[ζ]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea]}![{\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ oikea]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c2b352afcdae96a2194aa7f29ae094a574ea9f)
R(ζ)=∏σ=1μPσ(ζ){\ displaystyle R \ left (\ zeta \ right) = \ prod \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} P _ {\ sigma} \ left (\ zeta \ right)}![R \ vasen (\ zeta \ right) = \ prod \ limits _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu}} P _ {{\ sigma}} \ left (\ zeta \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b76b54a88b6acbd6c1d32fe4ccfa0e0ac792964)
jossa kanssa ( , ). Yleinen ratkaisu on nyt hyvin tunnettu, mutta seuraavaa yleistystä silmällä pitäen osoitetaan algebrallinen menetelmä (tai tarkemmin sanottuna "algebralliseen analyysiin") tämän ratkaisun määrittämiseksi. Anna meidän asettaa ja . Meillä on
Pσ=sσρσ{\ displaystyle P _ {\ sigma} = p _ {\ sigma} ^ {\ rho _ {\ sigma}}}
sσ(ζ)=ζ-ζσ{\ displaystyle p _ {\ sigma} (\ zeta) = \ zeta - \ zeta _ {\ sigma}}
ζσ∈VS{\ displaystyle \ zeta _ {\ sigma} \ sisään \ mathbb {C}}
ρσ≥1{\ displaystyle \ rho _ {\ sigma} \ geq 1}
R(D.)u=0{\ displaystyle R (D) u = 0}
EI=VS[ζ]R(ζ){\ displaystyle N = \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] R \ vasen (\ zeta \ oikea)}
Qσ=VS[ζ]Pσ(ζ){\ displaystyle Q _ {\ sigma} = \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] P _ {\ sigma} \ vasen (\ zeta \ oikea)}![Q _ {{\ sigma}} = {\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ oikea] P _ {{\ sigma}} \ vasen (\ zeta \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3759b00bcd013ec83258a9fe45432acff74eb)
EI=⋂ρ=1μQσ{\ displaystyle N = \ bigcap \ limits _ {\ rho = 1} ^ {\ mu} Q _ {\ sigma}}![N = \ bigcap \ rajoittaa _ {{\ rho = 1}} ^ {{\ mu}} Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebc369c648626c9ae8ca2e0c02974826919c2f1)
ja tämä ilmaisu on ihanteellisen N : n (ensisijaisten ihanteiden on ) ensisijainen hajoaminen . Kiinan jäljellä olevan lauseen mukaan meillä on, koska ne ovat kaksi kertaa kerralla otettuja kopiimeja,
VS[ζ]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea]}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}![Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4157a47b145573a3abfff950d7eeb7546ab1f04)
VS[ζ]EI=⨁σ=1μVS[ζ]Qσ{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ right]} {N}} = \ bigoplus \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} {\ frac {\ mathbb {C } \ vasen [\ zeta \ oikea]} {Q _ {\ sigma}}}}![{\ frac {{\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ right]} {N}} = \ bigoplus \ limits _ {{\ sigma = 1}} ^ {\ mu} {\ frac {{\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ right]} {Q _ {{\ sigma}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6901320950dc459822101a6777e65829b7aa1d9f)
.
Toisaalta ratkaisujen tila yhtälön toiminnallisessa tilassa (oletetaan olevan -moduuli) identifioidaanW{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
R(D.)u=0{\ displaystyle R (D) u = 0}![R (D) u = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dcb91070cddff79244b761f5d19a2c2b48c865)
HomD.(D.D.R(D.),W)=HomD.(vs.okerD.(∙R),W){\ displaystyle {\ rm {Hom}} _ {\ mathfrak {D}} \ vasen ({\ frac {\ mathfrak {D}} {{\ mathfrak {D}} R \ vasen (D \ oikea)}}, {\ mathcal {W}} \ right) = {\ rm {Hom}} _ {\ mathfrak {D}} \ left ({\ rm {coker}} _ {\ mathfrak {D}} \ left (\ bullet R \ oikea), {\ mathcal {W}} \ oikea)}![{{\ rm {Hom}}} _ {{{\ mathfrak {D}}}} \ vasen ({\ frac {{\ mathfrak {D}}} {{\ mathfrak {D}} R \ vasen (D \ oikea)}}, {\ mathcal {W}} \ oikea) = {{\ rm {Hom}}} _ {{{\ \ mathfrak {D}}}} \ vasen ({{\ rm {coker}}} _ {{{{\ mathfrak {D}}}} \ vasen (\ bullet R \ right), {\ mathcal {W}} \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef621d131104cd1b4ed272866aed1fb09422c39c)
(katso artikkeli Injektiivimoduuli ). Meillä on kuitenkin edellä
HomD.(D.D.R,W)≅⨁σ=1μHomD.(D.D.Pσ,W){\ displaystyle {\ rm {Hom}} _ {\ mathfrak {D}} \ vasen ({\ frac {\ mathfrak {D}} {{\ mathfrak {D}} R}}, {\ mathcal {W}} \ right) \ cong \ bigoplus \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} {\ rm {Hom}} _ {\ mathfrak {D}} \ left ({\ frac {\ mathfrak {D}} { {\ mathfrak {D}} P _ {\ sigma}}}, {\ mathcal {W}} \ oikea)}![{{\ rm {Hom}}} _ {{{\ mathfrak {D}}}} \ vasemmalle ({\ frac {{\ mathfrak {D}}} {{\ mathfrak {D}} R}}, {\ mathcal {W}} \ right) \ cong \ bigoplus \ limits _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu}} {{\ rm {Hom}}} _ {{{\ mathfrak {D}}} } \ vasen ({\ frac {{\ mathfrak {D}}} {{\ mathfrak {D}} P _ {{\ sigma}}}}, {\ mathcal {W}} \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa11da0d2e35a091873e27a9c517ac9f0a6738c)
,
niin .
kerW(R∙)≅⨁σ=1μkerW(Pσ∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} \ left (R \ bullet \ right) \ cong \ bigoplus \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} {\ rm {ker }} _ {\ mathcal {W}} \ vasen (P _ {\ sigma} \ luettelomerkki \ oikea)}![{{\ rm {ker}}} _ {{{\ mathcal {W}}}} \ vasen (R \ bullet \ right) \ cong \ bigoplus \ limits _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu }} {{\ rm {ker}}} _ {{{\ mathcal {W}}}} \ vasen (P _ {{\ sigma}} \ luettelomerkki \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afa70fd9ee2b5b86f8c848f72f2a1d274c14b5b)
Ota (minne ). Kuten tiedetään, mikä tahansa elementti on muodoltaan
W=E(R){\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ mathcal {E}} \ vasen (\ mathbb {R} \ oikea)}
E(R)=VS∞(R){\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ left (\ mathbb {R} \ right) = C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} \ right)}
kerW(Pσ∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} \ vasen (P _ {\ sigma} \ luettelomerkki \ oikea)}![{{\ rm {ker}}} _ {{{\ mathcal {W}}}} \ vasen (P _ {{\ sigma}} \ luettelomerkki \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473555b962ef8f30416bbc8347652169fbbce038)
uσ(x)=∑l=1ρσλσ,lBσ,l(ζσ,x)eixζσ{\ displaystyle u _ {\ sigma} \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ {l = 1} ^ {\ rho _ {\ sigma}} \ lambda _ {\ sigma, l} {\ mathcal { B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma}, x \ oikea) e ^ {ix \ zeta _ {\ sigma}}}![u _ {{\ sigma}} \ vasen (x \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {{l = 1}} ^ {{\ rho _ {{\ sigma}}}}} \ lambda _ {{\ sigma, l}} {\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}}, x \ oikea) e ^ {{ix \ zeta _ {{\ sigma}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3b3a777380e88fff6e4284a05d1ca55e596ed0)
missä ja . Siksi saavutamme klassisen tuloksen
λσ,l∈VS{\ displaystyle \ lambda _ {\ sigma, l} \ sisään \ mathbb {C}}
Bσ,l(ζσ,x)=xl-1{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma}, x \ oikea) = x ^ {l-1}}![{\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}}, x \ oikea) = x ^ {{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c54a6f13138009d33dc8d145fa311c2e7be48f)
u(x)=∑σ=1μ∑l=1ρσλσ,lBσ,l(ζσ,x)eixζσ{\ displaystyle u \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} \ sum \ limits _ {l = 1} ^ {\ rho _ {\ sigma}} \ lambda _ {\ sigma, l} {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma}, x \ oikea) e ^ {ix \ zeta _ {\ sigma}}}![u \ vasen (x \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu}} \ summa \ rajoittaa _ {{l = 1}} ^ {{\ rho _ {{\ sigma}}}} \ lambda _ {{\ sigma, l}} {\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}}, x \ oikea) e ^ {{ix \ zeta _ {{\ sigma}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bdc13623a1187d69bf2efcfc7edece4340b528)
.
Se olisi sama, jos olisit valinnut eksponentiaalipolynomien jakaumien avaruudelle tai lineaaristen yhdistelmien avaruudelle
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.′(R){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ mathbb {R} \ right)}![{\ mathcal {D}} ^ {{\ prime}} \ vasen ({\ mathbb {R}} \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582dbb075669a6ad372adfc77e2ea80fe2c66dc7)
PE(R)=⨁ζ∈VSVS[x]eixζ{\ displaystyle {\ mathcal {PE}} \ left (\ mathbb {R} \ right) = \ bigoplus \ limits _ {\ zeta \ in \ mathbb {C}} \ mathbb {C} \ left [x \ right] e ^ {ix \ zeta}}![{\ mathcal {PE}} \ left ({\ mathbb {R}} \ right) = \ bigoplus \ limits _ {{\ zeta \ in {\ mathbb {C}}}} {\ mathbb {C}} \ left [x \ right] e ^ {{ix \ zeta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af8ac2e48aaaa6d594720c1482debec749932ec)
Antaa olla pääideaali, joka kuuluu (ie ): een ja siihen liittyvä algebrallinen lajike (katso artikkeli Ensisijainen hajoaminen ). Meillä on ilmeisesti täällä ja voimme kirjoittaa
sσ=Qσ{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} = {\ sqrt {Q _ {\ sigma}}}}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}
sσ=VS[ζ](ζ-ζσ){\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} = \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] \ vasen (\ zeta - \ zeta _ {\ sigma} \ oikea)}
Vσ=Z(sσ){\ displaystyle V _ {\ sigma} = {\ mathcal {Z}} \ vasen ({\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} \ oikea)}
sσ{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma}}
Vσ={ζσ}{\ displaystyle V _ {\ sigma} = \ vasen \ {\ zeta _ {\ sigma} \ oikea \}}![V _ {{\ sigma}} = \ vasen \ {\ zeta _ {{\ sigma}} \ oikea \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5dd8bf0e3de42bd7f1fee72ddf773f023faf471)
u(x)=∑σ=1μ∑l=1ρσ∫VσBσ,l(ζ,x)eixζdμσ,l(ζ){\ displaystyle u \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} \ sum \ limits _ {l = 1} ^ {\ rho _ {\ sigma}} \ int _ {V _ {\ sigma}} {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, x \ right) e ^ {ix \ zeta} d \ mu _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta \ oikea)}![u \ vasen (x \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu}} \ summa \ rajoittaa _ {{l = 1}} ^ {{\ rho _ {{\ sigma}}}} \ int _ {{V _ {{\ sigma}}}} {\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta, x \ oikea) e ^ {{ ix \ zeta}} d \ mu _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdb76091f687b0644e324484ee6152aa2f800d0)
jossa on toimenpide antama . Tässä muodossa ratkaisu yleistetään seuraavassa.
μσ,l{\ displaystyle \ mu _ {\ sigma, l}}
Vσ{\ displaystyle V _ {\ sigma}}
μσ,l{Vσ}=λσ,l{\ displaystyle \ mu _ {\ sigma, l} \ vasen \ {V _ {\ sigma} \ oikea \} = \ lambda _ {\ sigma, l}}![\ mu _ {{\ sigma, l}} \ vasen \ {V _ {{\ sigma}} \ oikea \} = \ lambda _ {{\ sigma, l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a9478ed4d3be2d3fa1e2255ef2daef955f6771)
Kutsumme lajikkeelle on -moduulista algebrallinen asetettu . Meillä on
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
vs.okerD.(∙R){\ displaystyle {\ rm {coker}} _ {\ mathfrak {D}} \ vasen (\ bullet R \ right)}
V=Z(VS[ζ]/EI){\ displaystyle V = {\ mathcal {Z}} \ vasen (\ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right] / N \ right)}![V = {\ mathcal {Z}} \ vasen ({\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ oikea] / N \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db2c74d20c83c486624ff1b92536b01242b0803)
V=⋃1≤σ≤μVσ{\ displaystyle V = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq \ sigma \ leq \ mu} V _ {\ sigma}}![V = \ bigcup \ nolimits _ {{1 \ leq \ sigma \ leq \ mu}} V _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25e36ba4f2882b86762d8d6e465ed1448a5d95b)
missä nämä ovat V: n pelkistämättömiä komponentteja (katso artikkeli Ensisijainen hajoaminen ).
Vσ=Z(sσ){\ displaystyle V _ {\ sigma} = {\ mathcal {Z}} \ vasen ({\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} \ oikea)}![V _ {{\ sigma}} = {\ mathcal {Z}} \ vasen ({\ mathfrak {p}} _ {{\ sigma}} \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebc96316f16680cdfc21c0522a995f7b55fbdcd)
Huomaa vielä kerran, että polynomilla on seuraava ominaisuus: polynomi kuuluu, jos ja vain, jos
Bσ,l(ζ,x){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, x \ oikea)}
f(ζ)∈VS[ζ]{\ displaystyle f \ left (\ zeta \ right) \ in \ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right]}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}![Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4157a47b145573a3abfff950d7eeb7546ab1f04)
Bσ,l(ζ,∂∂ζ)f(ζ)∈sσ{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ zeta}} \ oikea) f \ vasen (\ zeta \ oikea) \ {\ mathfrakissa {p}} _ {\ sigma}}![{\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ osal} {\ osittainen \ zeta}} \ oikea) f \ vasen (\ zeta \ oikea) \ sisään {\ mathfrak {p}} _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1738cfac5bc2980138bdf177876bf6decc7db6c0)
( ).
l=1,...,ρσ{\ displaystyle l = 1, ..., \ rho _ {\ sigma}}![l = 1, ..., \ rho _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f58067e76ad95428dea0b03b5780dbbe88316a)
( ) Kutsutaan Noetherian operaattorit kiinnitetty ensisijaiseen ihanteellinen (Palamodov terminologia).
Bσ,l(ζ,∂∂ζ){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ zeta}} \ oikea)}
l=1,...,ρσ{\ displaystyle l = 1, ..., \ rho _ {\ sigma}}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}![Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4157a47b145573a3abfff950d7eeb7546ab1f04)
Ratkaisujen täydellinen esitys
Seuraavassa esitetyn yksityiskohtaisen kokonaisratkaisun ratkaisuista sai ensin Palamodov, jonka terminologiaa käytetään uudelleen tässä artikkelissa.
Määritelmä differentiaalijärjestelmä
Tarkastellaan nyt moniulotteista yhtälöjärjestelmää
R(D.)u=0{\ displaystyle R (D) u = 0}![R (D) u = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dcb91070cddff79244b761f5d19a2c2b48c865)
jossa , , , , ja (ks ero operaattori ). Joko sitten . Tämä äärellisen esityksen moduuli M on luonnollinen esitys tarkastellusta järjestelmästä (katso artikkeli Lineaarinen järjestelmä ). Rengas on Noetherian mukaan Hilbert n perusteella lause .
D.=(D.1,...,D.ei){\ displaystyle D = (D_ {1}, ..., D_ {n})}
D.j=-i∂j=-i∂∂xj{\ displaystyle D_ {j} = - i \ osittainen _ {j} = - i {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x_ {j}}}}
D.a=(-i)|a|∂a{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = \ vasen (-i \ oikea) ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} \ osittainen ^ {\ alpha}}
a=(a1,...,aei){\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n})}
D.=VS[D.]{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} = \ mathbb {C} \ vasen [D \ oikea]}
R(D.)∈D.q×k{\ displaystyle R (D) \ muodossa {\ mathfrak {D}} ^ {q \ kertaa k}}
M=vs.okerD.(∙R(D.)){\ displaystyle M = {\ rm {coker}} _ {\ mathfrak {D}} (\ luettelomerkki R (D))}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Tarkastellaan toiminnallista tilaa, joka on -moduuli. Vektori tila liuosten määrittelemässä järjestelmässä M on on tunnistettu
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Wk{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {k}}![{\ mathcal {W}} ^ {{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07aafb0ab3cce53d2cb0df790a5980a2194a952)
BW=HomD.(M,W){\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {\ mathcal {W}} = {\ rm {Hom}} _ {\ mathfrak {D}} (M, {\ mathcal {W}})}![{\ mathfrak {B}} _ {{{\ mathcal {W}}}} = {{\ rm {Hom}}} _ {{{\ mathfrak {D}}}} (M, {\ mathcal {W} })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd47d9ce281f53fa6aa638426363106086f96f08)
.
(katso artikkeli Injektiivimoduuli ).
Tyypillinen lajike
Ominaisuus jakotukki liittyy -moduulista M on määritelmän algebrallinen joukko V liittyvä moduuli , jossa . Tämä joukko on sama kuin joukko, jolle . Ominaisen jakotukin käsite mahdollistaa erityisesti seuraavan differentiaalijärjestelmien luokittelun: järjestelmä sanotaan
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
vs.okerVS[ζ](∙R(ζ)){\ displaystyle {\ rm {coker}} _ {\ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right]} \ left (\ bullet R (\ zeta) \ right)}
ζ=(ζ1,...,ζei){\ displaystyle \ zeta = (\ zeta _ {1}, ..., \ zeta _ {n})}
z∈VSei{\ displaystyle z \ sisään \ mathbb {C} ^ {n}}
rkloeigVSR(z)<k{\ displaystyle {\ rm {rang}} _ {\ mathbb {C}} R (z) <k}![{{\ rm {rang}}} _ {{{\ mathbb {C}}}} R (z) <k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09af324f4e4eedef55ca77c850c4e7211c1c8a9f)
-
määritetään onko (missä on V : n ulottuvuus : katso artikkeli Ensisijainen hajoaminen );dimV<ei{\ displaystyle {\ rm {dim}} V <n}
dimV{\ displaystyle {\ rm {dim}} V}![{{\ rm {dim}}} V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e1e4847cc385c272938f8433d5291fcbdc3476)
-
yliarvioitu jos ;dimV<ei-1{\ displaystyle {\ rm {dim}} V <n-1}
![{{\ rm {dim}}} V <n-1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e06f6c4533ac2c537137552af04f9c9941577c)
-
epämääräisessä jos eli .dimV=ei{\ displaystyle {\ rm {dim}} V = n}
V=VSei{\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {n}}![V = {\ mathbb {C}} ^ {{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c72e2d1be4153418b0ef752c7aec4dbe5f094e8)
Alimääritetyn järjestelmän tapaus jätetään pois tämän kohdan loppuosasta. Yleistetään edellä olevan johdannon merkinnät poseeraamalla . On
EI=VS[ζ]1×qR(ζ)⊂VS[ζ]1×k{\ displaystyle N = \ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right] ^ {1 \ kertaa q} R \ left (\ zeta \ right) \ subset \ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right] ^ {1 \ kertaa k}}![N = {\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ oikea] ^ {{1 \ kertaa q}} R \ vasen (\ zeta \ oikea) \ osajoukko {\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ oikea] ^ {{1 \ kertaa k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21206f7f48c76c7148d601ddf0e9fdd0f924c208)
EI=⋂ρ=1μQσ{\ displaystyle N = \ bigcap \ limits _ {\ rho = 1} ^ {\ mu} Q _ {\ sigma}}![N = \ bigcap \ rajoittaa _ {{\ rho = 1}} ^ {{\ mu}} Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebc369c648626c9ae8ca2e0c02974826919c2f1)
ensisijainen hajoaminen N , prime ihanteellinen kuuluvat ja algebrallinen lajike liittyy . Meillä on jälleen
sσ=Qσ{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} = {\ sqrt {Q _ {\ sigma}}}}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}
Vσ=Z(sσ){\ displaystyle V _ {\ sigma} = {\ mathcal {Z}} \ vasen ({\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} \ oikea)}
sσ{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma}}![{\ mathfrak {p}} _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54e41caad25a983c5a72ed7f8abdd58f4211427)
V=⋃1≤σ≤μVσ{\ displaystyle V = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq \ sigma \ leq \ mu} V _ {\ sigma}}![V = \ bigcup \ nolimits _ {{1 \ leq \ sigma \ leq \ mu}} V _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25e36ba4f2882b86762d8d6e465ed1448a5d95b)
.
Noetherin normalisointi lemman merkitsee sitä, että on olemassa kokonaisluku , kuten (i) , jossa , ja (ii) on äärellinen tyyppi -moduulista. Antaa olla kenttä murto-osien integraalin renkaan ja .
eiσ′,0≤eiσ′≤ei-1{\ displaystyle n _ {\ sigma} ^ {\ prime}, 0 \ leq n _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ leq n-1}
sσ∩VS[ζσ′]=0{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} \ cap \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ right] = 0}
ζσ′=(ζ1,...,ζeiσ′){\ displaystyle \ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} = (\ zeta _ {1}, ..., \ zeta _ {n _ {\ sigma} ^ {\ prime}})}
VS[ζ]/sσ{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ right] / {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma}}
VS[ζσ′]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ oikea]}
Kσ{\ displaystyle K _ {\ sigma}}
VS[ζ]/sσ{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ right] / {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma}}
eσ=dimVS(ζσ′)Kσ{\ displaystyle e _ {\ sigma} = {\ rm {dim}} _ {\ mathbb {C} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ oikea)} K _ {\ sigma}}![e _ {{\ sigma}} = {{\ rm {dim}}} _ {{{\ mathbb {C}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}} \ oikea) }} K _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa03a090027390ed21b3922bd58a82c0efe0a25)
Tämä numero on useita algebrallinen lajike , toisin sanoen määrä kohtia , joissa on affiininen erilaisia ulottuvuus , yleensä asennossa.
eσ{\ displaystyle e _ {\ sigma}}
Vσ{\ displaystyle V _ {\ sigma}}
Vσ∩ATσ{\ displaystyle V _ {\ sigma} \ cap A _ {\ sigma}}
ATσ{\ displaystyle A _ {\ sigma}}
VSei{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
ei-eiσ′{\ displaystyle n-n _ {\ sigma} ^ {\ prime}}![n-n _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73fb8552892fa3d0b6745b0a42ec0f2751da878)
Noeerialaiset operaattorit ja eksponentiaalipolynomi ratkaisut
-Moduulista on rajallinen tyyppiä. Joko sen sijoitus, ts
VS[ζσ′]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ oikea]}
VS[ζ]1×k/Qσ{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ right] ^ {1 \ kertaa k} / Q _ {\ sigma}}
rσ{\ displaystyle r _ {\ sigma}}![r _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417ceeb26064fd7d80db5e0978e7f95dfdfa7596)
rσ=dimVS(ζσ′)(VS(ζσ′)⊗VS[ζσ′](VS[ζ]1×k/Qσ)){\ displaystyle r _ {\ sigma} = {\ rm {dim _ {\ mathbb {C} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ oikea)} \ vasen (\ mathbb {C} \ vasen (\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ right) \ otimes _ {\ mathbb {C} \ left [\ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ right]} (\ mathbb {C } \ vasen [\ zeta \ oikea] ^ {1 \ kertaa k} / Q _ {\ sigma}) \ oikea)}}}![r _ {{\ sigma}} = {\ rm {himmeinen {{{{\ mathbb {C}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}} \ oikea)}} \ vasen ({\ mathbb {C}} \ vasen (\ zeta _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}} \ oikea) \ otimes _ {{{{{\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta _ { {\ sigma}} ^ {{\ prime}} \ oikea]}} ({\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ right] ^ {{1 \ kertaa k}} / Q _ {{\ sigma} }) \ oikea)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5f424788bb77643c31198323a6702872ebc678)
.
Näytämme, että se on kokonaisluku. Kaiken suhteen on olemassa noeerialaisia operaattoreita , joiden sanotaan olevan kiinnitetty -moduuliin ja jotka on merkitty
ρσ=rσ/eσ{\ displaystyle \ rho _ {\ sigma} = r _ {\ sigma} / e _ {\ sigma}}
σ∈{1,...,μ}{\ displaystyle \ sigma \ vasemmalla \ {1, ..., \ mu \ right \}}
VS[ζ]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea]}
Qσ{\ displaystyle Q _ {\ sigma}}![Q _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4157a47b145573a3abfff950d7eeb7546ab1f04)
Bσ,l(ζ,∂∂ζσ′′)∈VS[ζ,∂∂ζ′′]1×k{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ partitali} {\ osittainen \ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea) \ sisään \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta, {\ frac {\ partitali {{osittainen \ zeta ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea] ^ {1 \ kertaa k}}![{\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ osal} {\ osittainen \ zeta _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime \ prime}} }} \ oikea) \ muodossa {\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta, {\ frac {\ partituali {\ osittainen \ zeta ^ {{\ prime \ prime}}}} \ oikea] ^ {{1 \ kertaa k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0172929c1c4bdfac6fb2658c671ef4d0060b2bcd)
( )
l=1,...,ρσ{\ displaystyle l = 1, ..., \ rho _ {\ sigma}}![l = 1, ..., \ rho _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f58067e76ad95428dea0b03b5780dbbe88316a)
jossa on seuraavat ominaispiirteet:
ζσ′′=(ζeiσ′+1,...,ζei){\ displaystyle \ zeta _ {\ sigma} ^ {\ prime \ prime} = (\ zeta _ {n _ {\ sigma} ^ {\ prime} +1}, ..., \ zeta _ {n})}![\ zeta _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime \ prime}} = (\ zeta _ {{n _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}} + 1}}, ..., \ zeta _ {{not}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44b639e445511becd1aca68877202492202174d)
f(ζ)∈VS[ζ]1×k{\ displaystyle f \ left (\ zeta \ right) \ in \ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right] ^ {1 \ kertaa k}}![f \ vasen (\ zeta \ right) \ in {\ mathbb {C}} \ vasen [\ zeta \ right] ^ {{1 \ kertaa k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978b1e7d329b8173130b877c9fa9729a4c851b5e)
ja
Bσ,l(ζ,∂∂ζ′′)f(ζ)∈sσ(l=1,...,ρσ)⟺f(ζ)∈Qσ{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ partituali} {\ osittainen \ zeta ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea) f \ vasen (\ zeta \ right) \ sisään {\ mathfrak {p}} _ {\ sigma} (l = 1, ..., \ rho _ {\ sigma}) \ Longleftrightarrow f \ left (\ zeta \ right) \ in Q _ {\ sigma}}
missä milloin .
klob=∑1≤i≤kkloibi{\ displaystyle \ mathbf {ab} = \ summa \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k} a_ {i} b_ {i}}
klo,b∈VS1×k{\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b \ sisään \ mathbb {C}} ^ {1 \ kertaa k}}![{\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b \ kielellä {\ mathbb {C}}}} ^ {{1 \ kertaa k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a3080058b8828580ddeba38bca6f6fd07b05a9)
Seuraavassa on upotettu mihin ja voimme siksi kirjoittaa . On
VS[ζ,ζ′′]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta, \ zeta ^ {\ prime \ prime} \ oikea]}
VS[ζ,x]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta, x \ oikea]}
x=(x1,...,xei){\ displaystyle x = (x_ {1}, ..., x_ {n})}
Bσ,l=Bσ,l(ζ,x){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} = {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta, x \ oikea)}![{\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} = {\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} \ vasen (\ zeta, x \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4ccdc6c7a6607d74a9f859b88a384d1349189d)
W0=⨁ζ∈VSeiVS[x]ei⟨x,ζ⟩{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0} = \ bigoplus \ limits _ {\ zeta \ in \ mathbb {C} ^ {n}} \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea] e ^ { i \ left \ langle x, \ zeta \ right \ rangle}}![{\ mathcal {W}} _ {{0}} = \ bigoplus \ limits _ {{\ zeta \ kohteessa {\ mathbb {C}} ^ {{n}}}} {\ mathbb {C}} \ left [ x \ right] e ^ {{i \ left \ langle x, \ zeta \ right \ rangle}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6087bcaddb5717a727877de929b14cd6042ba9ea)
lineaaristen eksponentiaalisten polynomiyhdistelmien tila . Meillä on seuraava tulos:
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![{\ mathbb {R}} ^ {{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Lause - Toiminnot , ovat liuoksia differentiaalisen järjestelmän sisään .
u:x↦Bσ,lT(ζ,x)ei⟨x,ζ⟩,ζ∈Vσ,l=1,...,ρσ,σ=1,...,μ{\ displaystyle u: x \ mapsto {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} ^ {T} \ left (\ zeta, x \ right) e ^ {i \ left \ langle x, \ zeta \ right \ rangle}, \ zeta \ V _ {\ sigma}, l = 1, ..., \ rho _ {\ sigma}, \ sigma = 1, ..., \ mu}
W0k{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0} ^ {k}}![{\ mathcal {W}} _ {{0}} ^ {{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c1c3b995279a43ebd1eb9d225902e3122c46bb)
Esimerkki
Harkitse seuraavaa esimerkkiä Palamodovin takia ja Hörmanderin ja Björkin yksityiskohtaisesti:
R(D.)=[D.22D.32D.2-D.1D.3]{\ displaystyle R \ left (D \ right) = \ left [{\ begin {array} {ccc} D_ {2} ^ {2} & D_ {3} ^ {2} & D_ {2} -D_ {1 } D_ {3} \ end {array}} \ right]}![R \ vasen (D \ oikea) = \ vasen [{\ begin {array} {ccc} D _ {{2}} ^ {{2}} ja D _ {{3}} ^ {{2}} & D _ {{2}} -D _ {{1}} D _ {{3}} \ end {array}} \ oikea]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1816da59f38b39b8db5bee81581226030ab614de)
mistä .
R(ζ)=[ζ22ζ32ζ2-ζ1ζ3]{\ displaystyle R \ left (\ zeta \ right) = \ left [{\ begin {array} {ccc} \ zeta _ {2} ^ {2} & \ zeta _ {3} ^ {2} & \ zeta _ {2} - \ zeta _ {1} \ zeta _ {3} \ end {array}} \ right]}![R \ left (\ zeta \ right) = \ left [{\ begin {array} {ccc} \ zeta _ {{2}} ^ {{2}} & \ zeta _ {{3}} ^ {{2} } & \ zeta _ {{2}} - \ zeta _ {{1}} \ zeta _ {{3}} \ end {array}} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956369022850fe45d0bdd5f6e6fa4704d6e23632)
Varmistamme, että se on ensisijainen ihanteellinen Q ; seuraavassa voimme siis jättää indeksin pois, koska se saa vain arvon 1. Ominaislajike V saadaan kirjoittamalla joko uudelleen mistä ; siksi se on akseli ja sen moninaisuus on . Varmistamme myös, että se on ihanteellinen ; tämä ihanne on kirjoitettu yksinkertaisuuden vuoksi . Osamäärä syntyy kanoninen kuvien ja (niin kirjoitus ), se oli , ja sijoitus R on päällä on 2. Näin ollen . Voimme valita niin noetherian operaattoreille ja joissa . Todellakin, tarkistamme sen
EI=VS[ζ]R(ζ){\ displaystyle N = \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] R \ vasen (\ zeta \ oikea)}
σ{\ displaystyle \ sigma}
rkloeigVSR(z)<k{\ displaystyle {\ rm {rang}} _ {\ mathbb {C}} R (z) <k}
R(z)=0{\ displaystyle R (z) = 0}
z2=z3=0{\ displaystyle z_ {2} = z_ {3} = 0}
z1{\ displaystyle z_ {1}}
e=1{\ displaystyle e = 1}
s=Q{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {Q}}}
ζ2VS[ζ]+ζ3VS[ζ]{\ displaystyle \ zeta _ {2} \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] + \ zeta _ {3} \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea]}
[ζ2,ζ3]{\ displaystyle \ vasen [\ zeta _ {2}, \ zeta _ {3} \ oikea]}
VS[ζ]/Q{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] / Q}
ζ¯2{\ displaystyle {\ bar {\ zeta}} _ {2}}
ζ¯3{\ displaystyle {\ bar {\ zeta}} _ {3}}
VS[ζ]/Q=[ζ¯2,ζ¯3]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ left [\ zeta \ right] / Q = \ left [{\ bar {\ zeta}} _ {2}, {\ bar {\ zeta}} _ {3} \ right] }
ζ′=ζ1{\ displaystyle \ zeta ^ {\ prime} = \ zeta _ {1}}
VS[ζ]/Q{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta \ oikea] / Q}
VS[ζ1]/Q{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ zeta _ {1} \ oikea] / Q}
ρ=r/e=2{\ displaystyle \ rho = r / e = 2}
B1(ζ,∂∂ζ′′)=1{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ osal} {\ osittainen \ zeta ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea) = 1}
B2(ζ,∂∂ζ′′)=ζ1∂∂ζ2+∂∂ζ3{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {2} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ osal} {\ osittainen \ zeta ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea) = \ zeta _ {1 } {\ frac {\ partitali {\ partituali \ zeta _ {2}}} + {\ frac {\ osallinen} {\ osio \ zeta _ {3}}}}
ζ′′=(ζ2,ζ3){\ displaystyle \ zeta ^ {\ prime \ prime} = (\ zeta _ {2}, \ zeta _ {3})}![\ zeta ^ {{\ prime \ prime}} = (\ zeta _ {{2}}, \ zeta _ {{3}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20239b824fe8afa922cd5ceacfcce0991ab9c9f)
{1.f(ζ)∈[ς2,ς3]ζ1∂f∂ζ2+∂f∂ζ3∈[ζ2,ζ3]⟺f(ζ)∈[ζ22,ζ32,ζ2-ζ1ζ3]{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} 1.f \ left (\ zeta \ right) \ in \ left [\ varsigma _ {2}, \ varsigma _ {3} \ right] \\ \ zeta _ {1} {\ frac {\ partitali f} {\ partituali \ zeta _ {2}}} + {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen \ zeta _ {3}}} \ sisään \ vasen \ zeta _ {2}, \ zeta _ {3} \ right] \ end {array}} \ right. \ Longleftrightarrow f \ left (\ zeta \ right) \ in \ left [\ zeta _ {2} ^ {2 }, \ zeta _ {3} ^ {2}, \ zeta _ {2} - \ zeta _ {1} \ zeta _ {3} \ oikea]}![\ left \ {{\ begin {array} {c} 1.f \ left (\ zeta \ right) \ in \ left [\ varsigma _ {{2}}, \ varsigma _ {{3}} \ right] \ \\ zeta _ {{1}} {\ frac {\ partis f} {\ partitu \ zeta _ {{2}}}} + {\ frac {\ osio f} {\ osio \ zeta _ {{3}} }} \ sisään \ vasemmalle [\ zeta _ {{2}}, \ zeta _ {{3}} \ oikea] \ loppu {taulukko}} \ oikea. \ Longleftrightarrow f \ vasen (\ zeta \ oikea) \ sisään \ vasemmalle [\ zeta _ {{2}} ^ {{2}}, \ zeta _ {{3}} ^ {{2}}, \ zeta _ {{2}} - \ zeta _ {{1}} \ zeta _ {{3}} \ oikea]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6feaaedab522b18d4fa7e739bc92b9bc72bc2842)
.
Eksponentiaalinen-polynomi ratkaisuja differentiaalisen järjestelmän muodostavat siten vektorisysteemi tila syntyy , jos
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
u:x↦u(x){\ displaystyle u: x \ mapsto u (x)}![u: x \ mapsto u (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b6c0c431d3b8650c0c87ed4b2d4080b0d20e65)
u(x)=eix1ζ1+(ζ2x2+x3)eix1ζ1{\ displaystyle u \ left (x \ right) = e ^ {ix_ {1} \ zeta _ {1}} + \ left (\ zeta _ {2} x_ {2} + x_ {3} \ right) e ^ {ix_ {1} \ zeta _ {1}}}![u \ left (x \ right) = e ^ {{ix _ {{1}} \ zeta _ {{1}}}} + \ left (\ zeta _ {{2}} x _ {{2}} + x_ {{3}} \ oikea) e ^ {{ix _ {{1}} \ zeta _ {{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c853d0e3fc8e68406c50ec521384addee5160c)
koska voimme helposti tarkistaa jälkikäteen . Huomaa, että riippuu ja tämä riippuvuus on väistämätön tässä esimerkissä. Oberst sai aikaan systemaattisen menetelmän primäärimoduuliin liittyvien noeerialaisten operaattoreiden määrittämiseksi.
B2(ζ,∂∂ζ′′){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {2} \ vasen (\ zeta, {\ frac {\ osal} {\ osittainen \ zeta ^ {\ prime \ prime}}} \ oikea)}
ζ{\ displaystyle \ zeta}![\ zeta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae)
Perusperiaate
Antaa olla kupera kompakti . Tässä kuvaamme ratkaisuja , toimintojen ( bakteerien ) tila, joka on jatkuvasti erotettavissa K : n avoimessa naapurustossa . Tukitoiminto on K on
K⊂Rei{\ displaystyle K \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}
VSv(K){\ displaystyle C ^ {\ nu} (K)}
v{\ displaystyle \ nu}![\alasti](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
HK(ξ)=supx∈K⟨x,ξ⟩{\ displaystyle H_ {K} \ left (\ xi \ right) = \ sup \ limits _ {x \ in K} \ left \ langle x, \ xi \ right \ rangle}![H _ {{K}} \ vasen (\ xi \ right) = \ sup \ limits _ {{x \ in K}} \ left \ langle x, \ xi \ right \ rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5189148617ebb8d88cd02f031fe61ba5984dda1)
.
On
v=sup1≤σ≤μ{ei-eiσ′}{\ displaystyle \ nu = \ sup _ {1 \ leq \ sigma \ leq \ mu} \ vasen \ {n-n _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ oikea \}}![\ nu = \ sup _ {{1 \ leq \ sigma \ leq \ mu}} \ vasen \ {n-n _ {{\ sigma}} ^ {{\ prime}} \ oikea \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb2e2d0431c7882e0fca4c08535db6c9049ea14)
.
Lause - Let
u(x)=∑σ=1μ∑l=1ρσ∫VσBσ,lT(ζ,x)ei⟨x,ζ⟩dμσ,l(ζ){\ displaystyle u \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ {\ sigma = 1} ^ {\ mu} \ sum \ limits _ {l = 1} ^ {\ rho _ {\ sigma}} \ int _ {V _ {\ sigma}} {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l} ^ {T} \ vasen (\ zeta, x \ oikea) e ^ {i \ left \ langle x, \ zeta \ oikea \ etäisyys} d \ mu _ {\ sigma, l} \ vasen (\ zeta \ oikea)}![u \ vasen (x \ oikea) = \ summa \ rajoittaa _ {{\ sigma = 1}} ^ {{\ mu}} \ summa \ rajoittaa _ {{l = 1}} ^ {{\ rho _ {{\ sigma}}}} \ int _ {{V _ {{\ sigma}}}} {\ mathcal {B}} _ {{\ sigma, l}} ^ {{T}} \ vasen (\ zeta, x \ oikea) e ^ {{i \ left \ langle x, \ zeta \ right \ rangle}} d \ mu _ {{\ sigma, l}} \ left (\ zeta \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c77e4996403f9031046d7a3a6a23d1ef89a796)
jos nämä ovat monimutkaisia mittauksia, tuki sisältyy . Olettaa
μσ,l{\ displaystyle \ mu _ {\ sigma, l}}
Vσ{\ displaystyle V _ {\ sigma}}![V _ {{\ sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e321cb34fb78c92f7307d544571010b3ae166a4)
∫Vσ(1+|ζ|)qexp{HK(-ℑ(ζ))}d|μσ,l(ζ)|<∞{\ displaystyle \ int \ nolimits _ {V _ {\ sigma}} \ left (1+ \ left \ vert \ zeta \ right \ vert \ right) ^ {q} \ exp \ left \ {H_ {K} \ left (- \ Im \ left (\ zeta \ right) \ right) \ right \} d \ left \ vert \ mu _ {\ sigma, l} (\ zeta) \ right \ vert <\ infty}![\ int \ nolimits _ {{V _ {{\ sigma}}}} vasen (1+ \ vasen \ vert \ zeta \ oikea \ vert \ oikea) ^ {{q}} \ exp \ vasen \ {H _ { {K}} \ vasen (- \ Im \ left (\ zeta \ right) \ right) \ right \} d \ left \ vert \ mu _ {{\ sigma, l}} (\ zeta) \ right \ vert < \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a98ff86cb96495a309d469d5504b5738984efd)
jossa kokonaisluku q on suurempi tai yhtä suuri kuin en- aste . On olemassa sellainen kokonaisluku , että jos on differentiaalijärjestelmän ratkaisu , niin yllä olevassa lausekkeessa esiintyvä integraali , samoin kuin sen johdannaiset järjestykseen saakka , on absoluuttisesti ja tasaisesti konvergentti ( x: n suhteen ). Päinvastoin, tämä lauseke määrittää ratkaisun differentiaalijärjestelmälle .
Bσ,l{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l}}
ζ{\ displaystyle \ zeta}
5≥0{\ displaystyle \ delta \ geq 0}
u∈VSv+5(K)k{\ displaystyle u \ muodossa C ^ {\ nu + \ delta} (K) ^ {k}}
u(x){\ displaystyle u \ vasen (x \ oikea)}
v{\ displaystyle \ nu}
VSv(K)k{\ displaystyle C ^ {\ nu} (K) ^ {k}}![C ^ {{\ nu}} (K) ^ {{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb2ba1f9e16b41e12ae1371c36bd9288a554be0)
Muut olosuhteet tarjoavat ratkaisuja jakelu- tai hypertoimintatiloihin.
Seuraavassa oletetaan, että rengas on varustettu erillisellä topologialla , mikä tekee siitä topologisen renkaan .
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Määritelmä - Perusperiaate - Antaa topologinen -moduulista, joka sisältää vektorin, joihin lineaarisen yhdistelmiä eksponentiaalinen-polynomien (mahdollisesti rajoitettu ei-tyhjä auki of ). Sanomme, että tämä tila, joka täyttää perusperiaatteen, jos minkä tahansa matriisin (riippumatta kokonaisluvuista q on k ) tarttuminen kohtaan on yhtä suuri ja suljettu .
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
W0{\ displaystyle {{\ mathcal {W}} _ {0}}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
R(D.)∈D.q×k{\ displaystyle R (D) \ muodossa {\ mathfrak {D}} ^ {q \ kertaa k}}
Wk{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {k}}
kerW0(R(D.)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {{\ mathcal {W}} _ {0}} (R (D) \ luettelomerkki)}
kerW(R(D.)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} (R (D) \ luettelomerkki)}
imW(R(D.)∙){\ displaystyle {\ rm {im}} _ {\ mathcal {W}} (R (D) \ luettelomerkki)}
Wq{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {q}}![{\ mathcal {W}} ^ {{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8743277ff945ad1ddfc39e9958dc03d954348380)
Seuraava tulos on selvä:
Lemma - tila lineaarisen yhdistelmiä eksponentiaalisen-polynomien rajoitettu liitetty ei-tyhjä auki ja , jolla on diskreetti topologia, täyttää perusperiaate.
W0{\ displaystyle {{\ mathcal {W}} _ {0}}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![{\ mathbb {R}} ^ {{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Meillä on myös seuraava tulos:
Lause -
- Antaa olla kupera avoin . Toimintojen tila , jota voidaan rajattomasti erottaa toisistaan (varustettu tavallisella Fréchet-avaruuden topologialla ), jakelutila päällä (varustettu tavallisella topologialla) ja äärellisten järjestysjakaumien tila päällä (varustettu niiden aiheuttamalla topologialla ) todentavat perusperiaate.Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
D.′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
D.′F(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime F} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
D.′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} (\ Omega)}![{\ mathcal {D}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f101d678eb38f8e64c6342e0d6ab93f80679f496)
- Antaa kytkeä auki ja . Jotta tai tarkistaa perusperiaatetta, on välttämätöntä, että se on kupera.Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}
D.′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
- Tila on kokonaisluku toimintoja, jolla on topologia tasainen suppeneminen tahansa kompakti (mikä tekee siitä Fréchet - Schwartz tila ), ja tilaa analyyttisten toimintoja kasvu korkeintaan eksponentiaalinen päälle , isomorfinen dual kautta muunnos de Fourier Laplace , tarkista perusperiaate.O(VSei){\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbb {C} ^ {n})}
O(VSei;exs){\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbb {C} ^ {n}; exp)}
VSei{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
O(VSei)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbb {C} ^ {n}) ^ {\ prime}}
Tila on hyperfunctions kuperan avoin ja ei topologinen vektori tilaa, kuitenkin olennainen esitys, kuten edellä on olemassa sellaisen liikatoiminta , integraalit, joilla otetaan siinä mielessä, että hyperfunctions (tämä tulos johtuu Kaneto) .
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
u(x){\ displaystyle u (x)}![u (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e5ff65a28eed29d36ddae9c6ae3b596fd14370)
Epähomogeeniset differentiaalijärjestelmät
Ongelman sijainti
Harkitse nyt moniulotteista yhtälöjärjestelmää
R1(D.)u=f{\ displaystyle R_ {1} (D) u = f}![R _ {{1}} (D) u = f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a720c5bef7f2136446a7d4dc3e548d505591933c)
missä operaattori D on määritelty edellä; - nimeää jälleen differentiaalioperaattoreiden renkaan ja . Toinen jäsen v kuuluu mihin funktionaalinen tila, joka on -moduuli. Esiin nousee kysymys siitä, myöntääkö tämä järjestelmä ratkaisuja .
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
R1(D.)∈D.q1×k1{\ displaystyle R_ {1} (D) \ muodossa {\ mathfrak {D}} ^ {q_ {1} \ kertaa k_ {1}}}
Wq1{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {q_ {1}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
u∈Wk1{\ displaystyle u \ sisään {\ mathcal {W}} ^ {k_ {1}}}![u \ kohteessa {\ mathcal {W}} ^ {{k _ {{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c80c83fdf7d3fbc7a24dae3d2cd5c36e084b8b5)
Yhteensopivuus
Koska rengas on ei-eetteriläinen, on olemassa matriisi , jonka kanssa sekvenssi
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
R2(D.)∈D.q2×k2{\ displaystyle R_ {2} (D) \ muodossa {\ mathfrak {D}} ^ {q_ {2} \ kertaa k_ {2}}}
k2=q1{\ displaystyle k_ {2} = q_ {1}}![k _ {{2}} = q _ {{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0ad1ec5419599eafedc278f19eea3e7042b855)
D.1×q2⟶∙R2(D.)D.1×q1⟶∙R1(D.)D.1×k1{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} ^ {1 \ kertaa q_ {2}} {\ overset {\ bullet R_ {2} (D)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D}} ^ {1 \ kertaa q_ {1}} {\ overset {\ bullet R_ {1} (D)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D}} ^ {1 \ kertaa k_ {1}}}![{\ mathfrak {D}} ^ {{1 \ kertaa q _ {{2}}}} {\ overset {\ bullet R _ {{2}} (D)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D} } ^ {{1 \ kertaa q _ {{1}}}} {\ overset {\ bullet R _ {{1}} (D)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D}} ^ {{1 \ kertaa k _ {{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a38463d88c423822aa7927d705411372a49a1a6)
on tarkka , eli .
kerD.(∙R1(D.))=imD.(∙R2(D.)){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathfrak {D}} (\ bullet R_ {1} (D)) = {\ rm {im}} _ {\ mathfrak {D}} (\ bullet R_ { 2} (D))}![{{\ rm {ker}}} _ {{\ mathfrak {D}}} (\ bullet R _ {{1}} (D)) = {{\ rm {im}}} _ {{\ mathfrak {D }}} (\ luettelomerkki R _ {{2}} (D))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0abdc43014f8e4a54fd7a521536d37bf38d2a38)
Itse asiassa se on rajallista tyyppiä, ja sen vuoksi riittää, että valitset matriisin, jonka viivat muodostavat generaattorijoukon (tämä päättely pysyisi voimassa, jos vain yhtenäinen rengas olisi olemassa ).
kerD.(∙R1(D.))⊂D.1×q1{\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathfrak {D}} (\ luettelomerkki R_ {1} (D)) \ osajoukko {\ mathfrak {D}} ^ {1 \ kertaa q_ {1}}}
R2(D.){\ displaystyle R_ {2} (D)}
kerD.(∙R1(D.)){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathfrak {D}} (\ luettelomerkki R_ {1} (D))}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Koska yllä olevalla järjestelmällä on ratkaisu, on tietysti välttämätöntä, että yhteensopivuus edellyttääR2(D.)R1(D.)=0{\ displaystyle R_ {2} (D) R_ {1} (D) = 0}
R2(D.)f=0{\ displaystyle R_ {2} (D) f = 0}![R _ {{2}} (D) f = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ca81fe022bbbc417e054814efc1ba34fbce6c8)
olla tyytyväinen. Kysymys koskee sitä tietää, jos tämä ehto yhteensopivuus, mikä on tarpeen , on riittävää , että ero järjestelmän myöntämään ratkaisu, eli jos meillä on
imW(R1(D.)∙)=kerW(R2(D.)∙){\ displaystyle {\ rm {im}} _ {\ mathcal {W}} (R_ {1} (D) \ bullet) = {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} (R_ {2} (D) \ luettelomerkki)}![{{\ rm {im}}} _ {{\ mathcal {W}}} (R _ {{1}} (D) \ bullet) = {{\ rm {ker}}} _ {{\ mathcal {W }}} (R _ {{2}} (D) \ luettelomerkki)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237328d026f66b50ff2a72e00812bdbd0daf78a7)
.
Perusperiaate, injektiokyky ja tasaisuus
Lause - Oletetaan, että perusperiaate pätee. Joten loput
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}![{\ mathcal {W}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1cc103563219127f59aec7ed9327a3595566dd)
Wk1⟶R1(D.)∙Wq1⟶R2(D.)∙Wq2{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {k_ {1}} {\ overset {R_ {1} (D) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} ^ {q_ {1}} {\ overset {R_ {2} (D) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} ^ {q_ {2}}}![{\ mathcal {W}} ^ {{k _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{1}} (D) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} ^ { {q_ {{1}}}} {\ overset {R _ {{2}} (D) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} ^ {{q _ {{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73dcbb34b04f8d7c0864cc5758d69d13bb40599)
on oikein.
Esittely
Tämä mielenosoitus vie, yksityiskohtaisesti ja täydentää sen, Palamodovin. Mukavuuden vuoksi seuraava formulaatio käyttää operaattoria D: n sijasta . Edellinen keskustelu osoittaa, että meillä on aina
∂=∂/∂x{\ displaystyle \ osittainen = \ osittainen / \ osittainen x}![\ osittainen = \ osittainen / \ osittainen x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dde5fb8cec4e609b182bacbe2148e5b5936de9d)
imW(R1(∂)∙)⊂kerW(R2(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {im}} _ {\ mathcal {W}} (R_ {1} (\ parts) \ bullet) \ osajoukko {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} (R_ { 2} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}![{{\ rm {im}}} _ {{{\ mathcal {W}}}} (R _ {{1}} (\ parts) \ bullet) \ osajoukko {{\ rm {ker}}} _ {{ \ mathcal {W}}} (R _ {{2}} (\ osittainen) \ luettelomerkki)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c67736bc78a6b4aeea2d11489dfbf107e72ff9)
.
Riittää siis osoittaa, että jos perusperiaate täyttyy,
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}![{\ mathcal {W}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1cc103563219127f59aec7ed9327a3595566dd)
kerW0(R2(∂)∙)⊂imW(R1(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {{\ mathcal {W}} _ {0}} (R_ {2} (\ parts) \ bullet) \ osajoukko {\ rm {im}} _ {\ mathcal { W}} (R_ {1} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}![{{\ rm {ker}}} _ {{{\ mathcal {W}} _ {{0}}}} (R _ {{2}} (\ osittainen) \ luettelomerkki) \ osajoukko {{\ rm {im }}} _ {{\ mathcal {W}}} (R _ {{1}} (\ osittainen) \ luettelomerkki)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4dd2b2a28dd3d8c5a3f1d4017b5899fa5f254d)
.
Todellakin, perusperiaate mukaan on suljettu aliavaruus ja että adheesioprosentti ja vastaa . Joten riittää osoittaa se
imW(R1(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {im}} _ {\ mathcal {W}} (R_ {1} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}
Wk{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {k}}
Wk{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {k}}
kerW0(R2(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {{\ mathcal {W}} _ {0}} (R_ {2} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}
kerW(R2(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {\ mathcal {W}} (R_ {2} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}![{{\ rm {ker}}} _ {{{\ mathcal {W}}}} (R _ {{2}} (\ osittainen) \ luettelomerkki)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef0b9a32d06e96b2076b410d3531074697b6a29)
kerW0(R2(∂)∙)=imW0(R1(∂)∙){\ displaystyle {\ rm {ker}} _ {{\ mathcal {W}} _ {0}} (R_ {2} (\ parts) \ bullet) = {\ rm {im}} _ {{\ mathcal { W}} _ {0}} (R_ {1} (\ osittainen) \ luettelomerkki)}![{{\ rm {ker}}} _ {{{{\ mathcal W}} _ {{0}}}} (R _ {{2}} (\ osittainen) \ luettelomerkki) = {{\ rm {im} }} _ {{{{\ mathcal W}} _ {{0}}}} (R _ {{1}} (\ osittainen) \ luettelomerkki)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d50f4f576a63d27f22876df61681f7b017d998)
toisin sanoen loput
W0k1⟶R1(∂)∙W0q1⟶R2(∂)∙W0q2{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0} ^ {k_ {1}} {\ overset {R_ {1} (\ osal) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ { 0} ^ {q_ {1}} {\ overset {R_ {2} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {0} ^ {q_ {2}}}![{\ mathcal {W}} _ {{0}} ^ {{k _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{1}} (\ osal) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {{0}} ^ {{q _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{2}} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal { W}} _ {{0}} ^ {{q _ {{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bbe50b024ab966a47c6bc9d9c0a486e8d9d0b8)
on oikein. Riittää, että kaikille muille
z∈VSei{\ displaystyle z \ sisään \ mathbb {C} ^ {n}}![z \ kohteessa {\ mathbb {C}} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977ed3d7cb322555a0d9266b40f2cf50ae26d7f2)
W0,zk1⟶R1(∂)∙W0,zq1⟶R2(∂)∙W0,zq2{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0, z} ^ {k_ {1}} {\ overset {R_ {1} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {0, z} ^ {q_ {1}} {\ overset {R_ {2} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {0, z} ^ {q_ { 2}}}![{\ mathcal {W}} _ {{0, z}} ^ {{k _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{1}} (\ osal) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {{0, z}} ^ {{q _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{2}} (\ osal) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} _ {{0, z}} ^ {{q _ {{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9093beda5ce9680042cf07622ff68b3e5d9e2900)
tarkalleen missä . Palaamme asian sopivalla käännös matriisien ja ja . Antaa olla tilaa virallista sarjassa vuonna . Kertoimien yksinkertaisen lähentymisen topologialla on Fréchet-tila. Antaa olla bilineaarinen muoto määritelty
W0,z=VS[x]ei⟨x,z⟩{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0, z} = \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea] e ^ {i \ vasen \ langle x, z \ oikea \ rangle}}
z=0{\ displaystyle z = 0}
R1(ζ){\ displaystyle R_ {1} (\ zeta)}
R2(ζ){\ displaystyle R_ {2} (\ zeta)}
W0,0=VS[x]{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0,0} = \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea]}
S=VS[[ξ]]{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}
ξ{\ displaystyle \ xi}
S{\ displaystyle \ mathbf {S}}
(∙,∙):VS[x]×VS[[ξ]]→VS{\ displaystyle (\ bullet, \ bullet): \ mathbb {C} \ left [x \ right] \ times \ mathbb {C} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] \ rightarrow \ mathbb {C }}![(\ bullet, \ bullet): {\ mathbb {C}} \ left [x \ right] \ times {\ mathbb {C}} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] \ rightarrow {\ mathbb {VS}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ab1f69e78c0d250cd7ea0e11bc8305e5a28810)
f=∑fieiiefjj!xj∈VS[x],ϕ=∑jϕjξj∈VS[[ξ]]{\ displaystyle f = \ summa \ rajoittaa _ {finie} {\ frac {f_ {j}} {j!}} x ^ {j} \ sisään \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea], \ phi = \ sum \ limits _ {j} \ phi _ {j} \ xi ^ {j} \ sisään \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}![f = \ summa \ rajoittaa _ {{finie}} {\ frac {f _ {{j}}} {j!}} x ^ {{j}} \ muodossa {\ mathbb {C}} \ vasen [x \ oikea], \ phi = \ summa \ rajoittaa _ {{j}} \ phi _ {{j}} \ xi ^ {{j}} \ in {\ mathbb {C}} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0295d8d4000f59740f4a35745e1a1124e35d86e6)
suhteen perusteella
(f,ϕ)=∑jfjϕj{\ displaystyle (f, \ phi) = \ summa \ rajoittaa _ {j} f_ {j} \ phi _ {j}}![(f, \ phi) = \ summa \ rajoittaa _ {{j}} f _ {{j}} \ phi _ {{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a344aae975447c6f492c172838b5c9690eba4ef)
.
Tämä bilineaarinen muoto on erottava, toisin sanoen jos sitten kaikille , ja jos kaikille sitten . Siksi se asettaa vektoritilat ja erottaa kaksinaisuuden. On helposti osoitettavissa, että mikä tahansa jatkuva lineaarinen muoto on yhden muotoinen , identifioidaan näin ollen Fréchet-tilan kaksoisarvon kanssa ; lisäksi on tiukkojen induktiivisten rajojen rajallinen ulottuvuus tila, jonka muodostavat polynomit, joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin m . Operaattori (kertolasku on lineaarinen ja jatkuva, ja
(f,ϕ)=0{\ displaystyle (f, \ phi) = 0}
ϕ∈VS[[ξ]]{\ displaystyle \ phi \ in \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}
f=0{\ displaystyle f = 0}
(f,ϕ)=0{\ displaystyle (f, \ phi) = 0}
f∈VS[x]{\ displaystyle f \ sisään \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea]}
ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}
VS[x]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea]}
VS[[ξ]]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}
S{\ displaystyle \ mathbf {S}}
(f,-){\ displaystyle (f, -)}
f∈VS[x]{\ displaystyle f \ sisään \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea]}
P=VS[x]{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ mathbb {C} \ vasen [x \ oikea]}
S{\ displaystyle \ mathbf {S}}
P{\ displaystyle \ mathbf {P}}
Pm{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {m}}
ξj∙:S→S{\ displaystyle \ xi ^ {j} \ bullet: \ mathbf {S} \ rightarrow \ mathbf {S}}
ξj){\ displaystyle \ xi ^ {j})}![\ xi ^ {{j}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0bd8cade500f4a1686d63536e2daf033d032a6)
(∂jf,ϕ)=(f,ξjϕ){\ displaystyle (\ osittainen ^ {j} f, \ phi) = (f, \ xi ^ {j} \ phi)}![(\ osittainen ^ {{j}} f, \ phi) = (f, \ xi ^ {{j}} \ phi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51d59a01fcaeb4992c4efdf9a4b92c369fea718)
eli kertolasku on operaattorin transponointi .
ξj{\ displaystyle \ xi ^ {j}}
∂j{\ displaystyle \ osittainen ^ {j}}![\ osittainen ^ {{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8f0ca6de802f8d4eafd8793c6341b3cf61666a)
Mutta loput
VS[ξ]1×q2⟶∙R2(ξ)VS[ξ]1×q1⟶∙R1(ξ)VS[ξ]1×k1{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ xi \ right] ^ {1 \ kertaa q_ {2}} {\ overset {\ bullet R_ {2} (\ xi)} {\ longrightarrow}} \ mathbb {C } \ left [\ xi \ right] ^ {1 \ kertaa q_ {1}} {\ overset {\ bullet R_ {1} (\ xi)} {\ longrightarrow}} \ mathbb {C} \ left [\ xi \ oikea] ^ {1 \ kertaa k_ {1}}}![{\ mathbb {C}} \ vasen [\ xi \ right] ^ {{1 \ kertaa q _ {{2}}}} {\ overset {\ bullet R _ {{2}} (\ xi)} {\ longrightarrow}} {\ mathbb {C}} \ vasen [\ xi \ right] ^ {{1 \ kertaa q _ {{1}}}} {\ overset {\ bullet R _ {{1}} (\ xi) } {\ longrightarrow}} {\ mathbb {C}} \ vasen [\ xi \ right] ^ {{1 \ kertaa k _ {{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180cf10cc1f46f31cc2dd67cbb175a11659dcefa)
on oikein. Koska on -adisen topologian valmistuminen (missä merkitsee ideaa, jonka synnyttää ), on - litteä moduuli . Siksi seuraava
VS[[ξ]]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}
VS[ξ]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ xi \ oikea]}
(ξ){\ displaystyle (\ xi)}
(ξ){\ displaystyle (\ xi)}
(ξ){\ displaystyle (\ xi)}
VS[[ξ]]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea]}
VS[ξ]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [\ xi \ oikea]}![{\ mathbb {C}} \ vasen [\ xi \ oikea]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe12ba9f41fc27414fdececf920d5cbe595424e2)
VS[[ξ]]1×q2⟶∙R2(ξ)VS[[ξ]]1×q1⟶∙R1(ξ)VS[[ξ]]1×k1{\ displaystyle \ mathbb {C} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] ^ {1 \ kertaa q_ {2}} {\ overset {\ bullet R_ {2} (\ xi)} {\ longrightarrow }} \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea] ^ {1 \ kertaa q_ {1}} {\ overset {\ bullet R_ {1} (\ xi)} {\ longrightarrow} } \ mathbb {C} \ vasen [\ vasen [\ xi \ oikea] \ oikea] ^ {1 \ kertaa k_ {1}}}![{\ mathbb {C}} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] ^ {{1 \ kertaa q _ {{2}}}} {\ overset {\ bullet R _ {{2}} ( \ xi)} {\ longrightarrow}} {\ mathbb {C}} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] ^ {{1 \ kertaa q _ {{1}}}} {\ overset {\ luettelomerkki R_ {{1}} (\ xi)} {\ longrightarrow}} {\ mathbb {C}} \ left [\ left [\ xi \ right] \ right] ^ {{1 \ kertaa k _ {{1} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121e9a684afe2e502a742fd3bf989cfbe8f36927)
on oikein. Kaksinaisuuden mukaan
imP(R1(∂)∙)¯=kerP(R2(∂)∙){\ displaystyle {\ overline {{\ rm {im}} _ {\ mathbf {P}} \ vasen (R_ {1} \ vasen (\ osittainen \ oikea) \ luettelo \ oikea)}} = \ ker _ {\ mathbf {P}} \ vasen (R_ {2} \ vasen (\ osittainen \ oikea) \ luettelomerkki \ oikea)}![\ overline {{{{\ rm {im}}} _ {{{\ \ mathbf {P}}}} \ vasen (R _ {{1}} \ vasen (\ osittainen \ oikea) \ luettelomerkki \ oikea)} = \ ker _ {{{\ mathbf {P}}}} \ vasen (R _ {{2}} \ vasen (\ osittainen \ oikea) \ luettelomerkki \ oikea)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2125a49f0b58140deb999c04ec3383cbfa383a45)
ja siksi on vielä osoitettava, että se on suljetun vektorin alatila . Nyt E on tiukka induktiivinen raja tiukasti kasvavalle äärellisen ulottuvuuden avaruusjärjestykselle . Antaa olla yleinen V- sekvenssi, joka lähentyy E : ssä pisteeseen x . On olemassa kokonaisluku m siten, että ja suppenee ja x on . Koska rajallinen ulottuvuus, on suljettu , siis x kuuluu , mistä seuraa, että V on suljettu E . Päätelmämme ovat seuraavat
V=imP(R1(∂)∙){\ displaystyle V = {\ rm {im}} _ {\ mathbf {P}} \ vasen (R_ {1} \ vasen (\ osittainen \ oikea) \ luettelo \ oikea)}
E=Pq1{\ displaystyle E = \ mathbf {P} ^ {q_ {1}}}
Em=Pmq1{\ displaystyle E_ {m} = \ mathbf {P} _ {m} ^ {q_ {1}}}
(xi){\ displaystyle (x_ {i})}
{xi}⊂Em{\ displaystyle \ left \ {x_ {i} \ right \} \ osajoukko E_ {m}}
(xi){\ displaystyle (x_ {i})}
Em{\ displaystyle E_ {m}}
Em{\ displaystyle E_ {m}}
V∩Em{\ displaystyle V \ korkki E_ {m}}
Em{\ displaystyle E_ {m}}
V∩Em{\ displaystyle V \ korkki E_ {m}}![V \ korkki E _ {{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc72461cccd4bff615a0a64396faf155bfb857e)
VS[x]k1⟶R1(∂)∙VS[x]q1⟶R2(∂)∙VS[x]q2{\ displaystyle \ mathbb {C} \ vasen [x \ right] ^ {k_ {1}} {\ overset {R_ {1} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} \ mathbb {C} \ left [ x \ right] ^ {q_ {1}} {\ overset {R_ {2} (\ parts) \ bullet} {\ longrightarrow}} \ mathbb {C} \ left [x \ right] ^ {q_ {2}} }![{\ mathbb {C}} \ vasen [x \ right] ^ {{k _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{1}} (\ osal) \ bullet} {\ longrightarrow}} { \ mathbb {C}} \ vasen [x \ right] ^ {{q _ {{1}}}} {\ overset {R _ {{2}} (\ osittainen) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathbb {C}} \ vasen [x \ oikea] ^ {{q _ {{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c33ce4fc7440ed791024221a4e6a619441ce82)
on oikein, mitä oli osoitettava.
Seuraus - Jokainen operaattori myöntää perustavanlaatuisen ratkaisun (tai " Greenin toiminnon "), joka on rajallinen tilausten jakauma.
R(D.)∈D.{\ displaystyle R (D) \ in {\ mathfrak {D}}}![R (D) \ kohteessa {\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7b64d3bcfa5c296b730aff23eeffa08a7d5981)
Esittely
Seuraavat
0⟶D.⟶∙R(D.)D.{\ displaystyle 0 \ longrightarrow {\ mathfrak {D}} {\ overset {\ bullet R \ left (D \ right)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D}}}![0 \ longrightarrow {\ mathfrak {D}} {\ overset {\ bullet R \ left (D \ right)} {\ longrightarrow}} {\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac18bd6f563b19230e7cd10ba20e0b8bd2c5fa7)
on oikein. Siksi seuraavalla
W=D.′F(Rei){\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ mathcal {D}} ^ {\ prime F} (\ mathbb {R} ^ {n})}![{\ mathcal {W}} = {\ mathcal {D}} ^ {{\ prime F}} ({\ mathbb {R}} ^ {{n}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18957c2b0906daad5657bbc8e03a6e7acb5cf492)
W⟶R(D.)∙W⟶0{\ displaystyle {\ mathcal {W}} {\ overset {R \ left (D \ right) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} \ longrightarrow 0}![{\ mathcal {W}} {\ overset {R \ left (D \ right) \ bullet} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {W}} \ longrightarrow 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7610b1c4f2445a7ac26bded42c50c20c17bab8c)
on tarkka, ja siksi on olemassa sellainen, että . Päättelyä ja tulos pysyy voimassa, jos me korvata mennessä jossa on avoin kupera naapurustossa 0 .
u∈D.′F(Rei){\ displaystyle u \ sisään {\ mathcal {D}} ^ {\ prime F} (\ mathbb {R} ^ {n})}
R(D.)u=5{\ displaystyle R \ vasen (D \ oikea) u = \ delta}
D.′F(Rei){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime F} (\ mathbb {R} ^ {n})}
D.′F(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime F} (\ Omega)}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![{\ mathbb {R}} ^ {{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Oberst osoitti, että lineaaristen eksponentiaalisten polynomiyhdistelmien tila on kanoninen yhteistuottaja- moduuli .
W0{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Seuraus - Jos toiminnallinen tila täyttää perusperiaatteen, se on injektiivinen yhteistuottaja- moduuli . Jos lisäksi se on Fréchet-tila tai heijastavan Fréchet-tilan kaksoisosa, sen dual on - litteä moduuli .
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
W′{\ displaystyle {\ mathcal {W}} ^ {\ prime}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Esittely
Yllä oleva lause todistaa, että -moduuli on injektiivinen (katso artikkeli Injektiivimoduuli ) ja koska se sisältää sen on yhteistuottaja. Jos on Fréchet-tila tai heijastavan Fréchet-tilan kaksoisviiva, sen kaksoisosa on litteä moduuli.)
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
W0{\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {0}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Lisäksi kuperan avoimen hyperfunktiomoduuli on injektiokogeneraattori (Komatsun tuloksen mukaan). Jotta se olisi jaettava moduuli , kun avoin on kytketty, on välttämätöntä (ja riittävää), että se on kupera (tulos johtuu Malgrangesta).
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Yllä olevan seurauksen yhteydessä saamme kaksinaisuudella seuraavan tuloksen:
Seuraus - Antaa olla tyhjä kupera avoin ; -modules ja ovat tasaisia. Samoin moduulit ja ovat tasaisia.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
D.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}
E′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ prime} (\ Omega)}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
O(VSei){\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbb {C} ^ {n})}
O(VSei;exs){\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbb {C} ^ {n}; exp)}![{\ mathcal {O}} ({\ mathbb {C}} ^ {{n}}; exp)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37de346e33432fee7e93fdf101591a6452d557aa)
On huomattava, että injektiomoduuli ei välttämättä tarkista perusperiaatetta edellä määritellyssä mielessä. Esimerkiksi tila on karkaistu jakeluiden päällä on injektiivinen -moduulista, mutta ei sisällä eksponentiaalinen-polynomeja, eikä siis ole cogenerator. (Kuitenkin sen kaksoisfunktio , nimittäin heikkenevien toimintojen Schwartz-tila , on litteä moduuli, joka voidaan päätellä myös yleisestä tuloksesta, joka liittyy injektion ja tasaisuuden väliseen kaksinaisuuteen.)
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
S′(Rei){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {n})}
Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
S(Rei){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}
D.{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}![{\ mathfrak {D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Palamodov on todennut ja korjannut virheen, onneksi ilman suuria seurauksia.
-
Ehrenpreis 1960
-
Ehrenpreis 1963
-
Palamodov 1970
-
Malgrange 1961-1962
-
Malgrange 1962-1964
-
Ehrenpreis 2006
-
Ehrenpreis 1954
-
Malgrange 1956
-
Dieudonne
-
Tämä kirjoitus saattaa tuntua tarpeettomalta ja liian monimutkaiselta, erityisesti riippuen siitä , mistä se on riippuvainen , mutta se on välttämätön myöhemmin suoritetun sukupolven kannalta ja mikä on tämän artikkelin päätarkoitus; tämä riippuvuus on sitten polynomi, ja sen poisjättäminen on jo mainittu Ehrenpreisin alkuperäinen virhe.Bσ,l{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ sigma, l}}
ζ{\ displaystyle \ zeta}
-
Björk 1979
-
Hörmander 1990
-
Tämä valinta ei ole ainutlaatuinen.
-
Oberst 1999
-
Oshima 1974
-
Ehrenpreisin lausunto on hieman erilainen.
-
Schwartz 1966
-
jakelulaite on järjestys , jos ja vain jos se on yhtä suuri kuin rajallinen summa johdannaisten järjestys on Radon toimenpiteitä .≤m{\ displaystyle \ leq m}
≤m{\ displaystyle \ leq m}
-
Palamodov 1970 , Prop. 3, s. 297 - 298.
-
Treves 2007
-
Bourbaki 2006
-
Perustelemalla absurdia ja toimimalla kuten Bourbaki 2006 , s. III.5, dem. ehdotuksesta. 6 (yleistetyllä sekvenssillä sekvenssin sijasta).
-
Oberst 1990
-
Oberst 1995
-
Bourlès 2011
-
Komatsu 1968
-
Vaikka se ei ole Fréchet-tila eikä Fréchet-tilan kaksoiskappale.D.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}
-
Malgrange 1959-1960
Viitteet
- (en) Jan-Erik Björk , Tasauspyörästöjen renkaat , Pohjois-Hollanti,1979, 375 Sivumäärä ( ISBN 0-444-85292-1 , lue verkossa )
- N. Bourbaki , topologiset vektoritilat , Springer,2006, 364 Sivumäärä ( ISBN 3-540-34497-7 )
- (en) Henri Bourlès , " Semitopologisten moduulien inaktiivisuus ja tasaisuus " , ArXiv 1107.1639v3 ,2011( lue verkossa )
- Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ yksityiskohdat painoksista ]
- (en) Leon Ehrenpreis , ” Jakamisen I joidenkin ongelmien ratkaisu ” , Amer. J. Math. , voi. 76, n o 4,1954, s. 883-890 ( lue verkossa )
- (en) Leon Ehrenpreis , " Perusperiaate vakiokerroinisten differentiaaliyhtälöjärjestelmien järjestelmille ja joillekin sen sovelluksille " , Proc. Int. Kiva. lineaarisissa järjestelmissä, Jerusalem ,1960
- (en) Leon Ehrenpreis , " Perusperiaate ja joitain sen sovelluksia " , Studia Mathematica (Ser. Specjalna) ,1963, s. 35-36 ( lue verkossa )
-
(en) Leon Ehrenpreis , Fourier-analyysi useissa muuttujissa , Dover ,2006, 528 Sivumäärä ( ISBN 0-486-44975-0 , lue verkossa ) (Muokattu ensimmäisen kerran: Wiley & Sons, 1970)
- (en) Lars Hörmander , Johdanto monimutkaiseen analyysiin useissa muuttujissa , Amsterdam / New York / Oxford, Pohjois-Hollanti,1990, 268 Sivumäärä ( ISBN 0-444-88446-7 , lue verkossa )
- (en) Hikosaburo Komatsu , " Vakio kertoimilla varustettujen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen erotuskyky piikkien hyperfunktioilla " , Math. Ann. , voi. 176,1968, s. 77-86 ( lue verkossa )
- Bernard Malgrange , " Osittaisten differentiaaliyhtälöiden ja konvoluutioyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo ja lähentäminen ", Ann. Inst. Fourier , voi. 6,1956, s. 271-355 ( lue verkossa )
- Bernard Malgrange , ” Jakeluosasto . IV: Sovellukset ”, Schwartz-seminaari , voi. 4, n o 25, 1959-1960, s. 1-5 ( lue verkossa )
- Bernard Malgrange , ” On ero järjestelmissä vakiokertoimiset ”, Séminaire Jean Leray , n o 7, 1961-1962, s. 1-14 ( lue verkossa )
- Bernard Malgrange , ” Differential järjestelmät vakiokertoimiset ”, Séminaire Bourbaki , n o 246, 1962-1964, s. 79-89 ( lue verkossa )
- (en) Ulrich Oberst , " Multidimensional Constant Linear Systems " , Acta Applicandae Mathematicae , voi. 20,1990, s. 1-175 ( lue verkossa )
- (en) Ulrich Oberst , " Variaatiot lineaaristen järjestelmien perusperiaatteesta osittaisdifferenssi- ja differentiaaliyhtälöillä vakiokertoimilla " , Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing , voi. 6, n luu 4/5,1995, s. 211-243 ( lue verkossa )
- (en) Ulrich Oberst , ” Noetherian operaattoreiden rakentaminen ” , J. of Algebra , voi. 222,1999, s. 595-620 ( lue verkossa )
- (en) Toshio Oshima , " Todiste Ehrenpreisin perusperiaatteesta hypertoiminnoissa " , Proc. Japani Acad. , voi. 50,1974, s. 16-18 ( lue verkossa )
- (en) Victor P.Palamodov , lineaariset tasauspyörästöt vakiokertoimilla , Springer-Verlag ,1970, 443 Sivumäärä ( ISBN 3-642-46221-9 , lue verkossa )
- Laurent Schwartz , jakeluteoria , Pariisi, Hermann ,1966, 418 Sivumäärä ( ISBN 2-7056-5551-4 )
- (en) François Treves , topologiset vektoritilat, levitykset ja ytimet , Dover-julkaisut ,2007, 565 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-45352-1 ja 0-486-45352-9 , lue verkossa )
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">