Käsite ensemblist on ekvivalenssirelaatio on kaikkialla matematiikkaa . Sen avulla, joka asettaa , jotta koskea tekijöitä, jotka ovat samanlaisia tietyn omaisuutta.
Nämä elementit voidaan siten ryhmitellä samankaltaisten elementtien "nippuiksi", mikä määrittelee ekvivalenssiluokan käsitteen , lopuksi rakentaakseen uudet joukot "assimiloimalla" samanlaisia elementtejä yhdelle ja samalle elementille. Sitten päädytään osamääräjoukon käsitteeseen .
Ekvivalenssirelaatio on joukko E on binäärirelaatio ~ on E , joka on samalla heijasteita , symmetrinen ja transitiivinen .
Tarkemmin:
Heijastavuuden avulla E yhtyy sitten ~: n määritysjoukkoon (joka johtuu kaaviosta projektiolla ). Päinvastoin, jotta E- symmetrisen ja transitiivisen binäärisuhteen refleksiivisyys riittää, riittää, että sen määritelmäjoukko on kokonaan E.
Voimme myös määritellä ekvivalenssisuhteen refleksiiviseksi ja pyöreäksi binäärisuhteeksi .
Binaarisuhteen ~ sanotaan olevan pyöreä, jos joka kerta, kun meillä on x ~ y ja y ~ z , meillä on myös z ~ x .
Kiinnitä joukko E ja ekvivalenssirelaatio ~ päälle E .
Määrittelemme yhtäläisyysluokan [ X ] alkuaineen X on E joukoksi y on E siten, että X ~ y :
Kutsumme edustaja on [ X ] mitään osaa [ X ], ja järjestelmä luokan edustajia tahansa osaa ja E , joka sisältää täsmälleen yhden edustaja kustakin luokassa.
Päinvastoin, joukko E: n mikä tahansa osio määrittelee ekvivalenssisuhteen E: lle . Tämä muodostaa luonnollisen bijektion joukon osioiden ja tämän ryhmän vastaavuussuhteiden välillä. N- elementtisen joukon ekvivalenssisuhteiden määrä on siten yhtä suuri kuin Bell-numero B n , joka voidaan laskea induktiolla .
Monet suhteet ovat refleksiivisiä, symmetrisiä tai transitiivisia, olematta kaikki kolme samanaikaisesti:
Voimme tarjota oikean luokan ekvivalenttisuhteella. Voit jopa määritellä ekvivalenssiluokkia, mutta ne voivat itse olla omia luokkia eivätkä yleensä muodosta kokonaisuutta (esim. Ekvipotenssin suhde luokkaryhmissä).
Tämä nimi annetaan osio E tiedot kuin edellä, joka on osajoukko on kaikkien osien E .
Annetaan ekvivalenssirelaatio ~ on E , osamäärä joukko on E- suhteella ~, jota merkitään E / ~, on osajoukko ekvivalenssiluokat:
Osuusjoukkoa voidaan kutsua myös "joukoksi E, jonka osamäärä on ~" tai "joukoksi E, jota pidetään modulo ~: na". Näiden nimien idea on työskennellä osamääräjoukossa kuten E , mutta tekemättä eroa niiden välillä ~: n mukaiset vastaavat elementit.
Kanoninen kartta p , ja E on osamäärä joukko, josta kukin elementti E liittää sen vastaavuus luokka:
Se täyttää seuraavan universaalin ominaisuuden , joka ilmaisee, että mikä tahansa E: ssä määritelty kartta, jonka vastaava ekvivalenssisuhde on vähemmän kuin ~ ", siirtyy osamäärään" E / ~ "ainutlaatuisesti:
Faktorointilause - Kaikille kartoille f : E → F, jotka täyttävät [ x ~ y ⇒ f ( x ) = f ( y )], on olemassa ainutlaatuinen kartta g : E / ~ → F siten, että f = g ∘ p .
Tämä kartta g - jolla on siis sama kuva kuin f - on injektiivinen vain ja vain, jos x ~ y ⇔ f ( x ) = f ( y ).
Jos E: llä on algebrallinen rakenne , se on mahdollista siirtää osajoukkoon edellyttäen, että rakenne on yhteensopiva (en) ekvivalenttisuhteen kanssa, eli kaksi E: n elementtiä käyttäytyy samalla tavalla rakenteeseen nähden, jos ne kuuluvat samaan vastaavuusluokkaan. Sitten osamääräjoukko toimitetaan alkuperäisen rakenteen osamarkkinarakenteella vastaavuussuhteen avulla.
Esimerkiksi jos ⊤ on E: n sisäinen laki, joka on yhteensopiva ~ kanssa, ts. Todentaminen
( x ~ x ' ja y ~ y' ) ⇒ x ⊤ y ~ x ' ⊤ y' ,
" osamäärä laki lain ⊤ by ~" määritellään "tulona on osamäärä asetettu E / ~ joka vastaavuutta luokat X ja Y , vastaa vastaavuus luokan x ⊤ y . "
(Muodollisemmin: huomioimalla p surjous E × E → E / ~ × E / ~, ( x , y ) ↦ ([ x ], [ y ]) ja f kartoitus E × E → E / ~, ( x , y ) x [ x ⊤ y ], yhteensopivuushypoteesi kirjoitetaan uudelleen p ( x , y ) = p ( x ' , y' ) ⇒ f ( x , y ) = f ( x ' , y' ). Yllä oleva tekijälause , voimme siis määritellä osamäärälain ainutlaatuisena karttana g : E / ~ × E / ~ → E / ~ siten, että f = g ∘ p .)
EsimerkkejäJoukossa E olkoon R binaarisuhde, joka tunnistetaan sen graafilla. Risteyksessä kaikki vastaavuuden suhteet E , jotka sisältävät R kutsutaan ekvivalenssirelaatio (päällä E ) syntyy R . Se on yhtä suuri kuin transitiivinen refleksiivistä sulkeminen ja R ∪ R -1 .