Vakio (matematiikka)

On geometria , normi on jatke absoluuttinen arvo numeroita vektoreita . Se mahdollistaa mitata pituuden, joka on yhteinen kaikille vektorin esityksille affiinisessa tilassa , mutta määrittelee myös etäisyyden kahden vektorin välillä, jotka ovat invariantteja translaatiolla ja yhteensopivia ulkoisen kertolaskun kanssa.

Tavallisen normin tasossa tai avaruudessa sanotaan olevan euklidinen, koska se liittyy skalaariseen tulokseen , euklidisen geometrian pohjalle .

Muita standardeja käytetään laajalti vektoriavaruuksia (on äärellinen tai ääretön ulottuvuus ), jota kutsutaan tämän jälkeen normalisoitiin vektoriavaruudet . Ne ovat erityisen tärkeitä funktionaalista analyysia saamiseksi markkereita , jotka ilmentävät eriyttäminen on tilat toimintoja yhden tai useamman todellista tai monimutkaisia muuttujia , laskettaessa arvioita ja likiarvoja .

Normissa on toinen aritmeettinen käsite  : sitä käsitellään artikkelissa "  Norm (kappaleiden teoria)  ".

Tavallinen euklidinen geometria

Määritelmä

Jos ja ovat tason tai tavallisen tilan kaksi pistettä, vektorin normi on etäisyys, toisin sanoen segmentin pituus . Hän toteaa kaksoisviivana: . AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ATB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}ATB{\ displaystyle AB}[ATB]{\ displaystyle [AB]}‖ATB→‖{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |}

Normi, suunta ja suunta ovat vektoria luonnehtivat kolme tietoa, jotka eivät sen vuoksi ole riippuvaisia ​​edustajan valinnasta.

Unicodessa kaksoispalkki “‖” on merkki U + 2016 (erotettu rinnakkaisuusmerkistä ”∥”, U + 2225 ).

Laskeminen

• Tavanomaiset (euklidinen) normin vektori voidaan laskea koordinaatit käytettäessä ortonormaalin koordinaatistossa käyttäen Pythagoraan lausetta .
  • Jos vektorilla on koordinaatit , sen normi kirjoitetaan tasossau→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}‖u→‖=x2+y2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
    Jos pisteet ja on niiden koordinaattien ja sitten:AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xAT,yAT){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}(xB,yB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}‖ATB→‖=(xB-xAT)2+(yB-yAT)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} }}.}
  • Avaruudessa, jos vektorilla on koordinaatit , sen normi kirjoitetaan:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}‖u→‖=x2+y2+z2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}
    Jos pisteet ja on niiden koordinaattien ja sitten:AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xAT,yAT,zAT){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}(xB,yB,zB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
    
    ‖ATB→‖=(xB-xAT)2+(yB-yAT)2+(zB-zAT)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}}}.}
• Vektorin (euklidinen) normi voidaan saada vektorin itsensä pistetuloksesta :‖u→‖=u→⋅u→.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}}.}

Ominaisuudet

• Normi ​​perutaan vain nollavektorille .0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}
• Tuotteen normi numerolla on normin tulo luvun absoluuttisella arvolla:‖ku→‖=|k|×‖u→‖.{\ displaystyle \ | k {\ vec {u}} \ | = | k | \ kertaa \ | {\ vec {u}} \ |.}Jokaisella vektorilla on sama normi kuin vastakkaisella:‖-u→‖=‖u→‖.{\ displaystyle \ | - {\ vec {u}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ |.}

Millä tahansa vektoritilalla

Virallinen määritelmä

Olkoon K olla kommutatiivinen kenttä , jonka absoluuttinen arvo ja E K - vektori tilaa .

Normi on E on sovellus on E kanssa todellisia arvoja ja joka täyttää seuraavat oletukset: EI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• erottaminen  : ;∀x∈EEI(x)=0⇒x=0E{\ displaystyle \ forall x \ E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• absoluuttinen homogeenisuus  : ;∀(λ,x)∈K×EEI(λx)=|λ|EI⁡(x){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ K \ kertaa E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | \ operaattorin nimi {\ mathcal {N}} (x)}
• subadditiivisuus (kutsutaan myös kolmion eriarvoisuudeksi ).∀(x,y)∈E2EI(x+y)≤EI(x)+EI(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Huomautukset.

• Erottamisen aksioman päinvastoin on totta.Todellakin, homogeenisuuden avulla .EI(0E)=EI(0⋅0E)=0EI⁡(0E)=0{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (0 \ cdot 0_ {E}) = 0 \ operaattorin nimi {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = 0}
• Standardi on aina positiivinen.Itse asiassa minkä tahansa vektorin osalta (sub-additiivisuuden avulla), toisin sanoen (homogeenisuuden perusteella) .x{\ displaystyle x}0=EI(0E)=EI(x-x)≤EI(x)+EI(-x){\ displaystyle 0 = {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (xx) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N}} ( -x)}0≤2EI⁡(x){\ displaystyle 0 \ leq 2 \ operaattorin nimi {\ mathcal {N}} (x)}
• Realien ja kompleksien kentät eivät ole ainoat, jotka myöntävät absoluuttisen arvon. Arvostettujen kappaleiden
  tapauksessa normi voi olla jopa ultrametrinen, jos se täyttää tietyn ehdon, joka on vahvempi kuin subadditiivisuus.
• Funktio E on ℝ + , joka täyttää vain oletuksia homogeenisuuden ja osa-additiivisuutta kutsutaan semi-norm .

Vektori tila, jonka normi on nimeltään normi vektori tila (lyhennetään joskus EVN).

Normin mukainen vektorin x kuva kirjoitetaan yleensä ║ x ║ ja lukee ” x: n normi  ”.

Ensimmäiset ominaisuudet

• Normi ​​on sublineaarinen , ts. Se täyttää seuraavat ominaisuudet:∀(λ,x,y)∈K×E2 , ‖λx+y‖≤|λ|‖x‖+‖y‖,{\ displaystyle \ forall (\ lambda, x, y) \ K \ kertaa E ^ {2} \, \ \ | \ lambda x + y \ | \ leq | \ lambda | \ | x \ | + \ | y \ |,}joka yleistyy toistumisen perusteella:‖λ1x1+...+λeixei‖≤|λ1|‖x1‖+...+|λei|‖xei‖.{\ displaystyle \ | \ lambda _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} x_ {n} \ | \ leq | \ lambda _ {1} | \ | x_ {1} \ | + \ ldots + | \ lambda _ {n} | \ | x_ {n} \ |.}
• Erottelu ja homogeenisuus takaavat funktion erottamisen ja symmetrian ominaisuudetd:(x,y)↦‖y-x‖.{\ displaystyle d \ kaksoispiste (x, y) \ mapsto \ | yx \ |.}}(Symmetriassa käytämme sitä , missä e merkitsee K: n multiplikatiivista neutraalia , minkä tahansa vektorin z tapauksessa ║– z ║ = ║ (- e ) z ║ = | - e | ║ z ║ = ║ z ║.) Subaditiivisuus oikeuttaa sitten kolmiomaisen epätasa-arvon ,∣-e∣ =1{\ displaystyle \ mid -e \ mid = 1}
  ‖z-x‖≤‖z-y‖+‖y-x‖,{\ displaystyle \ | zx \ | \ leq \ | zy \ | + \ | yx \ |,}tarpeen osoittaa, että d on etäisyys on E , joka on muuttumaton, jonka käännös.
  Normalisoitu vektoriavaruus on siis homogeeninen metrinen tila ja siihen liittyvä topologia on yhteensopiva vektorioperaatioiden kanssa.
• Ali-additiivisuus mahdollistaa seuraavan ominaisuuden saamisen:∀(x,y)∈E2 , |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖,{\ displaystyle \ forall (x, y) \ muodossa E ^ {2} \, \ {\ iso |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ iso |} \ leq \ | xy \ |,}mikä osoittaa, että normi on 1-Lipschitzin kartta ja siten jatkuva .
• Normi ​​on myös, kuten mikä tahansa puolinormi, kupera funktio , josta voi olla hyötyä optimointiongelmien ratkaisemisessa .

Topologia

Normiin liittyvä etäisyys d (vrt. Yllä) antaa E : lle metrisen avaruuden rakenteen , siis erillisen topologisen tilan . Avoin tälle topologia on osa O on E siten, että:

∀x∈O,∃e>0{y∈E | ‖x-y‖<e}⊂O.{\ displaystyle \ forall x \ in O, \; \ olemassa \ varepsilon> 0 \ quad \ {y \ E ~ | ~ \ | xy \ | <\ varepsilon \} \ osajoukossa O.}

Tällä topologialla varustettuna E on "evt" ( topologinen vektoriavaruus ), toisin sanoen:

Ehdotus  -  lisääminen E x E on E ja ulkoisen moninkertaistuminen K x E on E ovat jatkuvia.

Esittely

Olkoon ( x , y ) piste E × E ja ( h , k ) kasvu, sitten:

‖(x+h+y+k)-(x+y)‖=‖h+k‖≤‖h‖+‖k‖≤2enint(‖h‖,‖k‖)=2‖(h,k)‖E×E.{\ displaystyle \ left \ Vert (x + h + y + k) - (x + y) \ right \ Vert = \ | h + k \ | \ leq \ | h \ | + \ | k \ | \ leq 2 \ max (\ | h \ |, \ | k \ |) = 2 \ | (h, k) \ | _ {E \ kertaa E}.}

Edeltävä lisäys osoittaa, että lisäys on 2- Lipschitzian ja siksi tasaisesti jatkuva .

Olkoon K × E piste ja kasvu, jos ja  : (λ,x){\ displaystyle (\ lambda, x)}(μ,h){\ displaystyle (\ mu, h)}‖(λ,x)‖K×E≤M{\ displaystyle \ | (\ lambda, x) \ | _ {K \ kertaa E} \ leq M}‖(μ,h)‖K×E≤e≤1{\ displaystyle \ | (\ mu, h) \ | _ {K \ kertaa E} \ leq \ varepsilon \ leq 1}

‖(λ+μ)(x+h)-λx‖≤‖λh‖+‖μx‖+‖μh‖≤2Me+e2≤(2M+1)e.{\ displaystyle \ left \ Vert (\ lambda + \ mu) (x + h) - \ lambda x \ right \ Vert \ leq \ | \ lambda h \ | + \ | \ mu x \ | + \ | \ mu h \ | \ leq 2M \ varepsilon + \ varepsilon ^ {2} \ leq (2M + 1) \ varepsilon.}

Viimeinen lisäys osoittaa ulomman kerronnan yhtenäisen jatkuvuuden koko pallolla K × E keskellä 0 ja säde M , joten K × E: n jatkuvuus .

Koska e.vt- topologialla indusoitu vektoritilan normi ja jopa paikallisesti kuperan tilan ( katso alla ) erotettu, voidaan miettiä, voidaanko tietyn evt: n topologia indusoida mahdollisella normilla . Tässä tapauksessa sanomme, että e.vt on normaali . Erilliset paikallisesti kuperat tilat eivät ole kaikki säädeltäviä (esimerkiksi ääretön kokoinen Montelin tila ei ole koskaan normatiivinen). E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}(E,T){\ displaystyle (E, T)}E{\ displaystyle E}(E,T){\ displaystyle (E, T)}

Pallo

Tämä topologian rakenne antaa kaiken merkityksensä avoimen pallon käsitteelle, jonka keskipiste on x ja säde r , toisin sanoen joukko pisteitä, joiden etäisyys x: ään on ehdottomasti pienempi kuin r . Mikä tahansa avoin pallo on yksikköpallon (avoin) kuva, joka koostuu vektorin x muunnoksesta ja laajennuksesta suhteella r .

Pisteeseen keskittyneet avoimet pallot muodostavat perustan kyseisen pisteen naapurustoille ; siksi ne luonnehtivat topologiaa. Jos E on vektoritila ℝ: llä (erityisesti jos se on vektoritila ℂ: llä), mikä tahansa avoin pallo on kupera . Itse asiassa, kun kuperuus säilyy käännöksellä ja homotetiteetilla, riittää osoittamaan tämä ominaisuus avoimelle yksikköpallolle. Jos x ja y ovat tämän pallon kaksi pistettä ja jos θ on todellinen välillä 0 ja 1, niin:

‖θx+(1-θ)y‖≤θ‖x‖+(1-θ)‖y‖<1.{\ displaystyle \ | \ theta x + (1- \ theta) y \ | \ leq \ theta \ | x \ | + (1- \ theta) \ | y \ | <1.}

Siksi seuraava ominaisuus tarkistetaan:

Ominaisuus  -  Todellinen normalisoitu vektoritila on paikallisesti kupera .

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa piste sallii kuperien naapurustojen perustan, esimerkiksi tässä kohdassa keskellä olevat avoimet pallot.

Vastaava standardi

Mitä enemmän aukkoja topologia sisältää, sitä tarkempi analyysi tulee. Tästä syystä topologian, joka sisältää ainakin kaikki toisen aukot, sanotaan olevan hienompaa. Kysymys syntyy kahden standardin ja saman vektoritilan E kohdalla , jotta tiedetään, mikä standardien kriteeri vastaa tällaista vertailua niihin liittyvien topologioiden välillä. EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}

• EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}sanotaan olevan hienompaa kuin (sanomme myös, että dominoi ), jos mikä tahansa E- vektorien sekvenssi konvergoituu konvergoitumiseen tai uudestaan, jos on olemassa tiukasti positiivinen todellinen , kuten:EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}a{\ displaystyle \ alfa}∀x∈E, EI2(x)≤aEI1(x).{\ displaystyle \ forall x \ E, \ {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Tämä määritelmä on oikeutettu sillä, että se on hienompaa kuin ja vain, jos siihen liittyvä topologia on hienompaa kuin .EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}T1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1}}T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {2}}
• EI1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}ja sanotaan vastaaviksi, jos molemmat ovat hienompia kuin toiset, tai jos on olemassa kaksi ehdottomasti positiivista reaalia ja sellainen, että:EI2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}a{\ displaystyle \ alfa}β{\ displaystyle \ beta}∀x∈E, aEI1(x)≤EI2(x)≤βEI1(x).{\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x) \ leq {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ beta {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että näiden kahden standardin avoimet pallot voidaan sisällyttää toisiinsa laajentumiseen saakka tai että kaksi siihen liittyvää topologiaa ovat samat. Metrisesti mitattuna nämä kaksi rakennetta ovat jopa tasaisesti isomorfisia. Rajoitetun ulottuvuuden todellisessa vektoriavaruudessa kaikki normit ovat samanarvoisia (katso artikkeli ”  Äärellisen ulottuvuuden vektoriavaruuden topologia  ”).

Yleiset rakenteet

• Mikä tahansa skalaaritulos todellisessa vektoritilassa E määrittelee siihen liittyvän euklidisen normin seuraavasti:∀x∈E, ‖x‖=x⋅x.{\ displaystyle \ forall x \ E, \ \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}Normi on euklidinen (eli tulee pistetuotteesta) vain ja vain, jos sovellusEI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}(x,y)↦12(EI(x+y)2-EI(x)2-EI(y)2){\ displaystyle (x, y) \ mapsto {\ frac {1} {2}} \ vasen ({\ mathcal {N}} (x + y) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (x) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (y) ^ {2} \ oikea)}on bilineaarinen , ja tässä tapauksessa tämä kartta on siihen liittyvä pistetulo (katso artikkeli “  Polarisaation identiteetti  ”).
• Jos f on injektiivinen lineaarinen kartta kohteesta E ja F sitten kaikki normi F indusoi normi E yhtälöllä‖x‖E=‖f(x)‖F.{\ displaystyle {\ mathcal {\ |}} x \ | _ {E} = \ | f (x) \ | _ {F}.}
• Jos C on rajoittuu ja tasapainottavat kupera avoin todellisen vektorin tilan E , sitten mittari C on normi J on määritelty ∀x∈E J(x)=inf{λ>0 | 1λx∈VS}{\ displaystyle \ forall x \ in E ~ J (x) = \ inf \ left \ {\ lambda> 0 ~ \ left | ~ {\ frac {1} {\ lambda}} x \ in C \ right. \ right \}}ja missä C on avoin yksikön pallo .
• Jos E ja F ovat kaksi todellista tai monimutkaisia normalisoitu vektori tilat, tila on jatkuva lineaarinen karttoja on varustettu operaattorin normi alistaa vastaaviin normien E ja F kirjoitettu:L(E,F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}∀T∈L(E,F), ‖T‖=supx∈E∖{0}‖T(x)‖F‖x‖E.{\ displaystyle \ forall T \ in {\ mathcal {L}} (E, F), \ \ | T \ | = \ sup _ {x \ in E \ setminus \ {0 \}} {\ frac {\ | T (x) \ | _ {F}} {\ | x \ | _ {E}}}.}

Esimerkkejä

Lopullisessa ulottuvuudessa

Tässä jaksossa, merkitään vektori on K n  ; x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(x1,...,xei){\ displaystyle (x_ {1}, \ pistettä, x_ {n})}

• euklidinen normi saadaan skalaaritulo tai kanoninen Hermitian tuote  :‖x→‖2=|x1|2+...+|xei|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}ja se vastaa normia, jota tavallisesti käytetään kahden tavallisen tason tai avaruuden pisteen väliseen etäisyyteen (2: n läsnäolo alaindeksissä selitetään heti sen jälkeen - p = 2: normi 2 );
• normi 1 saadaan summa modulit (tai absoluuttisia arvoja) kertoimien:‖x→‖1=|x1|+...+|xei|{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} = | x_ {1} | + \ ldots + | x_ {n} |}ja indusoi siirtymämatkan oikeassa kulmassa nappulalla, jota kutsutaan Manhattanin etäisyydeksi  ;
• yleisemmin, jos p on suurempi tai yhtä suuri kuin 1, normi p (nämä ovat Hölderin normeja ) annetaan seuraavan kaavan avulla:‖x→‖s=(|x1|s+...+|xei|s)1s.{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} = \ vasen (| x_ {1} | ^ {p} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {p} \ oikea) ^ {\ frac {1} {p}}.}Siksi se identifioi euklidisen normin kahden normin kanssa, mutta ennen kaikkea se kiinnostaa vain sen yleistämistä toimintatiloihin;
• ”ääretön” normi saadaan:‖x→‖∞=enint(|x1|,...,|xei|).{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ vasen (| x_ {1} |, \ pisteitä, | x_ {n} | \ oikea).}Se indusoi etäisyyden kasvojen ja kulmien mukaan verkostossa, kuten kuningas shakkilaudalla, joka tunnetaan nimellä Chebyshev .

Kaikki nämä standardit ovat vastaavia, koska ‖x→‖∞≤‖x→‖s≤ei1s‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {\ frac {1} {p}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}.

Kolmion muotoista p- normien epätasa-arvoa kutsutaan Minkowskin epätasa-arvoksi  ; se on seurausta kuperuustuloksista, mukaan lukien Hölderin eriarvoisuus . Viimeksi mainittu, joka yleistää, että edellä mainitun lisäksi osoittaa, että mikä tahansa vektori, ja K: n , laskeva kartta s ↦ ║ ║ p on jatkuva [1, + ∞] . Todellakin, x→{\ displaystyle {\ vec {x}}} x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}

1≤s≤q≤∞⇒‖x→‖q≤‖x→‖s≤ei1s-1q‖x→‖q{\ displaystyle 1 \ leq p \ leq q \ leq \ infty \ Rightarrow \ | {\ vec {x}} \ | _ {q} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {q}}.

Muut esimerkit esiintyvät klassisesti:

• Normi on quaternion tila on euklidinen normi on asetettu alustalle .(1,i,j,k){\ displaystyle (1, i, j, k)}
• Polynomien tila, jonka aste on pienempi tai yhtä suuri kuin n, voidaan varustaa funktiotiloista johdetuilla normeilla (katso alla).

On huomattava, että ”naiivi” toteuttamiseen, jolla on kaava tietokoneella voi johtaa ylitystä tai alitusta virheitä ja ääriarvot (erittäin suuri tai erittäin pieni absoluuttinen arvo): välivaiheena neliöinnin voi johtaa tuloksiin, jotka eivät ole esitettävissä mukaan IEEE 754 -standardin mukaan ja siten 0 tai “ääretön” lopputulokseen, vaikka lopputulos itsekin on edustettavissa. Tämän välttämiseksi, voidaan tekijä mukaan  : kukin on alueella (ja ainakin yksi arvoista on täsmälleen 1), niin sisältö juuri on alueella , estäen ohittaminen ja Aluskerrosten jos lopputulos on esitettävissä. Toinen menetelmä on Moler ja Morrison . ‖x→‖2=|x1|2+...+|xei|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}‖x→‖2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2}}‖x→‖∞=enint(|x1|,...,|xei|){\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ vasen (| x_ {1} |, \ pisteitä, | x_ {n} | \ oikea)}‖x→‖2=‖x→‖∞×|x1‖x→‖∞|2+...+|xei‖x→‖∞|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ kertaa {\ sqrt {\ vasemmalle | {\ frac {x_ { 1}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ oikea | ^ {2} + \ ldots + \ vasen | {\ frac {x_ {n}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ oikea | ^ {2}}}}|xi‖x→‖∞|{\ displaystyle \ vasen | {\ frac {x_ {i}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ oikea |}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}[1,ei]{\ displaystyle [1, n]}

Äärettömässä ulottuvuudessa

• Continuous-segmentille määriteltyjen jatkuvien funktioiden avaruudesta , jolla on todelliset tai monimutkaiset arvot, löydämme p: n ollessa suurempi tai yhtä suuri kuin 1, normit p määritetään samalla tavalla kuin rajallisten ulottuvuuksien vektoritiloissa:VS0([klo,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}[klo,b]{\ displaystyle [a, b]}‖f‖s=(∫klob|f(t)|sdt)1/s{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {p} = \ vasen (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \ mathrm {d} t \ oikea) ^ {1 / p}}jotka mahdollistavat erityisesti tilojen L p määrittämisen .
  Erityisesti skalaariseen tai kanoniseen Hermitian tuotteeseen liittyvä euklidinen normi on määritelty‖f‖2=∫klob|f(t)|2 dt.{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t}}.}”Ääretön” normi tai sup normi tai jopa normi yhtenäinen lähentyminen on kirjoitettu‖f‖∞=supt∈[klo,b]|f(t)|{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {t \ sisään [a, b]} | f (t) |}ja se saadaan siellä myös normien p rajana, kun p pyrkii äärettömään.
  Kaikki nämä standardit eivät vastaa toisiaan.
  Lisäksi ne voidaan helposti laajentaa jatkuvien toimintojen tiloihin kompaktilla arvolla, n tai jopa jatkuviin toimintoihin kompaktilla tuella .
• On tila on differentiable toimintojen kanssa jatkuva johdannaisen , voidaan käyttää yhtä edellä standardeja tai myös ottaa huomioon johdannainen käyttäen standardia seuraavasti:VS1([klo,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}‖f‖=∫klob(|f(t)|+|f′(t)|) dt{\ displaystyle \ | f \ | = \ int _ {a} ^ {b} (| f (t) | + | f '(t) |) ~ \ mathrm {d} t}jotta voidaan harkita sovelluksen johdettu sisään jatkuvina.VS1([klo,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}VS0([klo,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}
• On tila l: ∞ on rajatun sekvenssejä , luonnollinen normi on sup normi  :‖(uei)ei∈EI‖∞=supei∈EI|uei|.{\ displaystyle {\ | (u_ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N}} \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {n \ sisään \ mathbb {N}} | u_ {n} |.}

Algebran normi

Määritelmä

Normi koskevasta algebranEI{\ displaystyle {\ mathcal {N}}} AT{\ displaystyle A}

kutsutaan algebranormiksi, jos on olemassa todellinen vakio , joka VS{\ displaystyle C}∀(x,y)∈AT2EI(x×y)≤VSEI(x)EI(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ A ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x \ kertaa y) \ leq C \, {\ mathcal {N}} (x) {\ mathcal {N}} (y)} [viite. tarpeen]

toisin sanoen sellainen, että normi on moninkertaistuva ( ). EI′: =VSEI{\ displaystyle {\ mathcal {N}} ': = C {\ mathcal {N}}}EI′(x×y)≤EI′(x)EI′(y){\ displaystyle {\ mathcal {N}} '(x \ kertaa y) \ leq {\ mathcal {N}}' (x) {\ mathcal {N}} '(y)}

Todellisen tai monimutkaisen algebran tapauksessa ehto vastaa tuotteen jatkuvuutta kaksisuuntaisena karttana.

Jos algebra on yhtenäinen, voimme vaatia, että normi myös täyttää:

EI(1AT)=1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (1_ {A}) = 1},

jolloin kertomista vakiolla ei voida enää käyttää normin "normalisointiin".

Esimerkkejä

• Hakemus moduuli on algebran normi yli ℂ pidetään ℝ-algebran.
• Operaattorin normi on algebra-normi.L(E){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E)}
• Inf n: n “ääretön” normi indusoi käyttäjän normin, johon on kirjoitettu:Mei(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

∀(kloi,j)∈Mei(VS), ‖(kloij)‖=eninti∑j|kloij|.{\ displaystyle \ forall (a_ {i, j}) \ muodossa {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C}), \ \ | (a_ {ij}) \ | = \ max _ { i} \ summa _ {j} | a_ {ij} |.}

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Xavier Gourdon, analyysi ,2020( ISBN  978-2-340-03856-1 , OCLC  1160201780 ).
2. Standardia 1 kutsutaan englanniksi myös Manhattanin normiksi .
3. Sana "ääretön" on standardin nimi eikä määrittelevä adjektiivi. Siksi se ei ole samaa mieltä sanan "vakio" kanssa.
4. Esimerkiksi  : äärellisen ulottuvuuden vektoritilojen topologia , University Diderot Paris,‖x→‖∞≤‖x→‖2≤‖x→‖1≤ei‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} \ leq n \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}2005, 17  Sivumäärä ( lue verkossa ) , s.  2.

Viitteet

• Haïm Brezis , Funktionaalinen analyysi: teoria ja sovellukset [ yksityiskohtainen painos ]Johdanto toiminnalliseen analyysiin käsittelee pääasiassa kahta esimerkkiä Banachin ja Hilbertin tiloista .
• Serge Lang , Real Analysis , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )Luku II käsittelee topologisia vektoritiloja yleensä ja erityisesti artikkelin aihetta.

Katso myös

Aiheeseen liittyvä artikkeli

• Viivojen ja tasojen metriset ominaisuudet

Ulkoiset linkit

• "  Metriset tilat ja vakiotilat  " , les-mathematiques.net
• Normeerataan vektori tilaa, pre-Hilbertin avaruus B. Silvi, laboratorio Theoretical Chemistry , että yliopiston Pierre ja Marie Curie
• Vakio jne. bibmath.net-sivustolla