Lagrange-piste

Lagrangen kohta (merkitty L 1 L 5 ), tai, harvemmin, kohta libraatio , on asema tilassa, jossa kentät painopisteen kahden elinten kiertoradan liikkeessä toistensa ympäri, ja merkittäviä massojen, antaa täsmälleen keskihakuisia tämän avaruuspisteen edellyttämä voima samanaikaisesti mukana kahden ruumiin kiertoradalla. Siinä tapauksessa, että nämä kaksi elintä ovat kiertoradalla, nämä pisteet edustavat paikkoja, joissa kolmas kappale, jolla on merkityksetön massa, pysyisi liikkumattomana kahden muun suhteen siinä mielessä, että se seuraisi niiden kiertymistä keskuksensa ympärillä sama kulmanopeus. yhteinen painovoima ilman, että sen sijainti suhteessa niihin muuttuu.

Toisin sanoen kahden suuren kappaleen painovoimat, jotka kohdistuvat Lagrange-pisteeseen sijoitettuun kolmasosaan merkityksettömästä massasta, kompensoidaan täsmällisesti jälkimmäisen keskipakovoimalla . Pienen rungon sijainti ei siis muutu, koska siihen kohdistuvat kolme voimaa kompensoivat toisiaan.

Viisi määrä, nämä kohdat ovat jaettu kahteen vakaa pistettä kutsutaan L 4 ja L 5 , ja kolme epävakaa pistettä merkitään L 1 L 3 . Ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen kunniaksi . He osallistuvat aurinkokunnan esineiden tiettyjen kokoonpanojen tutkimiseen (lähinnä vakaita pisteitä varten) ja erilaisten keinotekoisten satelliittien sijoittamiseen (lähinnä epävakaisiin pisteisiin). Nämä ovat " Rochen geometrian" merkittäviä kohtia  (pisteet-kolmi ja ääripäät), mikä mahdollistaa erityisesti erityyppisten binaaritähtien luokittelun .

Kolme pistettä L 1 , L 2 ja L 3 kutsutaan joskus Euler-pisteiksi Leonhard Eulerin kunniaksi , jolloin Lagrange-pisteiden nimi varataan sitten kahdelle pisteelle L 4 ja L 5 .

Pisteet L 4 ja L 5 voivat vakautensa ansiosta luonnollisesti houkutella tai pitää esineitä pitkään. Pisteet L 1 , L 2 ja L 3 , koska ne ovat epävakaita, eivät välttämättä pysty ylläpitämään esineitä pitkään, mutta niitä voidaan käyttää avaruusoperaatioissa kiertoradakorjauksilla.

Historiallinen

Taivaanmekaniikassa on aihe, joka on kiehtonut monia matemaatikkoja: se on kolmen ruumiin ns . Ongelma . Newton ilmoitettuaan lainsa , joka ilmaisee, että "kehot houkuttelevat toisiaan voimalla, joka on verrannollinen massan tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön neliöistä", yritti kuvata kolmen ruumiin käyttäytymistä onnistumatta. . Meidän on odotettava matemaatikkoa Joseph-Louis Lagrangea, joka vuonna 1772 tutki pienen rungon tapausta, jonka massa oli merkityksetön (mitä nykyään kutsutaan testirungoksi tai testipartikkeliksi ), vetovoiman alaisena kaksi isompaa: aurinko ja esimerkiksi planeetta. Hän huomasi, että pienellä ruumiilla oli tasapainotiloja, paikkoja, joissa kaikki voimat tasapainosivat.

Määritelmä

Näissä kohdissa oleva pienimassinen esine ei enää liiku suhteessa kahteen muuhun kappaleeseen ja pyörii yhdessä niiden kanssa (esimerkiksi planeetta ja aurinko ). Jos annamme esimerkkinä Lagrangen pistettä ja Sun - Maan järjestelmä , nämä viisi pistettä ovat huomattava ja määritellään seuraavasti (asteikko ei noudateta):

• L 1  : näiden kahden massan määrittelemällä viivalla niiden välillä tarkka sijainti riippuen näiden kappaleiden välisestä massasuhteesta; siinä tapauksessa toinen elimistä on paljon pienempi massa kuin muut, piste L 1 sijaitsee paljon lähempänä ei kovin massiivinen elin kuin massiivinen kehon.
• L 2  : kahden massan määrittelemällä viivalla pienemmän yli. Siinä tapauksessa, että jommankumman rungon massa on paljon pienempi, etäisyys L 2: sta tähän runkoon on verrattavissa L 1: n ja tämän rungon etäisyyteen .
• L 3  : kahden massan määrittelemällä viivalla suuremman yli. Siinä tapauksessa, yksi kahden elimen on huomattavasti vähemmän massiivinen kuin muut, välinen etäisyys L 3 ja massiivinen runko on verrattavissa kahden elimissä.
• L 4 ja L 5  : kahden tasasivuisen kolmion kärjissä, joiden pohjan muodostavat kaksi massaa. L 4 on pienimmän massan kiertoradan edessä olevien kahden pisteen kohta sen kiertoradalla suuren ympärillä ja L 5 on takana. Näitä pisteitä kutsutaan toisinaan kolmiomaisiksi Lagrange- pisteiksi tai Troijan pisteiksi , koska se on paikka, jossa Sun- Jupiter- järjestelmän Troijan asteroidit sijaitsevat . Toisin kuin kolme ensimmäistä pistettä, nämä kaksi viimeistä eivät ole riippuvaisia ​​kahden muun ruumiin suhteellisesta massasta.

Lagrange-pisteiden sijainnin laskeminen

Lagrange-pisteiden sijainnin laskeminen tapahtuu tarkastelemalla mitättömän massaisen ruumiin tasapainoa kahden kiertoradalla olevan kappaleen luoman gravitaatiopotentiaalin ja keskipakovoiman välillä . Pisteiden L 4 ja L 5 sijainti voidaan saada analyyttisesti. Että muut kolme pistettä L 1 L 3 on saatu ratkaisemalla numeerisesti, tai mahdollisesti käyttämällä rajoitettu laajeneminen , algebrallinen yhtälö. Näiden kolmen pisteen sijainti on annettu alla olevassa taulukossa, jos toisen kappaleen massa (tässä tapauksessa numero 2 ) on vähäinen toisen edessä, joka sijaitsee etäisyydellä R edellisestä . Kannat on esitetty pitkin akselia yhdistää kaksi elintä, joiden alkuperä on identifioitava painopisteen järjestelmän, ja jonka suunta kulkee rungon 1 ja rungon 2 . Määrät r 2 ja q tarkoittavat vastaavasti asema rungon 2 akselilla ja massan suhde on kevyemmän kokonaismassaan kahden elimen. Lopuksi käytämme määrää ε, joka on määritelty ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Kohta	Sijainti suhteessa järjestelmän painopisteeseen
L 1	r2+R(-e+13e2+19e3+O(e4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ vasen (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ oikea)}
L 2	r2+R(e+13e2-19e3+O(e4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ vasen (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ oikea)}
L 3	-R+R(-512q+112720736q3+O(q4)){\ displaystyle -R + R \ vasen (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4}) \ oikea)}

Kirjallisuudessa löydämme joskus jonkin verran erilaisia ​​lausekkeita johtuen siitä, että akselin alkuperä on muualla kuin painopisteessä ja että käytämme terminä rajoitetun kehityksen perustana näiden kahden välistä suhdetta massat sen sijaan suhde pienempi kokonaismassan, eli joskus määrä q " on määritelty . q′=m2M1=q1-q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Laskentatiedot - Johdanto Alustavat tiedot

Merkitään M 1: llä ja m 2: lla näiden kahden kappaleen massaa, jolloin ensimmäisen massan oletetaan olevan suurempi tai yhtä suuri kuin toisen massa. Kahden elimen ovat oletettavasti kiertävät pyöreä, niiden erottamisen ollessa R . Nämä kaksi elintä kiertävät yhteisen painopisteensä ympäri . Merkitään r 1 ja r 2 algebrallinen etäisyydet kahden elimen suhteen orientoituneen akselin runko 1 ja runko 2 (eli että r 1 tulee olemaan negatiivinen ja R 2 positiivinen). Painopiste määritetään yhtälöllä

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

määritettäessä etäisyys R ,

r2-r1=R{\ displaystyle r_ {2} -r_ {1} = R}.

Näillä kahdella yhtälöllä on ratkaisu

r1=-m2MR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=M1MR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

missä merkitään M  =  M 1  +  m 2 järjestelmän kokonaismassa.

Kaksi kehoa kiertää toistensa ympäri kulmanopeudella ω , jonka arvon antaa Keplerin kolmas laki  :

ω2=GMR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G on painovoiman vakio .

Jos asetamme itse pyörivän rungon kanssa kahden elimen, joka on sanoa kulmanopeuden ω , paikallaan runko on alttiina, lisäksi gravitaatiovoimat kahden elimen, että keskipakovoima . Jos merkitään r : llä tämän rungon vektorisäde, kirjoitetaan keskipakovoima massayksikköä f c kohti, jolle se altistuu.

fvs.=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Perusyhtälö

Lagrange-pisteen määritelmä on, että gravitaatio- ja inertiavoimien summa häviää näissä pisteissä. Merkitsemällä r kyseessä olevan pisteen / pisteiden sädevektorin meillä on näin

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ lihavoitu symboli {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

kaksoispalkit, jotka osoittavat, että otetaan huomioon tarkasteltujen vektorien normi . Kulmanopeus ω korvataan sitten sen arvolla, joka saadaan Keplerin antamasta kolmannesta laista

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+GMrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

jota yksinkertaistamme välittömästi painovoiman avulla

-M1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+MrR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

Tämän yhtälön resoluutio antaa Lagrangen eri pisteet.

Kaksi harkittavaa tapausta

Tämän yhtälön projektio kohtisuorassa kiertoradan tasoon nähden, jonka normaalin merkitsee merkitty vektori, antaa heti z^{\ displaystyle {\ hattu {\ lihavoitu symboli {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

mikä tarkoittaa, että Lagrange-pistejoukko sijaitsee kiertoradatasolla. Yhtälö on siis ratkaistu kiertoradatasolla. Kaksi tapausta on otettava huomioon:

• se, josta etsimme pistettä kahden kehon muodostaman akselin varrella,
• se, josta etsimme pistettä tämän akselin ulkopuolella.

Toinen tapaus osoittautuu helpoimmin tutkittavaksi.   Laskentatiedot - pisteet L 4 ja L 5 Pisteiden L 4 ja L 5 tapaus

Oletetaan, että sädevektori r ei ole yhdensuuntainen näiden kahden kappaleen läpi kulkevan akselin kanssa. Siksi heijastamme perusyhtälön kohtisuoraan tähän akseliin, suuntaan, jonka oletetaan määrittävän merkitty vektori . Määritelmän mukaan tämä suunta on kohtisuorassa akselia yhdistävään akseliin nähden y^{\ displaystyle {\ hattu {\ lihavoitu symboli {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

Siksi perusyhtälö kirjoitetaan uudelleen

-M1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+My^⋅rR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

Termit ovat yksinkertaistettuja, mikä antaa y^⋅r{\ displaystyle {\ hat {{boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-M1||r-r1||3-m2||r-r2||3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Määritämme nyt suunnan kohtisuoraksi r: lle . Koska r ei ole samalla suoralla r 1 ja r 2 , määrät eivät ole nolla. Projisoimalla perusyhtälö pitkin s saadaan s^{\ displaystyle {\ hattu {\ lihavoitu symboli {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

M1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Kuitenkin, mukaan Thales' lause , projektiot r 1 ja r 2 pitkin ovat samassa suhteessa kuin ulokkeet näiden vektorien akselia pitkin, joka yhdistää kaksi elintä. Tästä seuraa, että edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen s^{\ displaystyle {\ hattu {\ lihavoitu symboli {s}}}}

M1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Kahden ruumiin barycenter viittaa, kuten aiemmin nähtiin

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

Yhdistelmä Tämän yhtälön ja että joka edeltää siis merkitsee sitä, että kaksi etäisyyttä ja ovat identtisiä, niiden arvo on huomattava, R ': ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡R′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Injisoimalla tämä tulos projektioon r pitkin , se tulee sitten

-M1R′3-m2R′3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Kertomalla kokonaisuudessaan R ' 3 ja muistaa, että M on summa kahden massojen saadaan lopulta

M(R′3R3-1)=0{\ displaystyle M \ vasen ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ oikea) = 0},

mikä lopulta antaa

||r-r1||=||r-r2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

toisin sanoen haetut pisteet muodostavat tasasivuisen kolmion järjestelmän kahden rungon kanssa. Nämä kolmiot ovat myös kiertoradan tasossa, joka antaa kaksi mahdollista pistettä, merkitään julkistetun L 4 ja L 5 , on sijoitettu kummallakin puolella akselin yhdistää kaksi elintä.

Käyttämällä Pythagoraan lause , etäisyys D näiden kahden Lagrangen pistettä painopisteen järjestelmä on kirjoitettu

D.2=(-|r1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

Joka antaa

D.2=r12+14R2-R|r1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

Joka antaa

D.2=R2+r12-R|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Käyttämällä sitä, että hän tulee R=|r1|+r2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D.2=r22+|r1|R=r12+r2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. Etäisyys on siten suurempi kuin kummankin kappaleen etäisyys järjestelmän painopisteestä. Nämä Lagrange-pisteet ovat siten vähiten massiivisen ruumiin kiertoradan ulkopuolella eivätkä ole tiukasti sen päällä, vaikka näin on melkein niin rajalla, jossa kevyimmän ruumiin massa muuttuu merkityksettömäksi verrattuna hänen kumppaninsa massaan.   Laskentatiedot - Pisteet L 1 - L 3 Pisteiden L 1 - L 3 tapaus

Jos otetaan huomioon Lagrange-pisteet, jotka sijaitsevat molempien kappaleiden yhdistävällä akselilla, on otettava huomioon kolme alakohtaa:

1. Tapaus, jossa piste (t) ovat kenttien 1 ja 2 välissä  ;
2. Tapauksessa, jossa piste (t) ovat vastapäätä rungon 2 suhteen rungon 1  ;
3. Tapaus, jossa pisteet ovat vastakkain runkoa 1 suhteessa runkoon 2 .

Näissä kolmessa tapauksessa perusyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

• Tapaus 1: Kahden voiman projektiolla akselilla on vastakkaiset merkit ( rungon 1 kohdistaman voiman projektio on negatiivinen, rungon 2 voiman projekti on positiivinen), mikä antaa -M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

kanssa r1<r<r2{\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Tapaus 2: Kahden voiman projektio akselille on negatiivinen, mikä antaa -M1(r-r1)2-m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

kanssa r1<r2<r{\ displaystyle r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Tapaus 3: Kahden voiman projektio akselille on positiivinen, mikä antaa M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

kanssa r<r1<r2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

Jokainen näistä kolmesta yhtälöstä voidaan supistaa viidennen asteen polynomiyhtälöksi , jolle ei ole tarkkaa analyyttistä ratkaisua, lukuun ottamatta erityistapauksia (kuten esimerkiksi kahden identtisen massan vastaava).

Ratkaisujen ainutlaatuisuus kussakin kolmessa tapauksessa johtuu siitä, että voimatasapainolla ratkaistava yhtälö johtuu potentiaalista U , jonka antaa

U=-M1||r-r1||-m2||r-r2||-12Mr2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Tämä potentiaali edustaa pylväitä r 1: ssä ja r 2 : ssa ja vastaa näiden arvojen ulkopuolella kolmen koveran termin summaa ja on siten paikallisesti kovera. Siksi sillä on vain yksi paikallinen ääripää kullakin määritellyllä domeenilla, toisin sanoen kussakin edellä mainituista kolmesta tapauksesta.   Ratkaisut ryhmille L 1 - L 3 , jos massojen suhde on pieni Pienennetty muoto ja liuos, jos massasuhde on pieni

Kun m 2: n ja M 1: n (tai m 2: n ja M: n) välinen suhde on pieni, voimme löytää likimääräisen ratkaisun kunkin pisteen sijainnille suorittamalla rajoitetun laajennuksen likimääräisestä helposti löydettävästä ratkaisusta. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi teimme mittakaavan muutoksen, jotta kaikki pituudet voidaan ilmaista erotuksen R ja kokonaismassan M yksikköyksiköinä . Poseeramme näin

u=r/R{\ displaystyle u = r / R},

ja

u1,2=r1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

ja me määrittelemme pienet parametrin q by

q≡m2/M{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

josta voimme ilmaista

M1/M=1-q{\ displaystyle M_ {1} / M = 1-q}, u1=-q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, u2=1-q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

Tässä tapauksessa kolme yllä kirjoitettua yhtälöä ovat yksinkertaisemmassa muodossa

• Tapaus 1: -1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

kanssa -q<u<1-q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• Tapaus 2: Kahden voiman projektio akselille on negatiivinen, mikä antaa -1-q(u+q)2-q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

kanssa 1-q<u{\ displaystyle 1-q <u}.

• Tapaus 3: Kahden voiman projektio akselille on positiivinen, mikä antaa 1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

kanssa u<-q{\ displaystyle u <-q}.Kohta L 1

Kun ruumiin 2 massa on merkityksetön, sen vetovoima on vähäinen, ellei testipartikkeli ole hyvin lähellä. Kuitenkin, kun rungon 2 vetovoima on merkityksetön, tasapaino rungon 1 vetovoiman ja keskipakovoiman välillä on sellainen, että tasapainopisteen etäisyys on R- luokkaa . Kun piste tasapainon sijaitsee vastapäätä rungon 2 , olemme tapauksessa Lagrangen pisteen  L 3 , joka on näin ollen, suurin piirtein, joka sijaitsee vastapäätä rungon 2 verrattuna rungon 1 . Muuten, me siis olettaa, että kohta tasapaino on melko lähellä rungon 2 (ja sen vuoksi jälleen sijaitsee etäisyyden R päässä rungon 1 ), mutta silti riittävän kaukana niin, että vetovoima rungon 2 , joka kohdistuu testi hiukkanen jää pieneksi verrattuna ruumiin 1 . Siksi poseeramme pelkistetyssä muodossa

u=u2+e′=1-q+e{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

missä tässä ε ' on pieni ja negatiivinen suure (oletetaan tässä, että piste on kahden kentän välillä). Pienennetty yhtälö muuttuu sitten

-1-q(1+e′)2+qe′2+1-q+e′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Teemme kehityksen, joka rajoittuu kehon tuottaman vetovoiman ensimmäiseen järjestykseen  :

-(1-q)(1-2e′)+qe′2+1-q+e′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Termit 1 -  q ovat yksinkertaistettuja, ja se pysyy

(3-2q)e′+qe′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Pitäen silti vain q: n alimman järjestyksen ehdot , se tulee

e′=-(q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ vasen ({\ frac {q} {3}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Voimme sitten jatkaa laskemista, kehittää poikkeama pisteen runko 2 on valtuudet ε " . Poseeramme näin

u=1-q+e′+xe′2+O(e′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

Pienennetty perusyhtälö antaa sitten

-1-q(1+e′+xe′2)2+q(e′+xe′2)2+1-q+e′+xe′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

Voimme kertoa toisen termin q  /  ε ' 2: lla , jonka voimme korvata sen arvolla, eli -3  ε' . Sitten saamme

-(1-q)(1+e′+xe′2)-2-3e′(1+xe′)-2+1-q+e′+xe′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Sitten suoritamme rajoitetun laajennuksen kahdesta ensimmäisestä termistä, toisessa järjestyksessä ensimmäiselle ja ensimmäisessä järjestyksessä seuraaville, mikä antaa

-(1-q)(1-2e′-2xe′2+3e′2)-3e′(1-2xe′)+1-q+e′+xe′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

josta x johtuu kolmanneksesta, mikä antaa

u=1-q+e′+13e′2+O(e3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Kehitystä voidaan sitten jatkaa samaa menettelyä noudattaen. Seuraavassa järjestyksessä meillä on näin

u=1-q+e′+13e′2-19e′3+O(e′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Kohta L 2

Pisteen L 2 tapaus on ratkaistu täsmälleen kuten edellisessä osassa, paitsi että perusyhtälön toisen termin merkki on negatiivinen. Joten pyydämme

u=1-q+e{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

Koska ε oletetaan tällä kertaa olevan pieni ja positiivinen, niin meillä onkin

-1-q(1+e)2-qe2+1-q+e=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

Pienin järjestysresoluutio antaa

-(1-q)(1-2e)-qe2+1-q+e=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

mikä ehtojen purkamisen jälkeen antaa

3e=qe2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

tuo on

e=(q3)13=-e′{\ displaystyle \ varepsilon = \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Tämä vastaa lähintä merkkiä samaan tulokseen kuin aikaisemmin. Ratkaisun jatkokehitys tapahtuu kuten aiemmin. Aloitamme

u=1-q+e+xe2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

ja injektoimme tämän tuloksen perusyhtälöön

-1-q(1+e+xe2)2-q(e+xe2)2+1-q+e+xe2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Kuten aiemmin, muunnamme tämän lausekkeen

-(1-q)(1-2e-2xe2+3e2)-3e(1-2xe)+1-q+e+xe2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

mitä me ratkaisemme

x=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

tuo on

u=1-q+e+13e2+O(e3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Tämä ilmaisu on identtinen ensimmäisen Lagrangen piste korvaamalla ε ' mukaan ε , mutta nämä kaksi pistettä ovat epäsymmetriset: kuten merkki ε , ε' väliset muutokset olevan L 1 ja L kohdan 2 , toisen kertaluvun korjaus, aina positiivinen , approksimoi kohta L 1 on runko 2 , kun se pitää kohta L 2  : kaksi pistettä eivät ole samalla etäisyydellä rungon 2 . Ja maan välinen massasuhde on 1 / 300000 , ja ε on suuruusluokkaa 0,01, joka asettaa kaksi pistettä suhteessa maahan etäisyydellä noin sadasosa etäisyyden maassa olevassa Sun, tai sisällä 1500000  kilometrin . Toisen asteen termi on suuruudeltaan kolmekymmentä tuhannesosa maa-aurinko-etäisyydestä, ts. 5000 km: n sisällä  . Piste L 1 on siis noin 10000  km lähempänä maapalloa kuin L 2 .

Lopuksi voimme jatkaa kehitystä korkeampaan järjestykseen, joka antaa kaikki tehdyt laskelmat

u=1-q+e+13e2-19e3+O(e4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal { O}} (\ varepsilon ^ {4})}.Kohta L 3

Tapauksessa 3, joka vastaa pistettä L 3 , kirjoitetaan perusyhtälö

1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Koska pisteen oletetaan olevan rungon 1 ulkopuolella rungon 2 suhteen , se on lähempänä massiivisinta kappaletta, jonka vetovoima on ensisijainen suhteessa toiseen runkoon. Tässä tilanteessa tavoitellun pisteen kanta on siis lähellä

1-q(u+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Likimääräinen ratkaisu tähän yhtälöön on tietysti

u≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Löydämme poikkeamat tästä arvosta kirjoittamalla perusyhtälöön

u=-1+v{\ displaystyle u = -1 + v},

ja ratkaisemme yhtälön ottamalla huomioon q: n ensimmäiset termit . Saamme näin

1-q(-1+v+q)2+q(-1-1+v+q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

Määrät ja q, jotka ovat pieniä R : n edessä, kirjoitetaan ensimmäinen termi v{\ displaystyle v}

1-q(-1+v+q)2=(1-q)(1-v-q)-2≃(1-q)+2(v+q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

Koska toinen termi on merkityksetön edelliseen verrattuna (se on verrannollinen q: hen ), se voidaan arvioida

q(-1-1+v+q)2≃q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Yhdistämällä kaikki nämä termit saamme

1-q+2(v+q)+q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

Joka antaa

54q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

toisin sanoen

v=-512m2M+O(m22M2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ vasemmalle ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ oikea)}.

Laskentaa voi ilman vaikeuksia jatkaa poseeraamalla

u=-1-512q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ displaystyle w}ollessa tällä kertaa verrannollinen q 2: een . Perusyhtälöstä tulee sitten

1-q(-1-512q+w+q)2+q(-1-1-512q+w+q)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ vasen (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ oikea) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ vasen (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ oikea) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = 0},

toisin sanoen

1-q(1-712q-w)2+q(2-712q-w)2-1-512q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ vasen (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ oikea) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ vasen (2- {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Laajentamalla tätä lauseketta q: n toiseen järjestykseen löydämme

w=0+O(q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

eli se on korkeintaan q 3: ssa . Uudelleen laskemalla tässä yhteydessä löydämme vihdoin w{\ displaystyle w}

w=112720736q3+O(q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Harvoin on hyödyllistä viedä laskenta niin pitkälle: Sun-Planet-kokoonpanossa viimeinen korjaava termi on parhaimmillaan luokkaa 10-9 , koska suurin planeetan ja auringon massasuhde Jupiterin tapauksessa on tuhannesosa. Termi q 3 on siis Jupiterille luokkaa miljardiosa, joka kiertoradan koon perusteella vastaa noin viisikymmentä metriä korjausta, kun otetaan huomioon, että q 3 : n tekijäosa on suuruusluokkaa kaksikymmentä . Sillä Maan ja Auringon järjestelmä (etäisyys noin +150.000.000km, massan suhde on noin 1 / 300000 ), viimeinen korjaus on murto-osa mikronia.  

Vakaus

Yllä oleva laskelma ei osoita mitään, jos Lagrange-pisteet ovat vakaat. Näiden kohtien vakaus tai ei ole sitä paitsi kovin intuitiivista. Kahden kehon kanssa pyörivässä vertailukehyksessä testipartikkelin voidaan nähdä olevan alttiina potentiaalille, mukaan lukien painovoima ja keskipakovoima. Tämä potentiaali, merkitty Ω, kirjoitetaan muodossa

Ω=-GM1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Kaikki tämän potentiaalin ehdot ovat negatiivisia ja vähenevät, kun siirrytään pois massoista (kahdelle ensimmäiselle termille) tai järjestelmän painopisteestä (kolmannelle). Voimme siis osoittaa, että Lagrange-pisteet L 4 ja L 5 ovat potentiaalin Ω paikallisia maksimeja (katso alla) ja että muut kolme pistettä ovat satulapisteitä . Yleensä tasapainotila (määritetty potentiaalin johdannaisten kumoamisella) on vakaa vain, jos se sijaitsee potentiaalin paikallisissa minimissa. Ottaen kuitenkin huomioon, että olemme pyörivässä viitekehyksessä, viitekehys ei ole inertiaalinen . Objekti, joka liikkuu tässä viitekehyksessä, esimerkiksi tasapainopisteen läheisyydessä, altistetaan Coriolis-voimalle , eikä sen liike riippu yksinomaan potentiaalin muodosta. Lagrange-pisteiden vakauden tutkimiseksi on siksi otettava huomioon Coriolis-voima.

Lagrange-pisteiden vakauden laskemiseksi on näin ollen tarpeen tutkia jonkin näistä pisteistä lähellä olevan kohteen liikerataa. Toteamalla o R vektorin koordinaatit Ax ja Ay antaa poikkeama tällaisen objektin yhden Lagrangen pistettä (jossa oletetaan kuitenkin, että ainoastaan kiertoradan taso), liikeyhtälö on kirjoitettu

5R¨=-2ω∧5R˙+5f{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

missä δf edustaa voimaa massayksikköä kohden kohden. Tämä voima on pieni johtuen siitä, että Lagrange-pisteessä voima (joka koostuu painovoimakomponentista ja keskipakovoimasta) on nolla ja että ihminen asetetaan lähelle tällaista pistettä. Tämä voima voidaan laskea rajallisena kehityksenä. Esimerkiksi komponentilla X meillä on

5fX=fX(0)+∂fX∂X5X+∂fX∂Y5Y{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ osa f_ {X}} {\ osittainen X}} \ delta X + {\ frac {\ osittainen f_ {X}} {\ osittainen Y}} \ delta Y}.

Ensimmäinen termi vastaa Lagrange-pisteessä kohdistettua voimaa, voimaa, joka on rakenteeltaan nolla. Lisäksi potentiaalista johtuva voima voidaan ilmaista voiman johdannaiset potentiaalin toisina johdannaisina:

5fX=-∂2Ω∂X25X-∂2Ω∂X∂Y5Y{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ partitali ^ {2} \ Omega} {\ osaa X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ osallinen ^ {2} \ Omega } {\ osittainen X \ osittainen Y}} \ delta Y}.

Voimme siten ilmaista liikkeen yhtälön komponenttien suhteen

5X¨=2ω5Y˙-∂2Ω∂X25X-∂2Ω∂X∂Y5Y{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ Omega} {\ osittainen X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ Omega} {\ osittainen X \ osittainen Y}} \ delta Y}, 5Y¨=-2ω5X˙-∂2Ω∂X∂Y5X-∂2Ω∂Y25Y{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ piste {\ delta X}} - {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ Omega} {\ osittain X \ osaa Y}} \ delta X - {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ Omega} {\ osittainen Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Tämä yhtälöryhmä voidaan laittaa neljän ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön järjestelmäksi :

∂∂t(5X5Y5X˙5Y˙)=(00100001-Ω,xx-Ω,xy02ω-Ω,xy-Ω,yy-2ω0)(5X5Y5X˙5Y˙){\ displaystyle {\ frac {\ partitali {{osittainen t}} \ vasen ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { taulukko}} \ oikea) \ vasen ({\ aloita {taulukko} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ piste {\ delta X}} \\ {\ piste {\ delta Y}} \ end {taulukko}} \ oikea)},

jossa potentiaalin Ω osittaiset johdannaiset on merkitty indeksinä, jota edeltää pilkku (esimerkiksi Ω , xx vastaa ). ∂2Ω/∂x2{\ displaystyle \ osallinen ^ {2} \ Omega / \ osittainen x ^ {2}}

Tarkastellun Lagrange-pisteen vakaus saavutetaan etsimällä tämän yhtälön ratkaisuja. Voit tehdä tämän, riittää löytää ratkaisut eksponentiaalinen tyyppiä , vuonna . Jatkamme siis edellä olevan matriisin diagonalisaatiota, joka merkitään A: lla . Ominaisarvot havaittu vastaavat määrät y yläpuolella, poikkeamat tasapainoasemasta sitten on tietty yhdistelmä enintään neljä exponentials. Järjestelmän vakaus varmistetaan sillä, että eksponentit eivät kasva ajan myötä, toisin sanoen suuruudet either ovat joko negatiivisia tai kompleksisia negatiivisten reaaliosien kanssa . Itse asiassa matriisia ei tarvitse täysin diagonalisoida, riittää, kun löydät ominaisarvot, eli yhtälön ratkaisut eΓt{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

det(TO-λMinä)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Tämä determinantti on kirjoitettu

|-λ0100-λ01-Ω,xx-Ω,xy,-λ2ω-Ω,xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {array}} \ oikea |},

ja se on sen arvoinen

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Tämä yhtälö voidaan pienentää toisen asteen polynomiyhtälöksi λ 2: ssa . Lähtöyhtälön ratkaisut ovat siten kaksi vastakkaisten numeroiden paria kaksi kerrallaan. Jotta kaksi vastakkaista lukua olisi negatiivinen tai nolla tai sitten negatiivinen tai nolla reaaliosa, niiden on välttämättä oltava puhtaita kuvitteellisia lukuja, jotta yhtälön λ 2 ratkaisut olisivat todellisia ja negatiivisia. Jotta nämä ratkaisut olisivat todellisia, erottelijan on siis oltava positiivinen tai tässä

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Kun tämä on saatu, kahden todellisen ratkaisun on oltava negatiivisia, mikä tarkoittaa, että samanaikaisesti niiden summa on negatiivinen ja niiden tuote positiivinen, mikä tarkoittaa

Ω,xx+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

Lagrange-pisteen vakaus altistuu näiden kolmen rajoituksen toteutumiselle. Näistä rajoituksista viimeinen on yksinkertainen tulkinta: määrän merkki määrittää, onko kyseessä oleva paikallinen ääripiste vai satulapiste. Tässä tapauksessa tämän määrän positiivisuus tarkoittaa, että sen on oltava paikallinen ääripää, välttämätön ehto, mutta ei riittävä Lagrange-pisteen vakauden kannalta. Kun tämä määrä on negatiivinen, meillä on satulapiste ja Lagrange-piste on epävakaa. Toisaalta yllättävämmin Lagrange-piste voi olla vakaa, jos se vastaa potentiaalin paikallista maksimia, toisin sanoen, että Ω , xx  + Ω , yy voi olla negatiivinen, jos tämä määrä ei ylitä kriittinen arvo -4  ω 2 . Käytännössä näin tapahtuu tietyissä tapauksissa Lagrange-pisteillä L 4 ja L 5 . Tämän tilanteen fyysinen tulkinta on, että Coriolis-voima tarjoaa vakauden. Kohde, joka on hiukan siirtynyt tällaisesta pisteestä, siirtyy aluksi säteittäisesti, ennen kuin näkee sen liikeradan kaarevaksi Coriolis-voimalla. Jos potentiaali pienenee kaikkialla pisteen ympärillä, on mahdollista, että Coriolis-voima pakottaa kohteen pyörimään Lagrange-pisteen ympäri, kuten syvennyksen pilvet , jotka eivät osoita syvennyksen ydintä, mutta pakotetaan pyöreä polku sen ympärillä. Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Lisälaskenta Alustava

Lagrange-pisteiden vakauden tutkimiseksi on laskettava potentiaalin peräkkäiset johdannaiset. Tähän potentiaaliin liittyy etäisyys r  -  r 1 |. Siksi on tarpeen tietää tällaisen määrän eri voimien johdannaiset. Vuonna suorakulmaiset koordinaatit , tämä määrä on kirjoitettu

|r-r1|=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Sen derivaatta Jonkin koordinaattien x , y , z , yhdessä huomattava x i on siis kirjoitettu

∂i|r-r1|=122(xi-x1i)(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=xi-x1i|r-r1|{\ displaystyle \ osittainen _ {i} | {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

Tämän määrän minkä tahansa tehon p johdannainen on

∂i(|r-r1|s)=s(xi-x1i)|r-r1|s-2{\ displaystyle \ osittainen _ {i} (| {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Sopeuttamalla tämä tulos potentiaaliin puuttuvien määrien toisiin johdannaisiin meillä on

∂ij(1|r-r1|)=-5ij|r-r1|3+3(xi-x1i)(xj-x1j)|r-r1|5{\ displaystyle \ parts _ {ij} \ left ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ lihavoitu symboli {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

joka antaa täyden potentiaalinsa

∂ijΩ=5ijGM1|r-r1|3-3(xi-x1i)(xj-x1j)GM1|r-r1|5+5ijGm2|r-r2|3-3(xi-x2i)(xj-x2j)Gm2|r-r2|5-ω25ij{\ displaystyle \ parts _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ lihavoitu symboli { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) GM_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

missä δ ij edustaa Kronecker-symbolia . Näiden osajohdannaisten arvo on laskettava Lagrangen eri pisteiden vakauden määrittämiseksi. Lagrange-pisteille L 4 ja L 5 tämä laskenta on yksinkertaisin.

Lagrange-pisteiden L 4 ja L 5 tapaus

Näille pisteille on ominaista se, että niiden etäisyys kahdesta kappaleesta on identtinen ja yhtä suuri kuin R  :

|r-r1|=|r-r2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

Lisäksi, voidaan käyttää kolmannen lain Kepler siirtää määriä tyypin G M  /  R 3 ja co , ja yksi tiedä tarkkaa pisteiden koordinaatit Lagrangen. Arvioimalla potentiaalin johdannaiset Lagrange-pisteissä L 4 tai L 5 meillä on

xi-x1i=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ vasen ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ oikea )},

ja

xi-x2i=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ vasen (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ oikea)},

merkki + haettaessa L 5 ja merkki - L 4 . Lopuksi halutulla matriisilla on komponentteja

∂ijΩ=ω2(-34∓334(1-2q)∓334(1-2q)-94){\ displaystyle \ parts _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ left ({\ begin {array} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ end {array}} \ right)}.

Tämän matriisin determinantti on

det(∂ijΩ)=Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2=2716(1-(1-2q)2)ω2=274ω2q(1-q){\ displaystyle \ det (\ osal _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ vasen (1- (1-2q) ^ {2} \ oikea) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

mikä on aina positiivista, koska q on välillä 0 ja 1. Tämä ensimmäinen vakauden ehto on vakiintunut. Toinen vakausedellytys on kirjoitettu

Ω,xx+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ vasen (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ oikea) = + \ omega ^ {2}},

määrä taas positiivinen. Lopuksi syrjivä antaa

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2)=ω2(1-27q(1-q))=ω2(27q2-27q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ oikea) = \ omega ^ {2} \ vasen (1-27q (1-q) \ oikea) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

Paksusuolen stabiilisuus määräytyy viime kädessä määrän positiivisuuden perusteella . Tämän polynomin nollat q a , q b annetaan tavallisella kaavalla, joka tässä osoittaa 27q2-27q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

qVastaanottaja,b=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Tällä polynomilla on siten negatiiviset arvot alueella . Siten näiden kahden Lagrange-pisteen vakaus varmistetaan vain, jos pienin massa ei ylitä 3,852% kokonaismassasta tai vastaavalla tavalla, että näiden kahden massan suhde ei ylitä 4,006%. q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Tämä ehto varmistetaan kaikilla Auringon-Planeetan tyyppisillä kokoonpanoilla (missä q ei ylitä Jupiterille suunnilleen tuhannesosaa) tai Maa-Kuu-järjestelmälle (missä q on luokkaa 1/80, ts. 1, 25%).

Lagrange-pisteiden L 1 - L 3 tapaus

Kolme Lagrangen pistettä L 1 ja L 3 sijaitsevat akselilla, joka yhdistää kaksi elintä. Kaavan, joka antaa toisen johdannaisen, määrät y i  -  y 1 i ovat nollia, kun taas niiden analogit x: ssä identifioidaan yhden kehon ja tarkastellun Lagrange-pisteen välisten etäisyyksien kanssa. Näin ollen toisen johdannaisen matriisi kirjoitetaan

∂ijΩ=(-2GM1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200GM1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ parts _ {ij} \ Omega = \ left ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { taulukko}} \ oikea)}.

Termi Ω , xx on selvästi negatiivinen. Matriisin determinantin merkki määräytyy Ω : n yy  : n kanssa: jos jälkimmäinen on positiivinen, niin Lagrange-piste on satulapiste ja se on epävakaa. Voimme kirjoittaa tämän termin uudelleen käyttämällä Keplerin kolmatta lakia:

Ω,yy=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ oikea)}. L 1: n tapaus

Lagrangen kohta  L 1 sijaitsee kahden elimissä. Sen etäisyys heihin, | r  -  r 1 | ja | r  -  r 2 | Näin ollen, aina ehdottomasti pienempi kuin R . Meillä on näin

Ω,yy|THE1=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1)>ω2((1-q)+q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ lihavoitu symboli {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ oikea)> \ omega ^ {2} \ vasen ((1-q) + q-1 \ oikea) = 0}.

Tämä määrä on siis ehdottomasti positiivinen, joka varmistaa, että determinantti on negatiivinen, toisin sanoen, että L 1 on satula piste, mikä tekee siitä epävakaa kohta.

L 2: n ja L 3: n tapaus

Esitämme merkintöjen yksinkertaistamiseksi

u1=|r-r1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, u2=|r-r2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Siksi olemme kiinnostuneita määrän merkistä

Ω,yyω2=(1-q)1u13+q1u23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

tuo on

Ω,yyω2=(1-q)(1u13-1)+q(1u23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ vasen ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ oikea) + q \ vasen ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ oikea)},

tietäen, että u 1 ja u 2 ovat yhteydessä toisiinsa sillä, että niiden ero on yhtä suuri kuin 1 ja että ne määrittelevät Lagrange-pisteen, eli suhteen

-(1-q)1u12-q1u22+|r|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ lihavoitu symboli {r}} |} {R}} = 0}.

Etäisyys Lagrange-pisteestä järjestelmän painopisteeseen voidaan kirjoittaa, pisteelle L 2 ,

|r|R=u2+(1-q)=u1-q{\ displaystyle {\ frac {| {\ lihavoitu symboli {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

suhteet, jotka voidaan yhdistää

|r|R=qu2+(1-q)u1{\ displaystyle {\ frac {| {\ lihavoitu symboli {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

Pisteen L 2 sijainti on siis annettu

-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ oikea) = 0}.

Kysymme sitten

TO=(1-q)(1u12-u1){\ displaystyle A = (1-q) \ vasen ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ oikea)}, B=q(1u22-u2){\ displaystyle B = q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ oikea)}.

Joten meillä on toisaalta

TO+B=0{\ displaystyle A + B = 0},

Ja toisaalta

Ω,yyω2=TOu1+Bu2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Toisin sanoen,

Ω,yyω2=TOu1+Bu1+B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ vasen ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ oikea)}.

Oikean puolen ensimmäinen termi on nolla suhteen A  +  B  = 0 nojalla. Siksi se pysyy

Ω,yyω2=B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ vasen ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ oikea)}.

Pisteen L 2 kohdalla olemme kuitenkin lähempänä runkoa 2 kuin runkoa 1 . Näin ollen, u 2 on pienempi kuin u 1 , ja näin ollen on positiivinen. Merkki toinen derivaatta vastaa siis kuin B , joka puolestaan määräytyy arvo u 2  : jos tämä määrä on suurempi kuin 1, niin B on negatiivinen, kun taas muutoin B on positiivinen, mikä merkitsee sitä, että piste on epävakaa. Lagrange-piste L 2 sijaitsee rungon 2 ulkopuolella . Koko voima (painovoiman ja keskipako-) kohdistetaan tällä alueella on ensin käännetty kohti rungon 2 , kun yksi on lähellä tätä, niin peruutetaan L 2 ja suunnataan sitten vastapäätä L 2 . Pisteessä, jossa u 2 on yhtä suuri kuin 1, tämän voiman komponentti, molempia kappaleita yhdistävän akselin varrella, saadaan (positiiviseen kertolaskuun asti) (1u2-1u1){\ displaystyle \ vasen ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ oikea)} 

5f∝-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ oikea)},

täällä,

u2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, u1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

tuo on

5f|u2=1∝74(1-q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Tämä määrä on tiukasti positiivinen, piste u 2  = 1 akselin sijaitsee sen pisteen yli, L 2 . Näin ollen, siinä kohdassa L 2 , u 2 on pienempi kuin 1, siis B on positiivinen, joten kohta on todellakin satula piste, joka takaa sen epävakautta. Täysin analoginen esitys voidaan tehdä pisteestä L 3 , joka täydentää niiden epävakauden osoittamista satulapisteen luonteensa vuoksi.  

Tyypilliset ajat L 1: ssä ja L 2: ssa järjestelmille, joilla on suuri massaheterogeenisuus

Yksi Lagrange-pisteiden, L 1 ja L 2 , epävakauden tärkeimmistä sovelluksista on, että keinotekoisia satelliitteja voidaan lähettää näihin maa-aurinko-järjestelmän pisteisiin (katso alla). Tällaisille satelliiteille on tehtävä säännöllisiä kurssikorjauksia, jotta satelliitti pysyy pisteen läheisyydessä. Tätä ominaisaikaa voidaan arvioida siinä tapauksessa, että järjestelmän kahden rungon massasuhde on korkea. Tällöin tyypillinen epävakausaika γ -1 saadaan

1y=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}}}},

missä T on järjestelmän kiertorata. Maa-aurinko-järjestelmän tapauksessa, jossa T on hieman yli 365 päivää, epävakauden tyypillinen aika on sitten 23 päivää ja 4 tuntia.

Lisäksi liikeradan vakaa komponentti esiintyy sykkeessä

ωTrVastaanottajaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

tai vastaavalla tavalla ajanjakson kanssa

TTrVastaanottajaj=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

mikä antaa edellä mainitussa tapauksessa 176 päivän määräajan.

Esittely

Yhtälö, joka antaa järjestelmän ominaisarvot, on aina

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

kanssa, pisteitä L 1 ja L 2 ,

Ω,xy=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,xx=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(qu23+1-qu13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ vasen ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ oikea)}.

rajoittumalla q: n alimpaan järjestykseen , u 1 on 1 ja u 2 määräytyy tämän sivun ensimmäisen taulukon antaman suhteen avulla. Meillä on näin

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ vasen (3 + 1-1 \ oikea) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,xx=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

Polynomiyhtälöstä tulee sitten

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

joiden ratkaisut ovat

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ vasen (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ oikea) \ omega ^ {2}}.

Tämän yhtälön positiivinen ratkaisu osoittaa, että tasapainopistepoikkeamat kasvavat ajan myötä eksponentiaalisesti suhteen mukaan

5X∝eλ+t{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

kanssa

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

Tähän liittyvä ominaisaika on siis

1y=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

tai, kuten ilmoitettiin, maapallon Lagrange-pisteille tyypillinen aika, joka on luokkaa 23 päivää.

Samalla tavalla on olemassa jaksollisia polkuja, joiden sykkeen antaa yhtälön monimutkaiset juuret, toisin sanoen

ωTrVastaanottajaj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

eli kauden

TTrVastaanottajaj=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, mikä vastaa lähes kuuden kuukauden aikaa maapallon Lagrange-pisteille.  

Kiertoratojen rakenne epävakauden läsnä ollessa

Kun ominaisarvot epävakaan kohdan tunnetaan liikeradan läheisyydessä Lagrangen piste on lineaarinen yhdistelmä on ominaisvektorit , jotka liittyvät ominaisarvot. Toteamalla λ i yksi näistä ominaisarvojen, niihin liittyvät ominaisvektori on komponentteina

Vi=(1μiλiλiμi){\ displaystyle V_ {i} = \ vasen ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ end {array}} \ right)},

kanssa

μi=-12ω(Ω,xxλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ vasen ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ oikea)},

ja lentorata on muodoltaan

(5X5Y5X˙5Y˙)=∑iaiVi{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array} } \ oikea) = \ summa _ {i} \ alfa _ {i} V_ {i}},

missä suuruudet ovat mitä tahansa lukuja, jotka määritetään arvojen δX , δY ja niiden johdannaisen kanssa tiettynä ajankohtana. Kolmen epävakaan Lagrange-pisteen tapauksessa toisen derivaattimatriisin determinantti on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että λ 2: n toisen asteen yhtälön erottelijalla on todellisia juuria vastakkaisista merkeistä, ja että Haetut ominaisarvot ovat kaksi vastakkaista puhdasta kuvitteellista lukua ja kaksi vastakkaista reaalilukua. Geneerinen lentorata sisältää siis kiertoradalla jaksollisen komponentin (kytkettynä puhtaisiin kuvitteellisiin juuriin), vaimennetun komponentin (kytketty todelliseen positiiviseen juureen) ja epävakaan komponentin. Annetulle sijainnille δX , δY on aina mahdollista valita nopeus siten, että todellisten juurien kaksi ominaisvektoria eivät edistä vastaavaa ratkaisua. Saatu reitti on sitten jaksollinen, jakson antaa kompleksinen juuri. Tällainen ratkaisu ei kuitenkaan ole vakaa. Pieni poikkeama liikeradasta lisää itse asiassa epävakaan komponentin liikeradalle, joka siirtää liikeradan vähitellen pois jaksollisesta komponentistaan. Sanomme, että saatu liikerata ei ole dynaamisesti vakaa. Tämä on yleistys tosiasiasta, että täsmälleen epävakaassa Lagrange-pisteessä oleva esine on epävakaassa tilanteessa: pieni poikkeama tästä tasapainotilasta, joka väistämättä syntyy järjestelmän muiden kappaleiden aiheuttamista häiriöistä, lopulta siirtyy pois sen alkuperäisen sijainnin kohde. Sama tapahtuu epävakaan tasapainopisteen ympärillä sijaitsevilla reiteillä. ai{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

Käsitteen merkitys

Yllä oleva laskelma viittaa kokoonpanoon, jossa järjestelmän kaksi runkoa ovat pyöreällä kiertoradalla. Lagrange-pisteen käsite pätee kuitenkin kaikentyyppisille kiertoradoille, myös elliptisille. Siksi voimme määritellä nämä pisteet missä tahansa järjestelmässä, jossa on kaksi gravitaatiolinkkiä. Toisaalta, vakaat tai epävakaat liikeradat eri Lagrange-pisteiden ympärillä riippuvat nimenomaisesti järjestelmän kahden rungon kiertoradasta.

Käytä avaruusoperaatioissa

Lagrange-pisteiden matemaattista tutkimusta samoin kuin niiden matemaattisia ominaisuuksia, kuten niihin liittyviä invarianttijakoa, on hyödynnetty suunnittelemaan avaruuskoettimen tehtäviä aurinkokunnassa. Rosettan , Voyagerin tai Galileon kaltaisissa tehtävissä koettimen suhteellinen nopeus verrattuna arvioituihin kappaleisiin on riittävän suuri arviointia varten, kun otetaan huomioon, että muut vaikutusalueen elimet häiritsevät Keplerin kiertoratoja vain vähän. Heti kun otetaan huomioon alhaiset nopeudet ja pienet työntövoimat, tarkempi lähentäminen on kuitenkin tarpeen. Liapounov-Poincarén teoreema vakuuttaa meille, että näiden tasapainopisteiden ympärillä on jaksottaisten kiertorakenteiden perhe. Jaksollisia tasomaisia ​​kiertoratoja kutsutaan sitten Liapunov- kiertoradoiksi , kun taas 3D-tapauksessa niitä kutsutaan topologisten ominaisuuksiensa mukaan, joko Halo- tai Lissajous-kiertoradat. Voidaan todeta, että tämän tyyppistä säännöllistä kiertorataa Lagrange-pisteiden ympärillä on jo käytetty todellisten tehtävien, kuten SoHO- tehtävän, rakentamisessa .

Näistä jaksollisista kiertoradoista Lagrange-pisteiden ympärillä tulevat invariantit jakotukit ( Conley-McGee-putket ), jotka ovat dynamiikan erottimia ja joita voidaan tässä mielessä pitää painovoimavirtoina . Yhä useammin näitä virtauksia käytetään tehtävien suunnitteluun, erityisesti planeettojen välisen liikenneverkon (ITN) kanssa .

Lagrange-pisteitä käytetään tiettyjen avaruusoperaatioiden erityistarpeiden tyydyttämiseen:

• Maa-aurinko-järjestelmän Lagrange-piste  L 1 , joka sijaitsee maan ja Auringon välissä (vaikkakin paljon lähempänä planeettamme), sallii auringon tarkkailun ilman häiriöitä tai varjostusta maasta ja kuusta. Siksi on mahdollista mitata auringon aktiivisuutta (purkaukset, syklit, aurinkotuuli) ilman, että maan magnetosfääri vaikuttaa siihen . Tämä on ihanteellinen paikka avaruussäätehtäviin, kuten SoHO ja ACE .
• Maa-aurinko-järjestelmän Lagrange-piste  L 2 tarjoaa suuren lämpöstabiilisuuden samalla kun se sijaitsee riittävän lähellä maata (1,5 miljoonaa km), jotta kerätyt tiedot voidaan siirtää suurella nopeudella. Sitä käyttävät erityisesti kahden viime vuosikymmenen aikana käynnistetyt suuret avaruuden tähtitieteelliset observatoriot: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Tätä Lagrange  L 2 -pistettä käytettiin ensimmäistä kertaa vuonna 2018 maan ja kuun välittäjänä kiinalainen satelliitti Queqiao . Tämä tietoliikennesatelliitti voi siten lähettää uudelleen Maahan tiedot, jotka on kerännyt Chang'e 4 -avaruusanturi, joka on sijoitettu Kuun takapuolelle.

Aurinkokunnassa

Troijalaisia

Pisteet L 4 ja L 5 ovat yleensä vakaita, joten on olemassa monia luonnollisia kappaleita, joita kutsutaan troijalaisiksi  :

• Sun- Jupiter- järjestelmässä on (vuonna 2011) noin 5000 asteroidia pisteissä L 4 ja L 5  ;
• Sun- Neptune- järjestelmässä kahdeksan;
• Sun- Mars- järjestelmässä neljä;
• että Saturnus - Tethys järjestelmä , kohdat L 4 ja L 5 ovat käytössä Telesto ja Calypso , vastaavasti;
• Saturn- Dione- järjestelmässä Hélène ja Pollux miehittävät nämä pisteet.

On utelias, näyttää siltä, ​​että Aurinko-Saturnus-järjestelmä ei pysty keräämään troijalaisia Jovian häiriöiden takia .

Aurinko- Maa- järjestelmässä olemme tunteneet siitä lähtien1. st Lokakuu 2010Troijalainen kohdassa L 4 , asteroidi 2010 TK7 , jonka mitat ovat 300 metriä. Jotkut tähtitieteilijät huomauttavat, että tämä esine voi olla riski, joka on verrattavissa NEO: hin. Nämä kirjoittajat ehdottavat myös, että oletettavasti Kuun alkupäässä ( Théia ) oleva iskulaite olisi asettanut ajan pisteeseen L 4 tai L 5 ja kerännyt massaa ennen kuin se olisi poistettu siitä muiden planeettojen vaikutuksesta.

Sovellukset

Pisteet L 1 ja L 2 ovat epävakaita tasapainoja, mikä tekee niistä käyttökelpoisia avaruusoperaatioiden yhteydessä: ei ole luonnollisia kappaleita, ja siellä voidaan ylläpitää dynaamista tasapainoa kohtuullisen polttoaineenkulutuksen vuoksi (painovoimakenttä on heikko niiden läheisyydessä) ).

Aurinko-Maa-järjestelmä

Näiden sijaintien tärkeimmät edut maan kiertoradoihin verrattuna ovat niiden etäisyys maasta ja niiden jatkuva altistuminen auringolle ajan myötä. Piste L 1 soveltuu erityisen hyvin auringon ja aurinkotuulen havaitsemiseen . Tässä vaiheessa oli ensimmäinen miehitetty vuonna 1978 ISEE-3 satelliitin , ja se on tällä hetkellä käytössä SoHO , DSCOVR , Advanced kokoonpano Explorer ja Lisa Pathfinder satelliitteja .

Toisaalta kohta L 2 on erityisen mielenkiintoinen kosmoshavaintotehtävissä, joissa upotetaan erittäin herkkiä instrumentteja, jotka on siirrettävä maasta ja Kuusta, ja jotka toimivat hyvin alhaisessa lämpötilassa. Se on tällä hetkellä Herschel- , Planck- , WMAP- ja Gaia- satelliittien käytössä, ja sen pitäisi olla myös JWST: n vuonna 2021, Euclidin vuonna 2022 ja Nancy-Grace-Romanin noin vuonna 2025.

Maa-Kuu-järjestelmä

Osana kiinalaista Chang'e 4 -tehtävää , kuun avaruuskoetinta, joka laskeutui vuonna 2019 kuun piilotettuun vaiheeseen, pisteeseen L 2 sijoitettiin Quequio-välityssatelliitti maan ja koettimen välisen tiedonsiirron varmistamiseksi.

Aikaa pidettiin jonkin aikaa sijoittamasta avaruusteleskooppi Maa-Kuu-järjestelmän pisteeseen L 4 tai L 5 , mutta tämä vaihtoehto hylättiin, kun siellä oli havaittu pölypilviä.

Tieteiskirjallisuudessa

Tieteiskirjallisuudessa maapallo-kuu -järjestelmän pisteet L 4 ja L 5 suojaavat vakaudensa vuoksi jättimäisiä avaruuspesäkkeitä. Tieteiskirjallisuuden ja sarjakuvan tekijät haluavat sijoittaa maanvastaisen pisteen L 3 . Tämä ajatus edeltää Newtonin fysiikkaa, mikä osoittaa, että se on melko epärealistista. Lagrange-piste on kiinnostava vain kohteelle, jonka massa on merkityksetön järjestelmän kahteen elementtiin verrattuna, mikä ei ole kaksoisplaneetta.

Kirjoittajien joukossa, jotka ovat käyttäneet näitä pisteitä kirjanpidossaan, John Varley suunnittelee useissa romaaneissaan ja novelleissaan siirtomaiden asentamista Maa-Kuu-yhtyeen Lagrange-pisteisiin hyödyntäen sitä, että pieni massa n ' ei tarvitsisi energiaa säilyttääkseen asemaansa kahden tähden suhteen. Tämä pätee erityisesti hänen sarjaansa nimeltä Gaïan trilogia, jossa kahden viimeisen osan tietyt päähenkilöt ovat peräisin yhdestä näistä siirtomaista, "Coventista",

Ne löytyvät myös usein toissijaisella tavalla tarinoista (romaaneista ja novelleista), jotka asetetaan Les Huit Mondes -sarjan yhteydessä . Erityisesti Gens de la Lune -romaanissa kohta L 5 on Robert Anson Heinlein -avaruusaluksen kokoonpanopaikka, jonka on tarkoitus aloittaa tähtienvälinen matka, ennen kuin projekti hylätään ja aluksen ruho varastoidaan Kuun kaatopaikalle. .

Gundam- universumien erilaisissa teoksissa avaruuspesäkkeet sijaitsevat usein Lagrangen pisteissä, mikä tekee niistä tärkeät strategiset asemat näissä kiertoradan konflikteissa.

Elokuva 2010: vuosi ensikontaktille mukaan Peter Hyams (1984) (joka on jatkoa 2001 Avaruusseikkailu ), jättimäinen monoliitti, jonka luonto on edelleen salaperäinen esitetään sijoitettu Lagrangen pisteeseen Jupiterin ja yksi sen kuut , Io.

Huomautuksia ja viitteitä

1. Essee kolmen ruumiin ongelmasta [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Rochen geometria, Jean-Marie Hameury, Strasbourgin observatorio [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg ja Emmanuel Trélat , taivaanmekaniikka ja avaruusajoneuvojen hallinta , Berliini, Springer, coll.  "Matematiikka ja sovellukset",2005, XIV -276  Sivumäärä ( ISBN  978-3-540-28373-7 , ilmoitus BnF n o  FRBNF40153166 , lue verkossa ), s.  73 ( luettu verkossa ) Google-kirjoissa (käytetty 25. heinäkuuta 2014).
4. http://www.esa.int/Enabled_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. Jos määritämme q pienimmän massan suhteeksi kokonaismäärään, vain q: n alle 0,5- arvoilla on merkitystä, koska suuremmat arvot vastaavat suurimman massan suhdetta kokonaismassaan.
6. (sisään) Martin Connors et ai. , "  Maan troijalainen asteroidi  " , Nature , voi.  475, n °  7357,28. heinäkuuta 2011, s.  481-483 ( DOI  10.1038 / nature10233 , Bibcode  2011Natur.475..481C , lukea verkossa [PDF] , näytetty 03 joulukuu 2014 ) Artikkelin kirjoittajia ovat Martin Connorsin lisäksi Paul Wiegert ja Christian Veillet.
   Artikkelissa vastaanotti lehden Nature päälle11. huhtikuuta 2011, jonka käsittelylautakunta hyväksyi 27. toukokuuta 2011 ja julkaistu verkkosivustollaan 27. heinäkuuta 2011.
7. (in) Whitney Clavin ja Trent J. Perrotto , "  Nasan WISE Mission löytää ensin Troijan asteroidi jakaminen Maan kiertoradalla  " on NASA , lähetetty 27 heinäkuu 2011 (tutustuttavissa 03 joulukuu 2014 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe , "  Uusi satelliitti maapallolle: Ensimmäinen Trojan satelliitin Maan on havaittu  ", Pour la Science , n o  407,syyskuu 2011, s.  6 ( lue verkossa , kuultu 3. joulukuuta 2014 ) Artikkeli ladattiin 8. elokuuta 2011, lehden verkkosivustolla.
9. (in) Satavatko painovoimareiät planeettamurhaajia? , newscientist.com.
10. (in) "  LISA Pathfinderin matka avaruudessa - annotoitu  " sivustolla sci.esa.int (käytetty 29. helmikuuta 2016 ) .
11. (in) "  NASA: n Webb-observatorio vaatii enemmän aikaa testaukseen ja arviointiin; Uusi Laukaisuikkuna Under Review  " päälle nasa.gov (tutustuttavissa 1. s huhtikuu 2018 ) .
12. (in) "  Lagrange Points  " , The Gundam Wiki ,12. syyskuuta 2016( lue verkossa , tutustunut 14. joulukuuta 2016 ).

• Grégory Archambeau , tutkimus Lagrange-pisteiden ympärillä olevasta dynamiikasta , Orsay, Pariisin XI yliopisto ,2008, X -114  Sivumäärä, lue verkossa [PDF] osoitteessa [1]
• Maxime Chupin , planeettojenväliset siirtymät vähäisellä kulutuksella käyttäen rajoitetun kolmen kehon ongelman ominaisuuksia , Pariisi, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  Sivumäärä, lue verkossa [PDF] osoitteessa [2]
• (en) Richard Fitzpatrick, Analyyttinen klassinen dynamiikka , kurssi Texasin yliopistossa Austinissa Katso verkko (pdf- ja html-versiot) .

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Luettelo aurinkokunnan objekteista, jotka sijaitsevat Lagrangen pisteessä
• Théia

Ulkoiset linkit

• (sisään) Auktoriteettitiedot  :
  • Ranskan kansalliskirjasto ( tiedot )
  Kongressin kirjakauppa

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">