Spektriteoria

In matematiikan , ja erityisesti analyysin , eli spektrin teoria on teoria ulottuu toimijoille määritellään toimintakyvyn tilat alkeis- teorian ominaisarvo ja matriisit . Vaikka nämä ideat ovat peräisin lineaarisen algebran kehityksestä , ne liittyvät myös analyyttisten toimintojen tutkimiseen , koska operaattorin spektriominaisuudet liittyvät sen spektrin arvojen analyyttisten toimintojen ominaisuuksiin.

Matemaattinen konteksti

Nimi spektrin teoriaa otettiin käyttöön David Hilbert hänen alkuformulaatiosta Hilbertin teorian tiloja , totesi kannalta quadratic muotoja , joilla ääretön muuttujia. Alkuperäisen spektrin lause vuoksi suunniteltiin yleistys lauseen määritellään pääakselit olevan ellipsoidin , että kyseessä on tilaa ääretön ulottuvuus. Spektriteorian soveltaminen kvanttimekaniikassa atomien emissiospektrien näkökohtien selittämiseen oli siksi vahingossa.

Spektriteoria on muotoiltu kolmella eri tavalla, joka on edelleen käytössä. Hilbertin alkuperäisen työn jälkeen Hilbertin avaruusteorian ja yhden normaalin endomorfismin spektriteorian myöhemmät kehitykset seurasivat kvanttifysiikan kehitystä , erityisesti von Neumannin teoksessa . Teoria kehitettiin sisällyttämään Banachin algebrat ja abstraktimmat rakenteet, mikä johti Gelfandin  (in) esittämiseen , joka kattaa kommutatiivisen tapauksen, ja käsittelemään ei-kommutatiivista harmonista analyysiä .

Näiden lähestymistapojen ero näkyy parhaiten Fourier-analyysissä. Fourier-muunnos on reaaliakselilla voidaan nähdä spektrin teoriaa johtaminen, katsotaan ero operaattori . Mutta voi opiskella tämän operaattorin tällä tavalla on tutkittava kiinnostumaan eigen jakaumat (esim kautta Gelfand kolmikon  (en) ). Sen sijaan on helppoa rakentaa ryhmäalgebra  (en) (topologinen), spektri sieppaa suurimman osan Fourier-muunnosominaisuuksista, mikä toteutetaan pontryagiinin kaksinaisuuden avulla .

On myös mahdollista tutkia operaattoreiden spektriominaisuuksia Banach-tiloissa . Erityisesti näiden tilojen pienikokoisilla operaattoreilla on samanlaiset spektriominaisuudet kuin matriiseilla .

Fyysinen konteksti

Spektriteorian hyödyllisyys fysiikassa ja erityisesti värähtelyilmiöissä on selitetty seuraavasti: ”Spektriteoria liittyy tutkimukseen eri esineiden paikallisista värähtelyistä, aina atomista ja molekyyleistä esteisiin ääniaaltojen polulla. Pääkysymys on määrittää, esiintyvätkö nämä värähtelyt ja millä taajuuksilla. Tämä on erittäin vaikea ongelma, koska jokaisella esineellä on paitsi perustaajuus myös monimutkainen harmonisten joukko, kohteen luonteesta riippuen ” .

Matemaattinen teoria ei riipu näistä fyysisistä näkökohdista teknisestä näkökulmasta, mutta molemmat lähestymistavat ovat vaikuttaneet toisiinsa (katso esimerkiksi kysymys Mark Kac  : Kuule rummun muoto  (sisään) ). Jean Dieudonné väittää, että Hilbertin hyväksyminen termin spektrin tulee artikkelista Wilhelm Wirtinger on Hillin yhtälöön (1897), ja että hänen oppilaansa, erityisesti Erhard Schmidt ja Hermann Weyl , otti sana vuosina. Alkuvuosina kahdennenkymmenennen vuosisadalla. Hilbertin avaruuskäsitteen teoreettiset perusteet kehitettiin sitten Hilbertin ideoista alkaen, Erhard Schmidt ja Frigyes Riesz . Lähes kaksikymmentä vuotta myöhemmin, kun kvanttimekaniikka muotoiltiin Schrödingerin yhtälöstä , linkki muodostettiin spektriviivoilla  ; tämä suhde matemaattiseen fysiikan fysiikkaan oli jo otettu huomioon, kuten Henri Poincaré huomautti , mutta se oli hylätty kvantitatiivisista syistä ja Balmer-sarjan selityksen puuttumisen vuoksi . Myöhempi löytö, jonka mukaan spektriteoria voisi selittää atomispektrien ominaisuudet, oli satunnainen eikä ollut yksi Hilbertin teorian tavoitteista.

Spektrin määritelmä

Olkoon T olla rajoitetun toimija määritellään käyttäjää avaruuksissa . Määritämme operaattorin, missä I on identiteettioperaattori , ζ kompleksiluku, ja missä operaattorin U käänteinen , merkitty U −1 , on ainutlaatuinen operaattori (jos sellainen on), että (jos l 'käänteinen on olemassa, sanomme että U on säännöllinen ja että se on muuten yksikkö ). Rζ=(ζ Minä-T)-1 ,{\ displaystyle R _ {\ zeta} = \ vasen (\ zeta \ IT \ oikea) ^ {- 1} \,}U∘U-1=U-1∘U=Minä{\ displaystyle U \ circ U ^ {- 1} = U ^ {- 1} \ circ U = I}

Näiden määritelmien mukaan T: n erottava joukko on kompleksilukujen joukko ζ sellainen, että R ζ on olemassa ja rajoittunut; tämä joukko on usein merkitty ρ (T) . Spektri on T , jota merkitään yleensä σ (T) , on komplementti ratkaista asetettu, eli joukko ζ siten, että on yksikkö, tai että R ζ on rajaton. Funktion R ζ (varten ζ on ρ (T) ) kutsutaan resolventtiyhtälöt ja T . Kukin ominaisarvo ja T (eli kukin ζ siten, että on olemassa ei-nolla-vektori v siten, että T (v) = ζv ) kuuluu σ (T) , mutta spektri T voi sisältää d 'muita arvoja. ζ Minä-T{\ displaystyle \ zeta \ IT}

Tämä määritelmä voidaan yleistää kaikkiin topologisiin vektoritiloihin (määrittelemällä ehto "  T on rajattu operaattori" sanalla "  T lähettää minkä tahansa rajatun osan (yleisten topologisten vektoritilojen mielessä) toiselle rajatulle osalle"), mutta c 'It on päinvastoin, päinvastoin, Hilbert-tilojen tapauksessa , että teoria on rikkain ja että sen sovelluksia on eniten. Erityisesti Hilbert-tilojen operaattoreiden spektrin rakenne on hyvin ymmärretty; siis itsenäisten operaattoreiden tapauksessa spektri sisältyy todelliseen viivaan ja hajoaa  (in) yleensä erillisarvoksi, joka muodostuu ominaisarvoista, ja jatkuvaksi spektriksi  (in) .

Spektriteorioiden menestyksen alkuperä

On funktionaalinen analyysi , kuten jo lineaarialgebra , spektrin lause antaa olosuhteissa, jotka mahdollistavat operaattorin ilmaistaan summana yksinkertaisempi toimijoille. Seuraava esitys on epävirallinen; Tarkempaa lähestymistapaa varten katso artikkelia Kompakti operaattori .

Käytämme Diracin bra-ket-merkintää operaattoreille. Esimerkiksi tietty lineaarinen operaattori L voidaan yksinkertaisimmassa tapauksessa kirjoittaa tensorituotteeksi (kahdesta vektorista): "rintaliivit" ja "ket" . Toiminto kuvataan ket- tyyppisellä . Sen jälkeen merkitään arvo, jonka se saa koordinaateille , ja normi par L=|k1⟩⟨b1|,{\ displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |,}⟨b1|{\ displaystyle \ langle b_ {1} |}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}f{\ displaystyle f}|f⟩{\ displaystyle | f \ rangle}f(x){\ displaystyle f (x)}(x1,x2,x3,...){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ pistettä)}f(x)=⟨x,f⟩{\ displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}f{\ displaystyle f}

||f||2=⟨f,f⟩=∫⟨f,x⟩⟨x,f⟩dx=∫f∗(x)f(x)dx{\ displaystyle || f || ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}

missä '*' tarkoittaa (monimutkaista) konjugaatiota. Tämä skalaarisen tuotteen valinta määrittelee hyvin tarkan prehilbertin tilan , jolle voimme sitten kuvata vaikutusta funktioon seuraavasti: L{\ displaystyle L}f{\ displaystyle f}

L|f⟩=|k1⟩⟨b1|f⟩{\ displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle},

toisin sanoen, toimi tuottamalla uusi toiminto kerrottuna pistetuotteella, jota edustaa . L{\ displaystyle L}f{\ displaystyle f}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}⟨b1|f⟩{\ displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}

Operaattoria voi yleisemmin edustaa: L{\ displaystyle L}

L=λ1|e1⟩⟨f1|+λ2|e2⟩⟨f2|+λ3|e3⟩⟨f3|+...,{\ displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ pistettä,}

jossa ovat skalaareja, muodostavat niitä pohja , ja niitä kaksi pohja . Pohjan ja kaksoispohjan välinen suhde kuvataan seuraavasti: missä on Kronecker-symboli . {λi}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}{|ei⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}{⟨fi|}{\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}⟨fi|ej⟩=5ij{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}5ij{\ displaystyle \ delta _ {ij}}

Tällä formalismilla niiden ominaisarvot ovat ja toiminnot ovat niitä vastaavia ominaisvektoreita (tai pikemminkin ominaisfunktioita). Ominaisarvot ovat osa spektri on . {λi}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}L{\ displaystyle L}{|ei⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}L{\ displaystyle L}

Sitten syntyvät kysymykset ovat seuraavat.

• Missä yleisissä olosuhteissa tätä formalismia sovelletaan, ja mitkä ovat operaattorit, joita voidaan siten kehittää sarjaan?L{\ displaystyle L}
• Voidaanko jokin funktio ilmaista ominaisfunktioilla (toisin sanoen muodostavatko ominaisfunktiot perustan )f{\ displaystyle f}
• Missä tapauksissa erillinen spektri näkyy jatkuvan spektrin sijasta?
• Voimmeko edelleen yleistää nämä ideat muihin funktionaalisten tilojen luokkiin?

Vastaukset näihin kysymyksiin muodostavat varsinaisen spektriteorian ; ne edellyttävät huomattavaa kehitystä toiminnallisessa analyysissä .

Identiteetin esittäminen

Tässä osassa esitetään yhtä löysä lähestymistapa kuin edellisessä, mutta käytetään edelleen bra-ket-merkintää; täydelliseen virallistamiseen tarvittavat yksityiskohdat löytyvät viitatuista teoksista.

Aikaisemmilla merkinnöillä identiteettioperaattori voidaan kirjoittaa: missä oletetaan myös, että {   } muodostavat perustan ja että {   } ovat kaksinkertainen perusta, joka tarkistaa yhteyden:Minä=∑i=1ei|ei⟩⟨fi|{\ displaystyle I = \ summa _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}|ei⟩{\ displaystyle | e_ {i} \ rangle}⟨fi|{\ displaystyle \ langle f_ {i} |}⟨fi|ej⟩=5ij.{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}

Sanotaan, että tämä kirjoitus on identiteetin esitys tai ratkaisu . Muodollisesti tämä esitys tarkistaa kaikki identiteetin ominaisuudet; erityisesti positiivisen kokonaisluvun n suhteen . Soveltamalla sitä mihin tahansa toimintoon saamme: Minäei=Minä{\ displaystyle I ^ {n} = I \,}|ψ⟩{\ displaystyle | \ psi \ rangle}

Minä|ψ⟩=|ψ⟩=∑i=1ei|ei⟩⟨fi|ψ⟩=∑i=1ei vs.i|ei⟩{\ displaystyle I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle = \ summa _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle},

joka yleistää ier: n Fourier-sarjan laajennuksen käyttämällä perustan {e i  } toimintoja.

Kun otetaan yleisesti huomioon yhtälö muodossa :, jossa h on avaruuden funktio ja O tuntematon operaattori, se on virallisesti ratkaistu edellisessä perustassa: O|ψ⟩=|h⟩{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}

O|ψ⟩=∑i=1eivs.i(O|ei⟩)=∑i=1ei|ei⟩⟨fi|h⟩,{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = \ summa _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ vasen (O | e_ {i} \ rangle \ oikea) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle,} ⟨fj|O|ψ⟩=∑i=1eivs.i⟨fj|O|ei⟩=∑i=1ei⟨fj|ei⟩⟨fi|h⟩=⟨fj|h⟩,∀j{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ summa _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle, \ quad \ kaikki j}

joka muuntaa tämä tuntematon operaattori yhtälö matriisi yhtälö, jossa tuntematon kertoimet c j perustuvat yleiseen Fourier-kertoimien ja h ja matriisin elementit (ääretön) = liittyvät operaattorin O . ⟨fj|h⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | h \ rangle}Oji{\ displaystyle O_ {ji}}⟨fj|O|ei⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle}

Spektriteoria puuttuu määrittämään perustan ja käytetyn kaksoispohjan olemassaolon ja luonteen. Erityisesti, emäs voi olla muodostettu ominaisfunktiot tietyn operaattorin L  : jossa {  λ i  } ovat ominaisarvot L . Edellisen yhtälön ratkaiseminen antaa sitten L  : n tensorikomponentit : L|ei⟩=λi|ei⟩;{\ displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \,;}

LMinä=L=∑i=1eiL|ei⟩⟨fi|=∑i=1eiλi|ei⟩⟨fi|.{\ displaystyle LI = L = \ summa _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |.}

Ratkaiseva operaattori

Spektriteorian avulla voidaan arvioida L- ominaisominaisuuksien ja ominaisarvojen avulla määritelty ratkaisuoperaattori R ja saada vastaava Green-funktio. R=(λMinä-L)-1,{\ displaystyle R = (\ lambda IL) ^ {- 1}, \,}

Soveltaen R tutkitun tilan mielivaltaiseen funktioon φ , meillä on

R |φ⟩=(λMinä-L)-1 |φ⟩=Σi=1ei1λ-λi|ei⟩⟨fi,φ⟩.{\ displaystyle R \ | \ varphi \ rangle = (\ lambda IL) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle.}

Tällä toiminnolla on napoja kompleksisessa muuttuvassa tasossa λ jokaiselle L: n ominaisarvolle . Käyttämällä laskennassa jäännökset , saamme

12πi ∮VS dλ(λ-L)-1 |φ⟩=-Σi=1ei |ei⟩ ⟨fi,φ⟩=-|φ⟩,{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ voide _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle,}

missä integraali otetaan muodon C yli, joka ympäröi kaikkia L: n ominaisarvoja .

Oletetaan, että funktiot, jotka on määritelty koordinaateilla { x j }, ts. Missä { x j  }: tä vastaavat aaltosulkeet  tyydyttävät δ (x - y) = δ (x 1 - y 1 , x 2 - y 2 , x 3 - y 3 , ...) on Dirac-jakauma . ⟨x, φ⟩=φ(x1, x2,... ),{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \),}⟨x, y⟩=5(x-y),{\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy),}

Joten:

⟨x, 12πi ∮VS dλ(λ-L)-1φ⟩=12πi ∮VS dλ ⟨x, (λ-L)-1 φ⟩=12πi ∮VS dλ∫ dy  ⟨x, (λ-L)-1 y⟩ ⟨y, φ⟩{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ voitelu _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ vo _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ vo _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {tasattu}}}

Funktio G (x, y; λ), jonka määrittelee:

G(x, y; λ)=⟨x, (λ-L)-1 y⟩=Σi=1eiΣj=1ei⟨x, ei⟩⟨fi, (λ-L)-1ej⟩⟨fj, y⟩=Σi=1ei⟨x, ei⟩⟨fi, y⟩λ-λi=Σi=1eiei(x)fi∗(y)λ-λi,{\ displaystyle {\ begin {tasattu} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ Sigma _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}, \ end {tasattu}}}

kutsutaan Greenin operaattorin L toiminnaksi ja tarkistaa:

12πi ∮VS dλ G(x, y; λ)=-Σi=1ei⟨x, ei⟩⟨fi, y⟩=-⟨x, y⟩=-5(x-y).{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ voide _ {C} \ d \ lambda \ G (x, \ y; \ \ lambda) = - \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle = - \ langle x, \ y \ rangle = - \ delta (xy).}

Yhtälöt operaattoreille

Tarkastellaan yhtälöä kannalta koordinaattien  :; tärkeä erityistapaus on λ = 0. (O-λMinä) |ψ⟩=|h⟩;{\ displaystyle (O- \ lambda I) \ | \ psi \ rangle = | h \ rangle;}∫ dy ⟨x, (O-λMinä) y⟩⟨y, ψ⟩=h(x){\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, \ (O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ \ psi \ rangle = h (x)}

Greenin edellisessä osassa määritelty tehtävä on:

⟨y, G(λ)z⟩=⟨y, (O-λMinä)-1z⟩=G(y, z; λ) ,{\ displaystyle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle = \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle = G (y, \ z; \ \ lambda) \ ,}

ja tarkista

∫ dy ⟨x,( O-λMinä) y⟩⟨y, G(λ)z⟩{\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle} =∫ dy ⟨x,( O-λMinä) y⟩⟨y, (O-λMinä)-1z⟩{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle} =⟨x, z⟩=5(x-z) .{\ displaystyle = \ langle x, \ z \ rangle = \ delta (xz) \.}

Tämän ominaisuuden avulla meillä on: ∫ dy ⟨x,( O-λMinä) y⟩G(y, z; λ)=5(x-z) .{\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle G (y, \ z; \ \ lambda) = \ delta (xz) \.}

Kerrotaan sitten yhtälön kaksi puolta h (z): llä ja integroidaan, se tulee:

∫ dz h(z) ∫ dy ⟨x, ( O-λMinä) y⟩ G(y, z; λ){\ displaystyle \ int \ dz \ h (z) \ \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ G (y, \ z; \ \ lambda)}  =∫ dy ⟨x, ( O-λMinä) y⟩∫ dz h(z) G(y, z; λ)=h(x) ,{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ int \ dz \ h (z) \ G (y, \ z; \ \ lambda) = h ( x) \,}

osoittaa, että ratkaisu olisi ψ(x)=∫ dz h(z) G(x, z; λ).{\ displaystyle \ psi (x) = \ int \ dz \ h (z) \ G (x, \ z; \ \ lambda).}

Näin ollen funktio ψ (x), joka täyttää alkuperäisen yhtälön, saadaan, jos voimme määrittää O: n spektrin ja konstruoida G esimerkiksi käyttämällä  ; on tietenkin monia muitakin tapoja määrittää G . Lisätietoja on artikkeleissa Green-funktiot ja Fredholmin integraaliyhtälöt  ; Toisaalta ei pidä unohtaa, että edellinen analyysi on puhtaasti muodollinen ja että näiden yhtälöiden tiukka käsittely merkitsee melko suurta matemaattista hienostuneisuutta, joka vaatii erityisesti syvällistä tietoa toiminnallisesta analyysistä ja Hilbert-tilojen teoriasta ja jakaumat . G(x, z; λ)=Σi=1eiei(x)fi∗(z)λ-λi .{\ displaystyle G (x, \ z; \ \ lambda) = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \.}

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Spectral theory  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Huomautuksia

1. (in) Jean Dieudonne , historia funktionaalianalyysi , Amsterdam / New York / Oxford, Elsevier , yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, 312  Sivumäärä ( ISBN  0-444-86148-3 , lue verkossa ).
2. (in) William Arveson (in) , lyhyt kurssi Spectral Theory , New York, Springer , ai.  "  GTM  " ( n o  209)  2002, 135  Sivumäärä ( ISBN  0-387-95300-0 , lue verkossa ) , luku .  1 ("Spektriteoria ja Banach-algebrat").
3. (en) Viktor Sadovnichy , teoria Operaattorit , Springer, 1991, 396  Sivumäärä ( ISBN  978-0-306-11028-3 , lue verkossa ) , luku .  4 (“Hilbert-avaruuden geometria - operaattoreiden spektriteoria”) , s.  181 ja sitä seuraavat.
4. (in) John von Neumann , matemaattinen Foundations of Quantum Mechanics , PUP , ai.  "Princeton maamerkkejä matematiikan" ( n o  2) 1996( 1 st  toim. 1932), 445  s. ( ISBN  978-0-691-02893-4 , lue verkossa ).
5. E. Brian Davies , lainattu King's College London -sivustolla , "  Analyysiryhmän tutkimusakselit  " .
6. Englanniksi: "Spektriteoria liittyy useiden eri esineiden lokalisoitujen värähtelyjen tutkimiseen, atomien ja molekyylien kemiassa akustisten aaltojohtimien esteisiin. Näillä värähtelyillä on taajuuksia, ja asia on päättää, milloin tällaisia ​​paikallisia tärinöitä esiintyy , ja miten taajuuksia lasketaan. Tämä on hyvin monimutkainen ongelma, koska jokaisella esineellä on paitsi perusäänet myös monimutkainen sarja sävyjä, jotka vaihtelevat radikaalisti kehosta toiseen. "
7. (in) Nicholas Young , Johdatus Hilbertin avaruus , UPC , 1988, 239  Sivumäärä ( ISBN  978-0-521-33717-5 , lue verkossa ) , s.  3
8. (en) Jean-Luc Dorier , Lineaarisen algebran opetuksesta , Kluwer al.  "Mathematics Education Library" ( n o  23), 2000, 290  Sivumäärä ( ISBN  978-0-7923-6539-6 , lue verkossa ) , s.  50
9. Vrt. (En) Matematiikan ja fysiikan spektrit , kirjoittanut Jean Mawhin , s. 4 ja 10-11.
10. (en) Edgar Raymond Lorch , Spectral Theory , oppikirjojen kustantajat, 2003( 1 st  ed. , 1962, Oxford), 158  s. ( ISBN  978-0-7581-7156-6 ) , s.  89
11. Nuori 1988 , s.  81
12. (sisään) Helmut H.Schaefer (from) ja Manfred PH Wolff , Topological Vector Spaces , Springer al.  "GTM" ( n o  3)  1999, 2 nd  ed. , 366  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-94823-2 ) , s.  36
13. (in) Dmitrii Petrovitsh Zhelobenko , johtava rakenteet ja menetelmät esitysteoria , AMS , 2006, 430  Sivumäärä ( ISBN  978-0-8218-3731-3 , lue verkossa )
14. Lorch 2003 , s.  57, c. III: Hilbert Space
15. Lorch 2003 , s.  106 ja sitä seuraavat kappaleet. V: Itseliittyvien muutosten rakenne
16. (in) Bernard Friedman , periaatteet ja tekniikat sovelletun matematiikan , Dover , 1990( 1 st  ed. 1956, Wiley), 315  s. ( ISBN  978-0-486-66444-6 , luettu verkossa ) , s.  26
17. (in) PAM Dirac , kvanttimekaniikan periaatteet , OUP , yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, 4 th  ed. , 314  Sivumäärä ( ISBN  978-0-19-852011-5 , lue verkossa ) , s.  29 ja sitä seuraavat
18. (in) Jürgen Audretsch , Entangled käyttöjärjestelmät: New Directions kvanttifysiikan , Weinheim, Wiley-VCH , 2007, 338  Sivumäärä ( ISBN  978-3-527-40684-5 ja 3-527-40684-0 , lue verkossa ) , luku .  1.1.2 (”Lineaariset operaattorit Hilbert-avaruudessa”) , s.  5
19. (sisään) RA Howland , Intermediate Dynamics: Linear Algebraic Approach , Birkhäuser , 2006, 2 nd  ed. , 542  Sivumäärä ( ISBN  0-387-28059-6 ) , s.  69 ja sitä seuraavat
20. Friedman 1990 , s.  57, c. 2: Operaattoreiden spektriteoria
21. Katso Diracin 1981 keskustelu ja (en) Milan Vujičić , Linear Algebra Thorlyly Explained , Springer,2008, 288  Sivumäärä ( ISBN  978-3-540-74637-9 ja 3-540-74637-4 ) , s.  274
22. Katso
    • von Neumannin perusteksti 1996 ,
    • (en) Arch W. Naylor ja George R. Sell , tekniikan ja tieteen lineaarinen operaattoriteoria , Springer, coll.  "Applied Matemaattinen Science" ( n o  40)2000, 624  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-95001-3 , lue verkossa ) , luku .  5 ("Osa B: Spektri") , s.  401,
    • (en) Steven Roman , Advanced Linear Algebra , Springer, kokoonpano  "GTM" ( n o  135)2005, 2 nd  ed. , 482  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-24766-3 , lue verkossa ) ja
    • (en) I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ , Laajennukset itseoperaattoreiden ominaisfunktioissa , AMS, coll.  "Käännökset Matemaattinen Monographs" ( n o  17)1968( ISBN  978-0-8218-1567-0 , lue verkossa )
23. Katso esimerkiksi (in) Gerald B. Folland  (in) , Fourier-analyysi ja sen sovellukset , AMS,2009( 1 st  ed. 1992 Wadsworth & Brooks / Cole), 433  s. ( ISBN  978-0-8218-4790-9 , lue verkossa ) , "Lähentyminen ja täydellisyys" , s.  77 ja sitä seuraavat
24. Dirac 1981 , s.  65 ja sitä seuraavat
25. Dirac 1981 , s.  60 ja sitä seuraavat
26. Friedman 1990 , s.  214, yht. 2.14
27. Katso esimerkiksi (in) Sadri Hassani , Matemaattinen fysiikka: Moderni esittely icts-säätiöille , Springer,1999, 1026  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-98579-4 , lue verkossa ) , luku .  20 (“Greenin toiminnot yhdessä ulottuvuudessa”) , s.  553 ja sitä seuraavatja (en) Qing-Hua Qin , Greenin monitoimimateriaalien toiminta- ja rajaelementit , Elsevier ,2007, 254  Sivumäärä ( ISBN  978-0-08-045134-3 , lue verkossa )

Viitteet

• Pierre Lévy-Bruhl: Johdatus spektriteoriaan. Dunod, Pariisi, 2003
• (en) Edward Brian Davies , Spectral Theory and Differential Operators , CUP, ko .  "Cambridge Studies in Advanced Mathematics" ( n o  42),1996( ISBN  0-521-58710-7 , lue verkossa )
• (en) Nelson Dunford ja Jacob T. Schwartz , lineaariset operaattorit, spektriteoria, itsenäiset operaattorit Hilbert-avaruudessa (osa 2) , Wiley ,1988( 1 st  ed. 1967), 1088  s. ( ISBN  978-0-471-60847-9 )
• (en) Nelson Dunford ja Jacob T.Schwartz , lineaariset operaattorit: spektrioperaattorit (osa 3) , Wiley ,1988( 1 st  ed. 1971), 688  s. ( ISBN  978-0-471-60846-2 )
• (en) ”Lineaaristen operaattoreiden spektriteoria ” , julkaisussa Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , lue verkossa )
• (en) Shmuel Kantorovitz , Banachin avaruusoperaattoreiden spektriteoria , Springer,1983
• (en) Gerald Teschl , matemaattiset menetelmät kvanttimekaniikassa: sovelluksilla Schrödinger-operaattoreille , Providence, RI, AMS,2009, 305  Sivumäärä ( ISBN  978-0-8218-4660-5 , lue verkossa )

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Omaarvo, ominaisvektori ja eigensatila
• Lineaarisen operaattorin spektri , resolventti
• Spektrin geometria , spektrisäde , spektrilause
• Itseavustaja , toiminnallinen laskenta
• Sturm-Liouville-teoria , integraaliyhtälö , Fredholmin integraaliyhtälö
• Kompakti käyttäjä

Ulkoiset linkit

• (en) Evans M.Harrell II: Lyhyt historia operaattoriteoriasta ( lue verkossa )
• (en) Gregory H. Moore, "  Lineaarisen algebran axiomatization: 1875-1940  " , Historia Mathematica , voi.  22,1995, s.  262-303 ( DOI  10.1006 / hmat.1995.1025 , lue verkossa ) [PDF]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">