In algebran , muodollinen sarja on yleistys polynomien jolloin ääretön summia, samalla tavalla kuin analyysi , kokonaisluku sarja yleistää polynomifunktiot , paitsi että algebrallinen puitteissa, lähentymisen ongelmat vältetään ad hoc määritelmiä . Nämä kohteet ovat hyödyllisiä sekvenssien lyhyessä kuvauksessa ja kaavojen löytämisessä sekvensseille, jotka määritetään induktiolla ns. Generoivien sarjojen kautta .
Olkoon R olla kommutatiivinen ( yhtenäinen ) rengas . Rengas R [[ X ]] muodollista sarjan yli R käytettäessä määrittelemätön X on Abelin ryhmä ( R N , +) ja sekvenssejä , joissa arvot R , jolla on tietty sisäinen kertolasku lakia . Tarkemmin :
(se on eräänlainen erillinen konvoluutiotuote ).
Nämä kaksi operaatiota tekevät R [[ X ]]: sta kommutatiivisen renkaan.
Topologia on R [[ X ]] hienoimpia miksi riippumatta kertoimet n vuonna R , on topologia tuotettu on R N , jossa R on varustettuja erillisten topologia .
Rakentamisen mukaan tämä tila on:
Tunnustamme etäisyys on topologia I -adic missä I = ( X ) on ihanteellinen kerrannaisia X . Se tekee R [[ X ]]: stä topologisen renkaan (jos K on kommutatiivinen kenttä, K (( X )) on myös varustettu topologisella kenttärakenteella ).
Näin ollen, omaisuutta, joka motivoi valinta topologia on yleistetty a sarja , jolla on yleinen termi f n suppenee on R [[ X ]], jos ja vain jos jostain luonnollinen luku N , lähes kaikki muodolliset sarja f n (au merkitys: kaikki paitsi rajallinen luku ) ovat X N: n kerrannaisia . Lisäksi sarjan kaikki uudelleenjärjestelyt yhtyvät sitten kohti samaa rajaa.
Analyysissä konvergentti koko sarja määrittää funktion, jolla on todelliset tai monimutkaiset arvot . Muodolliset sarjat voidaan nähdä myös toimintoina, joiden alku- ja loppusarjoja on käsiteltävä varovasti. Jos f = Σ n X n on osa R [[ X ]], S kommutatiivinen ja assosiatiivinen algebra R , I ihanne S siten, että minä -adic topologia on S on valmis, ja x elementti Minä , sitten on mahdollista määritellä:
Tämä sarja lähentyy S : ään x: n oletuksen ansiosta . Lisäksi:
ja
Nämä kaavat eivät kuitenkaan ole määritelmiä, ja ne on osoitettava.
Koska R [[ X ]]: n päällä oleva topologia on ( X ) -adinen topologia ja R [[ X ]] on täydellinen, on mahdollista soveltaa muodollista sarjaa toiseen muodolliseen sarjaan edellyttäen, että argumenteilla n 'ei ole vakioita kerroin: f (0), f ( X 2 - X ) ja f ((1 - X ) -1 - 1) on määritelty hyvin kaikille muodollisille sarjoille f ∈ R [[ X ]].
Tällä formalismilla voimme antaa eksplisiittisen kaavan käänteiselle (multiplikatiivisessa mielessä) muodolliselle sarjalle f, jonka vakiokerroin a = f (0) on käänteinen R : ssä:
Jos muodollinen sarja g, jossa g (0) = 0, annetaan implisiittisesti yhtälöllä
jossa f on tunnettu kokonaislukusarja, joka tyydyttää f (0) = 0, niin g: n kertoimet voidaan laskea nimenomaisesti Lagrangen inversiolauseen avulla .
Jos f = Σ n X n on osa R [[ X ]], määritellään sen virallisen johdannaisen avulla operaattori D on määritelty
Tämä operaatio on R - lineaarinen :
ja , b on R ja f , g on R [[ X ]].
Monet funktionaalisen johdannan ominaisuudet pätevät muodollisten sarjojen johtamiseen. Esimerkiksi tuotteen johdantosääntö on kelvollinen:
sekä yhdisteen johtamisen sääntö:
Tavallaan kaikki muodolliset sarjan Taylorin sarja , sillä jos f = Σ n X n , kirjoittaminen D k koska k- nnen muodollisen johdannainen, huomaamme, että
Voidaan myös määritellä johdon formaalisille Laurent-sarjoille luonnollisella tavalla, ja tällöin osamissääntö on voimassa myös yllä lueteltujen sääntöjen lisäksi.
Nopein tapa määritellä renkaan R [[ X 1 , ..., X r ]] muodollisen sarja R on r muuttujien alkaa rengas S = R [ X 1 , ..., X r ] polynomien on R . Olkoon I olla ihanteellinen S syntyy X 1 , ..., X r ; tarkastele sitten I- adic- topologiaa S: llä ja täydennä se (en) . Tämän seurauksena viimeistely on valmis topologinen rengas, joka sisältää S , ja joka on merkitty R [[ X 1 , ..., X r ]].
Jos n = ( n 1 ,…, n r ) ∈ N r , kirjoitamme X n = X 1 n 1 … X r n r . Sitten R: n [[ X 1 ,…, X r ]] jokainen elementti kirjoitetaan yksilöllisesti summana seuraavasti:
Nämä summat lähestyvät mitä tahansa kertoimien a n ∈ R valintaa, ja järjestyksellä, jossa elementit summataan, ei ole merkitystä.
Topologia on R [[ X 1 , ..., X r ]] on J -adic topologia , jossa J on ihanteellinen R [[ X 1 , ..., X r ]] syntyy X 1 , ..., X r ( eli J koostuu sarjoista, joiden vakiokerroin on nolla).
Koska R [[ X 1 ,…, X r ]] on kommutatiivinen rengas, voimme määrittää sen muodollisen sarjan renkaan, jota merkitään R [[ X 1 ,…, X r ]]. Tämä rengas on luonnollisesti isomorfinen renkaan R [[ X 1 , ..., X r ]] edellä on määritelty, mutta nämä renkaat ovat topologisesti eri.
Jos R on pää, niin R [[ X 1 ,…, X r ]] on tekijä .
Yhden muuttujan muodollisten sarjojen osalta voidaan "soveltaa" useita muuttujia sisältävää muodollista sarjaa toiseen muodolliseen sarjaan edellyttäen, että sen vakiokerroin a (0,…, 0) on nolla. Näistä muodollisista sarjoista on myös mahdollista määritellä osittaiset johdannaiset. Osittaiset johdannaiset kulkevat samalla tavalla kuin jatkuvasti erilaistuvat toiminnot.
Voimme käyttää muodollisia sarjoja todistamaan joidenkin klassisten analyysien puhtaasti algebrallisen osan. Esimerkiksi muodolliset sarjat ( järkevillä kertoimilla ) varmista (viimeinen lauseke määritetään renkaassa Q [[ X, Y ]].
Useat menetelmät ( katso yksityiskohtainen artikkeli) mahdollistavat sekvenssin esittämisen muodollisella sarjalla ja selittävät sekvenssin ehdot (tai ainakin tiedot sen käyttäytymisestä) liittyvän sarjan laskelmista.
Muodollisen sarjan R [[ X 1 ,…, X r ]] renkaalla on seuraava universaali ominaisuus :
silloin on olemassa ainutlaatuinen kartta Φ: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S todentaminen
Olkoon G olla täysin järjestetty Abelin ryhmä .
Voimme sitten muodostaa joukon R (( G )) summista
on osajoukkoja hallittu I on G , ja jossa i ovat elementtejä R . Tällainen summa on nolla, jos kaikki a i ovat nollia. Formaalisemmin ne ovat karttoja G on R kanssa hyvin järjestettyä tukea .
Sitten R (( G )) on kommutatiivinen rengas, jota kutsutaan muodollisen sarjan renkaaksi yleistetyllä G: llä . Ehto, jonka mukaan summat liittyvät hyvin järjestettyihin osajoukkoihin I, varmistaa, että tuote on hyvin määritelty.
Jos R on kenttä ja jos G on suhteellisten kokonaislukujen ryhmä, löydämme Laurentin muodollisen sarjan.
R: n erilaiset ominaisuudet voivat siirtyä ryhmään R (( G )).
Jos R on kenttä, niin on myös R (( G )). Jos R on järjestetty kenttä , voimme määritellä R: ssä (( G )) järjestyssuhteen osoittamalla kullekin sarjalle sen hallitsevan kertoimen merkin: pienimpään i liittyvän kertoimen siten, että a i ei ole nolla. Jos G on jaettavissa ryhmä ja R suljetun todellinen kenttä niin se on sama R (( G )) Lopuksi, jos G on jaettava ryhmä ja R on algebrallisesti suljettu kenttä, se on sama R: lle (( G ))Tämän teorian on kehittänyt itävaltalainen matemaatikko Hans Hahn