Symmetriaryhmä

Symmetria ryhmä objektin ( kuva , signaali , jne.) On ryhmä kaikista isometries , joiden mukaisesti tämä kohde on maailmanlaajuisesti invariantti , joka koskee tämän ryhmän ollessa koostumus . Se on alaryhmä on Euclidean ryhmä , joka on ryhmän isometries että ympäristön euklidisen affine tilaa .

(Ellei toisin mainita, tarkastellaan tässä symmetriaryhmiä euklidisessa geometriassa , mutta käsitettä voidaan tutkia myös laajemmissa yhteyksissä, katso alla .)

"Objektit" voivat olla geometrisia hahmoja, kuvia ja kuvioita, kuten tapettikuvioita . Määritelmä voidaan täsmentää määrittelemällä, mitä kuvalla tai kuviolla tarkoitetaan, esimerkiksi sijaintifunktio, jonka arvot ovat väreissä. Esimerkiksi 3D-kappaleiden symmetrian suhteen voidaan haluta ottaa huomioon myös fyysinen koostumus. Avaruuden isometriaryhmä indusoi ryhmätoiminnan sen sisältämissä kohteissa.

Symmetriaryhmää kutsutaan joskus täydeksi symmetriaryhmäksi korostamaan, että se sisältää isometriat, jotka kääntävät suunnan (kuten heijastukset , liukastuneet heijastukset ja väärät pyöritykset ), joiden alla kuva on invariantti. Alaryhmä on isometries joka säilyttää suunta (eli käännökset , kierrosten ja niiden koostumuksia), ja joka jättää kuviossa muuttumattoman kutsutaan sen oikea symmetria ryhmä . Kohteen oikea symmetriaryhmä on yhtä suuri kuin sen koko symmetriaryhmä vain ja vain, jos kohde on kiraalinen (ja siten ei ole isometrioita, jotka kääntäisivät suunnan, jonka alla se on invariantti).

Mikä tahansa symmetriaryhmä, jonka elementeillä on yhteinen kiinteä piste , mikä pätee kaikkiin rajattujen kuvien symmetriaryhmiin, voidaan esittää ortogonaalisen ryhmän O (n) alaryhmänä valitsemalla kiinteä piste alkuperäksi. Oikea symmetriaryhmä on sitten ortogonaalisen erikoisryhmän SO (n) alaryhmä, minkä vuoksi sitä kutsutaan myös kuvan pyörimisryhmäksi .

On olemassa kolmenlaisia erillisten symmetria ryhmien :

• symmetriapisteen ryhmien valmis, joka sisältää ainoastaan kierrosta, heijastuksia, inversiot ja kierrot kelpaamattomiksi -, jotka ovat itse asiassa vain päättynyt alaryhmissä O (n),
• ääretön verkko ryhmiä , jotka sisältävät vain käännöksiä, ja
• tila ryhmät infinities että yhdistää elementtejä sekä edellisen tyyppejä, ja se voi myös sisältää muita muutoksia, kuten pulteilla tai liu'utetaan heijastuksia.

On myös jatkuvia symmetriaryhmiä  (en) , jotka sisältävät mielivaltaisesti pienten kulmien kiertoja tai mielivaltaisesti pienten etäisyyksien käännöksiä. Pallo kaikkien symmetrioiden ryhmä O (3) on esimerkki tästä, ja yleensä tällaisia ​​jatkuvien symmetrioiden ryhmiä tutkitaan Lie-ryhminä .

Euklidisen ryhmän alaryhmien luokittelu vastaa symmetriaryhmien luokitusta.

Sanomme, että kaksi geometrinen luvut on samantyyppinen symmetria jos niiden symmetria ryhmien H 1 , H 2 ovat konjugaatti alaryhmiä euklidisen ryhmän E ( n ), eli jos on olemassa isometria g on R n siten, että H 1 = g -1 H 2 g . Esimerkiksi :

• kahdella 3D-kuvalla on peilisymmetria, mutta suhteessa eri peilitasoon;
• kahdella 3D-kuvalla on kiertosymmetria järjestyksessä 3, mutta suhteessa eri akseliin;
• kahdella 2D-kuviolla on translaatio-symmetria, kukin yhteen suuntaan; kahdella translaatiovektorilla on sama pituus, mutta eri suunta.

Joskus käytetään laajempaa käsitettä, "samanlainen symmetria", esimerkiksi kaikissa 17 tapettiryhmässä .

Kun tarkastelemme isometrisiä ryhmiä, voimme rajoittua niihin, joissa kaikkien pisteiden kohdalla isometrian alla oleva kuvajoukko on topologisesti suljettu . Tämä sulkee pois esimerkiksi dimensiossa 1 käännösten ryhmän rationaaliluvulla. "Hahmoa", jolla on tämä symmetriaryhmä, on mahdotonta piirtää ja se on homogeeninen mielivaltaisella yksityiskohtien tasolla olematta todella homogeeninen.

Ulottuvuus 1

Dimensiossa 1 olevat isometriat, joissa kaikkien pisteiden kohdalla isometrian alla oleva kuvajoukko on topologisesti suljettu, ovat:

• triviaali ryhmä C 1
• keskiosan muodostaman kahden elementin ryhmät  ; ne ovat isomorfinen syklisen ryhmän järjestyksessä 2, C 2
• käännöksen muodostamat äärettömät erilliset ryhmät; ne ovat isomorfisia loputtomalle sykliselle ryhmälle Z
• Translaation ja keskeisen symmetrian tuottamat äärettömät erilliset ryhmät; ne ovat isomorfinen yleistynyt dihedraaliseen ryhmä ja Z , Dih ( Z ), tai suoremmin ääretön dihedral ryhmä D ∞ (joka on osittain suora tuote on Z , jonka C- 2 ).
• Kaikkien käännösten tuottama ryhmä (isomorfinen R: lle ); tämä ryhmä ei voi olla "kuvion" symmetriaryhmä: se olisi homogeeninen, joten se voisi myös heijastua. Kuitenkin yhtenäinen yksiulotteinen vektorikenttä on tämä symmetria ryhmä.
• Kaikkien käännösten ja pohdintojen tuottama ryhmä kaikissa pisteissä; se on isomorfinen R: n yleistetylle dihedraaliryhmälle Dih ( R ).

Ulottuvuus 2

Konjugaatiota lukuun ottamatta erilliset pisteryhmät kaksiulotteisessa tilassa kuuluvat seuraaviin luokkiin:

• syklisiä ryhmiä C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , jne. missä C n koostuu kaikista kiertoista kiinteän pisteen ympäri kulman 360 ° / n kerrannaisina
• dihedral ryhmät D 1 , D 2 , D 3 , D- 4 , jne. missä D n (järjestyksessä 2 n ) on säännöllisen monikulmion symmetriaryhmä, jossa on n sivua. Se koostuu rotaatioiden kuuluvat C n ja n symmetrian suhteen akselit , jotka kulkevat keskelle Yhteistä näille kierrosta.

C 1 on triviaali ryhmä, joka sisältää vain identiteetin toimenpide, joka tulee näkyviin, kun kuvassa ei ole symmetria lainkaan, esimerkiksi kirjain F . C 2 on symmetria ryhmä kirjain Z , C 3 , että on triskele , C- 4 on hakaristi ja C- 5 , C 6 jne. ovat symmetrianumeroryhmiä, jotka muistuttavat hakaristiä viidellä, kuudella jne. käsivarret neljän sijasta.

D 1 on ryhmä 2 sisältävien elementtien identiteetin ja yhden heijastus operaatio, joka tulee näkyviin, kun kuvassa on vain yksi akseli kahdenkeskinen symmetria , esimerkiksi kirjain . D 2 , joka on isomorfinen Klein-ryhmälle , on ei-neliön muotoisen suorakulmion symmetriaryhmä.

Kummassakin tapauksessa konkreettisilla symmetriaryhmillä on kaksi vapausastetta kiertokeskipisteen suhteen, ja kaksisuuntaisten ryhmien tapauksessa vielä yksi peiliasentoihin nähden.

Loput 2D: n isometriset ryhmät, joissa on kiinteä piste, jossa kaikkien pisteiden kohdalla isometrian alla oleva kuvajoukko on topologisesti suljettu, ovat:

• erityinen ortogonaalisen ryhmän SO (2), joka koostuu kaikkien kierrosten ympäri kiinteän pisteen; se on isomorfinen ympyrän ryhmä S 1 , joka on multiplikatiivisessa ryhmä kompleksiluvut on moduuli 1. Se on oikea symmetria ryhmä ympyrän ja jatkuva vastaa C n . Yhdelläkään kuvalla ei ole tätä ympyräryhmää täydellisenä symmetriaryhmänä , mutta vektorikentän kohdalla tämä voi tapahtua (katso alla olevaa 3D-tapausta),
• ortogonaalisen ryhmä O (2), joka koostuu kaikkien kierrosten ympäri kiinteän pisteen ja heijastuksia minkä tahansa akselin kautta kulkevan tässä vaiheessa. Se on ympyrän symmetriaryhmä. Sitä kutsutaan myös Dih (S 1 ), koska se on yleinen dihedraaliseen ryhmä S 1 .

Rajoittamattomien lukujen osalta muut isometriset ryhmät voivat sisältää käännöksiä; suljetut ovat:

• 7 friisiryhmää ,
• 17 tapettiryhmää ,
• kullekin 1D: n symmetriaryhmälle tämän ryhmän kaikkien symmetrioiden yhteen suuntaan ja kaikkien kohtisuorassa olevien käännösten yhdistelmä,
• sama lisäämällä heijastukset akselin suhteen ensimmäiseen suuntaan.

Ulottuvuus 3

Konjugaatiota lukuun ottamatta 3D- symmetrian pisteryhmät (katso artikkeli: Symmetrian pisteryhmät ulottuvuudessa 3  (in) ) koostuvat 7 loputtomasta sarjasta ja 7 erillisestä. Kristallografiassa niiden on rajoitettu olevan yhteensopivia kideverkon diskreettien translaatio-symmetrioiden kanssa. Tämä yleisten pisteryhmien äärettömän perheen kristallografinen rajoitus johtaa 32 kristallografiseen pisteryhmään (27 seitsemästä äärettömästä sarjasta ja 5 seitsemästä muusta).

Jatkuvien symmetristen pisteiden ryhmät sisältävät:

• Sylinterimäinen symmetria ilman heijastusta akseliin nähden kohtisuorasta tasosta, tämä pätee usein esimerkiksi pulloon .
• sylinterimäinen symmetria, jossa heijastuu akseliin kohtisuorassa oleva taso
• pallomainen symmetria

Kohteille ja skalaarikentille sylinterimäinen symmetria merkitsee pystysuuntaisia ​​heijastustasoja. Tämä ei päde vektorikenttiin  : sylinterimäisissä koordinaateissa suhteessa tiettyyn akseliin on sylinterimäinen symmetria tähän akseliin nähden ja vain, jos ja jos tämä symmetria eli ei riipu φ: stä. On myös jos ja vain jos pohdintaa . AT=ATρρ^+ATφφ^+ATzz^{\ displaystyle \ mathbf {A} = A _ {\ rho} {\ lihavoitu symboli {\ hattu {\ rho}}} + A _ {\ varphi} {\ lihavoitu symboli {\ hattu {\ varphi}}} + A_ {z } {\ lihavoitu symboli {\ hat {z}}}}ATρ,ATφ,{\ displaystyle A _ {\ rho}, A _ {\ varphi},}ATz{\ displaystyle A_ {z}}ATφ=0{\ displaystyle A _ {\ varphi} = 0}

Pallosymmetrialla ei ole tällaista eroa, se tarkoittaa heijastustasoja.

Jatkuvat symmetriaryhmät, joissa ei ole kiinteää pistettä, sisältävät ruuviliitännällä varustetut ryhmät , kuten äärettömän kierteen ryhmän .

Yleistys

Suuremmissa yhteyksissä symmetriaryhmä voi olla mikä tahansa transformaatioryhmä tai automorfismiryhmä . Kun tiedämme millaista matemaattista rakennetta olemme tekemisissä, voimme määrittää, mitkä sovellukset säilyttävät sen. Päinvastoin, määrittämällä symmetria, voimme määritellä rakenteen tai ainakin selventää mitä tarkoitamme invariantilla , geometrisella kielellä, joka mahdollistaa sen ymmärtämisen; se on yksi tapa nähdä Erlangen-ohjelma .

Esimerkiksi joidenkin äärellisten geometriamallien  (en) automorfismiryhmät eivät ole "symmetriaryhmiä" tavallisessa mielessä, vaikka ne säilyttävätkin symmetrian. He tekevät tämän pitämällä pistejoukkojen perheet pikemminkin kuin itse pistejoukot tai "esineet".

Kuten edellä, avaruuden automorfismiryhmä indusoi ryhmätoiminnan sen sisältämiin kohteisiin.

Tietyn geometrisen hahmon tietyssä geometrisessa tilassa tarkastelemme seuraavaa ekvivalenssisuhdetta: kaksi avaruuden automorfismia ovat samanarvoisia, jos kuvan kaksi kuvaa ovat samat (tässä "sama" ei tarkoita jotain "samaa" yhdelle käännökselle ja yhdelle kierrokselle ", mutta tarkoittaa" täsmälleen samaa "). Sitten identiteetin ekvivalenssiluokka on kuvan symmetriaryhmä ja kukin ekvivalenssiluokka vastaa kuvan isomorfista versiota.

Kahden ekvivalenssiluokan välillä on bijection: ensimmäisen ekvivalenssiluokan edustajan käänteinen muoto, jonka koostuu toisen edustajan edustaja.

Koko avaruuden äärellisen automorfismiryhmän tapauksessa sen järjestys on kuvan symmetriaryhmän järjestys kerrottuna kuvan isomorfisten versioiden määrällä.

Esimerkkejä:

• Euklidisen tason isometriat, kuvio on suorakulmio: ekvivalenssiluokkia on ääretön; kukin sisältää 4 isometriaa.
• Avaruus on kuutio, jossa on euklidinen metriikka, luvuissa on saman kokoiset kuutiot kuin avaruus, väreillä tai kuvioilla kasvot, avaruuden automorfismit ovat 48 isometriaa; kuvio on kuutio, jonka kasvot ovat eri väriä, sen symmetriaryhmä sisältää 8 isometriaa; Kuvassa on 6 ekvivalenssiluokkaa, joissa on 8 isometriaa, 6 isomorfiselle versiolle.

Huomautuksia

1. Katsaus 32 kristallografisessa pisteryhmät on Exeterin yliopisto sivuston
2. (in) Steven H. Cullinane, kuvioryhmää sivustosta finitegeometry.org
3. Vertaa Lagrangen lauseeseen

• (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Symmetry group  " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Katso myös

• Symmetrinen ryhmä ja permutaatio
• Ryhmittelee kiinteät isometrian pisteet Euklidisen avaruudessa  (sisään)
• Kristallijärjestelmä
• Luettelo avaruusryhmistä
• Luettelo koneen symmetriaryhmistä
• Ryhmäteoria
• Molekyylisymmetria

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">