Ulottuvuusanalyysi

Kolmiulotteinen analyysi on kätevä tapa tarkistaa homogeenisuuden , jolla on kaava fyysisen kautta yhtälöitä mitat , toisin sanoen hajoaminen fyysisten määrien se edellyttää on tuotteiden määrät perusteella: pituus , kesto , massa , sähkö- intensiteetti , jne. , lukukelvoton toisilleen.

Dimensioanalyysi perustuu siihen, että voimme verrata tai lisätä vain saman ulottuvuuden suuruuksia; voidaan lisätä yksi pituus toiseen, mutta ei voida sanoa, että se on suurempi tai pienempi kuin massa. Intuitiivisesti fyysinen laki ei voi muuttua paitsi vakioidensa numeerisessa arvossa siitä yksinkertaisesta syystä, että se ilmaistaan muissa yksiköissä. Vaschy-Buckinghamin teoreema osoittaa tämän matemaattisesti.

Vuonna perustavanlaatuinen fysiikan , kolmiulotteinen analyysi mahdollistaa määrittää etukäteen muodossa yhtälö oletukset määristä, jotka sääntelevät tilan fyysinen järjestelmä , ennen täydellisempi teoria vahvistetaan nämä hypoteesit. In Applied Science , se on perusteella malli , jonka malli ja tutkimus mittakaavavaikutukset .

Sovellukset

Kolmiulotteinen analyysi voi löytää sovelluksia monia ongelmia, erityisesti sen määrittämiseksi, dimensioton numeroita mukana fysikaalisia ilmiöitä, joita käytetään mallintamaan ilmiötä malleja , tai määrittää ennalta mittakaavassa vaikutuksia . Se löytyy esimerkiksi seuraavilta alueilta:

aerodynamiikkaa varten aerodynaamisten ominaisuuksien ilma-aluksen, ja yleisemmin käyttäytymistä elimistöstä nesteen liikkeen (optimointi riippusiltojen);
virtausvastus ja paineen pudotus nesteen virtauksessa putkien läpi;
aaltojen muodostuminen ja eteneminen eri rajapinnoissa;
lämmön diffuusio ja kuljetus;
detoniikka , tutkimusräjähdykset ja niiden vaikutukset;
testimateriaalin lujuus- ja törmäystestit;
maanjäristysten vaikutusten mallintaminen (esim. kerrostaloja varten);
ikääntyminen ja laskeutuminen maaperään rakennusten perustusten tai maanvyörymien ja lumivyöryjen tutkimista varten;
kanavien hydrauliikka, sedimenttien kulkeutuminen jokiin;
vuonna lääketieteen ja biologian , mittakaava vaikutus bioniikka , kehittämiseen verenkierron tai kasvien kasvua.

Näiden ilmiöiden ulottuvuusanalyysi tarjoaa hyödyllisiä suhteellisuussääntöjä . Sen avulla voidaan määrittää kokeellisten mallien kalibrointi ja ohjata variaatiotutkimuksia. Monissa tapauksissa se auttaa tunnistamaan toiminnalliset riippuvuudet. Joka tapauksessa se auttaa ymmärtämään ongelmaa paremmin.

Ulottuvuusanalyysi on luonnollisten yksikköjen järjestelmien perusta .

Mitat, yksiköt ja mitat

Homogeeniset kaavat

Fyysisessä kaavassa läsnä olevat muuttujat eivät ole "vain" lukuja, vaan ne edustavat fyysisiä määriä.

Fyysinen määrä on mitattava parametri, jota käytetään tilan, objektin määrittelemiseen. Esimerkiksi pituus, lämpötila , energia , nopeus , paine, voima (kuten paino ), inertia (massa), aineen määrä ( moolien lukumäärä )… ovat fyysisiä määriä. Fyysinen mittaus ilmaisee arvon fysikaalisen suureen sen suhteen vakiomäärä samanlaista otetaan referenssiksi mittayksikkö ( vakio tai yksikkö).

Suuruus ilmaistaan sitten järkevällä luvulla kertomalla mittayksikkö. Siksi fyysisten suureiden väliset operaatiot eivät liity vain lukuihin, vaan myös yksikköihin. Nämä fyysisissä kaavoissa esiintyvät yksiköt rajoittavat muotoa, jonka nämä kaavat voivat saada, koska tietyt mahdolliset operaatiot yksinkertaisilla numeroilla tulevat mahdottomiksi, kun nämä numerot liitetään yksiköihin. Nämä rajoitteet tekevät fyysisestä kaavasta "homogeenisen":

kertolasku (tai jako) on mahdollista kaikkien yksiköiden välillä tai ulottumattomilla vakioilla, mutta se on käytännössä ainoa rajoituksetta sallittu toiminto; fyysisten suuruuksien kertominen tai jakaminen on myös mahdollista, ja se liittyy sekä numeerisiin arvoihin että näiden suuruuksien yksikköihin;
erilaisten fyysisten määrien lisääminen (tai vähentäminen) ei ole järkevää; samanluonteisten fyysisten määrien lisääminen tai vähentäminen on mahdollista edellyttäen, että ne ilmaistaan samalla yksiköllä (vrt. seuraava osa);
Lukuun ottamatta korottamista voimaksi (kertolaskujen ja jakamisen yleistäminen), matemaattinen funktio (kuten sini tai eksponentti ) voi liittyä vain "puhtaisiin" lukuihin ilman ulottuvuutta.

Tällainen ohjaus voidaan automatisoida. Jo vuonna 1976 Michel Sintzoff huomasi, että fysiikan laskentaohjelmien luotettavuutta voidaan vahvistaa julistamalla fyysiset muuttujat sellaisiksi ja koodaamalla niiden ulottuvuus sen jälkeen eksponentteihin, jotka liittyvät kiinteään järjestykseen otettuihin perusulottuvuuksiin . Sitten on mahdollista tarkistaa niiden ulottuvuus homogeenisuudesta kokoamisen aikana symbolisella arvioinnilla . Tätä varten huomaamme erityisesti, että:

eri suuruuksien mitat muodostavat kerrannaisryhmän , jolla on perusmitat generaattoreina;
summaaminen, vähennyslasku, yhdistelmät min / max, suuruuksien määritys oletetaan saman mitan operandeista ja tuloksista;
kahden määrän tuloksen (vastaavasti osamäärän) ulottuvuus on niiden mittojen tulo (vastaava osamäärä).

Samanlaisia yksiköitä

Jos yksiköiden lisääminen ei ole järkevää, samanluonteisten fyysisten määrien lisäys on edelleen mahdollista sillä edellytyksellä, että ne tuodaan takaisin yhteiseen yksikköön.

Esimerkki:

On mahdollista lisätä kaksi kestoa, toinen kahdesta tunnista ja toinen kymmenestä minuutista, vaikka nämä kaksi yksikköä ovat erilaisia. Mutta tässä tapauksessa tulos ei selvästikään ole "kaksi plus kymmenen on yhtä kuin kaksitoista", pidättäen numeroita huomiotta. Tunnit on ensin käännettävä minuutteihin (1 h = 60 min ):

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ \ mathrm {h} \ kertaa 60 \ {\ frac {\ mathrm {min}} {\ mathrm {h}}} +10 \ \ mathrm {min} = 130 \ \ mathrm {min}}

Tai vastaavalla tavalla voimme muuntaa minuutit tunteiksi ennen kuin voimme lisätä ne yhteen:

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} \ kertaa 1/60 \ {\ frac {\ mathrm {h }} {\ mathrm {min}}} = 2 + 10/60 \ \ mathrm {h} = 2,1666 ... \ \ mathrm {h}}

Ensimmäisessä tapauksessa olemme yksinkertaistaneet tunnissa olevat tunnit nimittäjässä olevien tuntien suhteen saadaksemme enemmän kuin minuutit osoittajassa, ja toisessa olemme yksinkertaistaneet osoittajan minuutteja nimittäjän minuutteina pitääkseen vain tuntia laskimessa.

Fyysinen mittayksikkö on yksikköön liittyvä luku, ja toisaalta meillä on kaksi (eri) yksikköön liittyvää numeroa ja toisaalta tulos yksikköön liittyvä luku.

Sikäli kuin fyysiset suuruudet voivat laillisesti lisääntyä tai jakautua niiden välillä, voimme myös manipuloida niitä muodollisesti kirjaimellisina vakioina ja kirjoittaa edellisen muunnoksen uudestaan seuraavasti:

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ \ mathrm {h} +10 \ \ mathrm {min} = 2 \ kertaa {\ frac {\ mathrm {h}} {\ mathrm {min}}} \ \ mathrm {min} +10 \ \ mathrm {min} = \ vasen (2 kertaa {\ frac {\ mathrm {h}} {\ mathrm {min}}} + 10 \ oikea) \ \ mathrm {min} = \ vasen (2 \ kertaa { \ frac {60} {\ mathrm {1}}} + 10 \ oikea) \ \ mathrm {min} = 130 \ \ mathrm {min}}

Tässä muodossa näemme, että fyysisen lausekkeen uudelleenkirjoittaminen "yksikköön liittyvässä luvussa" näyttää lukupuolella suhde "h / min", joka on tuntien ja minuuttien muuntokerroin , joka toinen yksikkö samalle ulottuvuudelle, ajalle. Kaikki tietysti tietävät, että tämä luku on 60: n arvoinen (tunnissa on 60 minuuttia ja tasa-arvo 1 h = 60 min voidaan kirjoittaa h / min = 60/1), ja siksi voimme korvata h / min arvolla 60/1, koska se on tasa-arvo, mutta tärkeä asia tässä on, että tämä luku on nyt puhdas, ulottumattomuusluku. Tämä on mahdollista vain, koska olennaisesti tunti ja minuutti molemmat kuvaavat kestoa , eli samaa fyysistä määrää, jolla on siten sama ulottuvuus, vaikkakin eri yksiköillä.

Huomaa: Lämpötilojen ”muuntokertoimella” on absoluuttinen vertailuarvo, absoluuttinen nolla . Tavallista lämpötila-asteikko, astetta sekä celsiusta , alkavat eri nollia, niin muuntaminen yhdestä yksiköstä toiseen on affiinimuunnoksella , sen sijaan, että suhteellisuustestiä. Siksi voi olla vain arvokertoimella välillä lämpötilan eroja . Fyysiset kaavat ilmaisevat lämpötilan Kelvineinä .

"Luonto" ja yhtenäisyys

Fyysisen suuruuden anatomia: 1852 m

1,852	Mitattu	Mitattu luku	Suuruuden suhde viitteeseen.
m	Muuntokerroin	Tavanomainen vakioluku	Heijastaa käytännön yhtenäisyyden mielivaltaa.
$L$	Koko	Oma fyysinen luonne	Luonnollinen yksikkö?

"Mittayksikkö" on fyysinen määrä, joka sallii fyysisen mittan arvon ilmaisemisen sen suhteella samanlaiseen vakiomäärään . Siten, jos " tunti " on ajan mittayksikkö, se johtuu siitä, että ajallisia suuruuksia voidaan verrata tiettyyn suuruuteen, joka on "tunti": mikä tahansa fyysinen mittaus arvioi vain ajan. Kahden saman luonteen määrän välinen suhde .

Nämä mittayksiköt ovat itse mitattavia fyysisiä suuruuksia, joten yksikköön liittyvä luku ja "tunnin" tai "minuutin" ottaminen viitteeksi on periaatteessa mielivaltainen valinta. Tämän valinnan mielivaltainen luonne voi olla turhauttavaa, koska siinä ei oteta huomioon yksikön "luonnetta": vaikka mitta on yksikköön liittyvä luku (joka antaa tälle mittaukselle sen luonteen), voimme todellisuudessa vain luoda suhteita ja käyttää ulottumattomia lukuja.

Ajatus luonnollisten yksiköiden järjestelmästä vastaa tähän mielivaltaisen mittausosan eliminointiin: jos on olemassa luonnollinen yksikkö "T", joka voi toimia universaalina referenssinä ajan mittaamiseen, niin minuutti ja tunti voivat voidaan kuvata vastaavasti nT ja kuusikymmentä kertaa nT . Jos yksikkö on luonnollinen, voimme ajatella, että "T" keskittää tämän määrän olemuksen ja on sen luonne, joka saa luvun muuttamaan luonnettaan ja tulemaan fysikaaliseksi mittariksi: mielivaltainen yksikkö, joka päivittäinen käyttö jakautuu siten olennainen fyysinen määrä, joka antaa sille "luonteensa", ja tälle yksikölle ominainen muuntokerroin, joka tukee kaikkea sen mielivaltaa.

Tässä lähestymistavassa fyysisen määrän mittaaminen merkitsee käsitteellisesti kolmea kokonaisuutta: luonnollinen yksikkö, joka antaa mittauksen "luonteen", muuntokerroin, joka johtuu käytännön yksikkönä käytetystä määrästä, ja mitattu luku, joka edustaa mitatun määrän ja käytännön yksikön välinen suhde. Sillä, että luonnollista yksikköä ei ole määritelty selkeästi (ainoa selvästi luonnollinen yksikkö on valon nopeus ), ei ole käytännön merkitystä. Muuntokerroin, jos se on laskettava, on aina kahden samanluonteisen mittauksen välinen suhde, eikä se siksi riipu luonnollisen yksikön tarkasta arvosta.

Fysikaaliset kaavat ja määrät

Riippumatta siitä, minkä luonnollisen yksikön arvon pitäisi olla, voimme tässä perspektiivissä ajatella, että fyysinen lauseke kääntää operaatioita monimutkaisille kohteille yhdistämällä luvun, yksikön ja muuntokertoimen.

Numeroille suoritetaan numeeriset operaatiot, joihin kaavaa käyttävät harjoittajat keskittyvät. Tämä tekee kaavan käytännön mielenkiinnosta.

Toisaalta suuruuksilla on samanaikaisia operaatioita, jotka edustavat fyysisten mittausten "luonnetta" - ja tämä riippuu yksikön valinnasta; Tähän teoreetikko keskittyy tutkiessaan "ulottuvuusyhtälöä".

Lopuksi on olemassa muuntokertoimia, jotka johtuvat mahdollisesti mielivaltaisten yksiköiden järjestelmän valinnasta . Tämä on otettava huomioon siirryttäessä yksikköjärjestelmästä toiseen. Fyysisessä kaavassa tämä valinta ei koskaan käännä todellisuudessa, paitsi muuntokertoimella ilman ulottuvuutta (joten se ei muuta lausekkeen luonnetta). Ja koska tämä tekijä heijastaa vain mielivaltaista valintaa, järjestetään hyvin suunnitelluissa järjestelmissä (kuten metrinen järjestelmä) valitsemaan yksiköt niin, että muuntokerroin on "yksi", ja katoaa kaavasta.

Kolmiulotteinen yhtälö fyysisen kaava on "yhtälö suuruuksien", joka on samassa muodossa kuin alkuperäinen fyysinen kaava, mutta jossa ei numerot, eikä muuntokertoimien eikä numeerinen vakiot otetaan huomioon. Dimensioton: vain koot. Esittelemme ilmiöitä, jotka mitataan symbolilla; esimerkiksi lyöntiä edustaa siellä kirjain "T", pituutta edustaa kirjain "L". Juuri tämän kaavan avulla voidaan määrittää ulottuvuus, jossa fyysisen kaavan tulos on ilmaistava, riippumatta mittausten tuloksista.

Muuntokerroin

Fyysiset yhtälöt yhdistävät fyysiset suuruudet, siis luvut ja yksiköt sekä mahdollisesti muuntokertoimet näiden yksiköiden valinnasta riippuen.

Esimerkki:

Fysikaalisen kinematiikan kaava kertoo meille, että nopeus (vakiona) mitataan kuljetun pituuden jaettuna matka-ajalla. Tässä tapauksessa, jos mitataan pituus liigoissa , aika tunteina ja nopeus solmuina , kaavan tulisi sisältää myös muuntokerroin.

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {node}} = k _ {\ rm {\ left (solmu {\ frac {league} {hour}} \ right)}}. D _ {\ mathrm {league}} / T _ {\ mathrm {tuntia}}}

, kanssa:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ vasen (solmu {\ frac {liiga} {tunti}} \ oikea)}} = 2 317 \ 336 \ 792}

Muuntokertoimen laskeminen

Tämän muuntokertoimen määrittäminen on yleensä monimutkainen toimenpide. Laskenta on jonkin verran yksinkertaistettu ottamalla nykyaikainen ja järkevä yksikköjärjestelmä, kuten kansainvälinen yksikköjärjestelmä :

1 solmu = 0,514 m s −1
1 tunti = 3600 s
1 liiga = 4 288 m (liiga viesteistä)

Ja tässä tapauksessa muuttamalla alkuperäiset yksiköt ICU: ksi:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (solmu {\ frac {league} {hour}} \ right)}} = (D _ {\ mathrm {SI}} / 4288) / (T _ {\ mathrm {SI}} / 3600) / (V _ {\ mathrm {SI}} / 0,514)}

Mutta kuten kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä , joka on järkevä järjestelmä, meillä on

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {SI}} = D _ {\ mathrm {SI}} / T _ {\ mathrm {SI}}}

Voimme päätellä:

{\ displaystyle k _ {\ rm {\ left (solmu {\ frac {league} {hour}} \ right)}} = {\ frac {1} {0.514}} \ kertaa {\ frac {4288} { 3600}} = 2.317}

Näissä vanhoissa hallintoyksiköissä nopeus ( solmuina ) on yhtä suuri kuin etäisyys ( liigoissa ) jaettuna ajalla ( tunteina ) kerrottuna muuntokertoimella 2,317336792, mikä heijastaa yksiköiden mielivaltaista valintaa.

Päinvastoin, kun tiedämme tämän kaavan V = D / T ja annamme aika- ja pituusyksiköt (metrijärjestelmässä toinen ja mittari), voimme valita nopeusyksikön muuntokertoimen eliminoimiseksi: tämä "johdettu" yksikkö on sitten metri sekunnissa metrijärjestelmässä.

Yksikön koko

Pohjan koko

Yleensä siirtymällä fyysisestä laista toiseen on mahdollista ilmaista asteittain kaikkien fyysisten suureiden ulottuvuus seitsemän perusulottuvuuden funktiona.

Kansainvälisen järjestelmän yksiköiden tekee seuraavan valinnan, ja suosittelee vastaavan merkintöjä, joita käytetään laajasti:

SI: n perusmäärät ja mitat

Pohjan koko	ulottuvuus symboli
Pituus	${\ displaystyle {\ mathsf {L}}}$
Massa	${\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$
Aika tai kesto	${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$
Sähkövoimakkuus	${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$
Termodynaaminen lämpötila	${\ displaystyle {\ mathsf {\ Theta}}}$
Aineen määrä	${\ displaystyle {\ mathsf {N}}}$
Valon voimakkuus	${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$

Valinta näiden seitsemän muuttujista on historiallinen rakennus, koot valittiin päässä XVIII nnen vuosisadan tarpeita ja vaatimuksia, jotka voivat tehdä yksinkertaisia ja täsmällisesti. Ne ovat lähtökohtaisesti keskeisimpiä, ja "kolme perustavanlaatuista yksiköt" ovat ainoat suoran pääsyn toimenpide fysiikkaa XVIII nnen luvulla, se olisi ollut vaikea kuvitella tekemään valinnan muun alustan määriä.

Voimme kuitenkin valita muita viitemääriä, esimerkiksi määritellä nopeus perusmääräksi ja määrittää vakiopituus vakionopeuden ja normaaliajan mukaan: tämä on lisäksi tehty implisiittisesti metrijärjestelmässä , nopeusstandardi on valon nopeus tyhjössä. Samoin vaihtoehto sähkövoimakkuudelle voisi olla sähkövarauksen säilyttäminen perusyksikkönä. Nämä vaihtoehtoiset valinnat johtavat sitten vaihtoehtoihin yksikköjärjestelmän suhteen.

Perusmäärien valinta verrattuna johdettuihin määriin on suhteellisen mielivaltainen. Useimmissa tapauksissa, mekaniikka, tosiasiallisesti käytetyistä määristä on rajoitettu "kolme perustavaa yksikköä" Maxwell, osajärjestelmän $L, M, T$ . Mutta olisi mahdollista perustaa järjestelmä voimaan massan ( $L, F, T$ ) sijasta . Itse asiassa yksiköiden ilmaiseminen N m −2 tai N rad −1 on tavallaan ajatellen, että newton voisi olla perusmäärä näiden johdettujen määrien määrittelemiseksi. Voisimme myös korvata ajan nopeudella tai taajuudella tai luottaa energiaan tai valita minkä tahansa muun yhdistelmän kolmesta mekaanisesta suuruudesta, kunhan nämä kolme suuruutta ovat riippumattomia. Tämä valinta on vain mukavuuden asia. Ulottuvuusanalyysi ei riipu perustana pidetyistä määristä.

Johdetut määrät

Kuten edellä todettiin, fyysinen laki sisältää yleisessä tapauksessa (ei-rationaaliset yksikköjärjestelmät) vakiotermin, joka heijastaa yksiköiden muuntamista panosmäärien ja lähtömäärien välillä. Vastaavasti järkevässä järjestelmässä tuotosmäärän yksikkö valitaan siten, että sen muuntokerroin on yhtä suuri kuin yksikkö, eli se katoaa fyysistä lakia kuvaavasta kaavasta : tällä tekijällä ei ole fyysistä merkitystä.

Vähitellen, ja fysiikan lait on fysiikan lait , tämä periaate voi määrittää kaikenlaisia "johdettu määrät" tietää ulottuvuus, ja mikäli mahdollista vahvistaa yhtenäinen yksikkö yhdessä aikaisemmin valitun yksiköt, joille "muunnoskerroin" on yhtä suuri kuin .

Johdettu määrä on siten määrä, jonka ulottuvuus on sukua ainakin yksi seitsemästä emäksen määriä. Fysiikan lait ilmaisee välistä johdettu määrän ja emäksen määrät (tai muiden johdettujen määrät). Sen lausunto asettaa tietyn yhtälön mitoille .

Johdetun määrän ulottuvuuden sanotaan olevan "yksinkertainen", kun se liittyy vain yhteen seitsemästä perusmäärästä. Esimerkiksi alueen mitat ovat yksinkertaiset: ne liittyvät vain pituuteen ja vastaavat pituuden neliötä. Johdetun määrän ulottuvuuden sanotaan olevan "yhdiste", kun se on kytketty vähintään kahteen seitsemästä perusmäärästä. Esimerkiksi nopeus on pituuden suhde kestoon.

Mittayhtälö

Kolmiulotteinen yhtälö on yhtälö, joka ulottuvuus johdettu määrä kuin seitsemän emästä määriä. Dimensioyhtälössä johdetun määrän dimensiota merkitään tai . $X$ ${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X}}$ ${\ displaystyle [X]}$

Mittayhtälön yleinen muoto on:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X} = {\ mathsf {L}} ^ {\ alpha} {\ mathsf {M}} ^ {\ beta} {\ mathsf {T}} ^ {\ gamma } {\ mathsf {I}} ^ {\ delta} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {\ epsilon} {\ mathsf {N}} ^ {\ zeta} {\ mathsf {J}} ^ {\ eta} }

tai:

${\ displaystyle {\ mathsf {L, M, T, I, \ Theta, N}}}$ ja ovat seitsemän perusmäärän vastaavat mitat; ${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$
${\ displaystyle {\ alfa, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon, \ zeta}}$ ja ovat seitsemän perusmäärän vastaavat eksponentit. ${\ displaystyle {\ eta}}$

Näitä kutsutaan "ulotteisiksi eksponenteiksi". Tällainen ulotteinen eksponentti on suhteellinen kokonaisluku. Se voi olla (ehdottomasti) positiivinen, nolla tai (ehdottomasti) negatiivinen. Dimensioton määrä , tai määrä ulottuvuus 1 , on määrä, jossa kaikki kolmiulotteinen eksponentit ovat nolla.

Siten määrän ulottuvuus on tapa, jolla se koostuu seitsemästä perusulottuvuudesta.

Nopeuden mitat:

Sanomme, että "nopeuden ulottuvuus on pituus jaettuna kestolla " tai "nopeus on homogeeninen pituudella jaettuna kestolla". Dimensioyhtälö merkitsee tämän lyhennetyllä tavalla:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {V} \; = \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}

(tai uudestaan ).

{\ displaystyle {\ rm {\ {\ mathsf {V}} \; \ equiv \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}}}}

Koostumuksesta voi tulla monimutkaisempi.

Voiman mitat:

Toinen Newtonin liikelakista sanoo, että voima on verrannollinen massa-ajan kiihtyvyyden tulokseen. Kiihtyvyys on nopeuden kasvu, joten nopeuden jako keston mukaan . Nopeus on pituus jaettuna kestolla, joten kiihtyvyydellä on pituuden ulottuvuus jaettuna keston neliöllä. Johdamme voiman ulottuvuuden:

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} \; = \; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {\ frac {L} {T ^ {2}}}} \; = \ ; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {L}} \ cdot {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}

että voimme myös huomata

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} = {\ frac {{\ mathsf {M}} \ cdot {\ text {dim}} ~ {V}} {\ mathsf {T}}}.}

Järjestelmän laajennukset

Kulmien merkintä

Radiaani ja sen pallomainen vastine steradiaani miehittää erillinen paikka yksiköissä, eikä aivan tukiaseman, eikä todella homologinen johdannaisyksikkö. Jo pitkään sitä kutsuttiin "lisäyksiköksi"; 20 th yleiskokous Kansainvälisen paino- ja toimenpiteitä perui käsite. Radiaani on nyt "dimensioton yksikkö, jonka merkki ja voidaan käyttää, mutta ei välttämättä, on ilmauksia muiden SI-johdannaisyksiköiden tarvittaessa" .

Tämän yksikön erityinen tila tulee dimensiosta, jota pidetään tasokulman "dimensiottomana" . Kulma mitataan itse asiassa sen kaaren pituuden (AB) välillä, jonka se leikkaa ympyrän, jonka säde on r, ja tämän ympyrän säteen r välillä. Nämä kaksi mittausta, jotka tehdään pituuden yksikköinä, päätellään, että radiaanin mitat ovat nollat, $L 1-1 = L 0$ (ja sama steradiaanille , siepatun alueen suhde säteen neliöön, $L 2 - 2 = L 0$ ). Paradoksaalisesti tämän vuoksi päivittäisessä kokemuksessa välittömästi mitattava neljäs määrä ei jaa "kolmen perusyksikön" etuoikeutettua asemaa: sen ykseys on valinnainen, eikä sitä edes pidetä tehokkaana määränä.

"Kulmamäärä" on kuitenkin tärkeä selventämään joidenkin yksiköiden merkintää, mikä oikeuttaa sen valinnaisen käytön kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä . Se on siten, että kulmanopeuden $ω$ on huomattava rad ⋅ s -1 , ja on siten erotettava hertsiä ja becquereliä , a priori saman ulottuvuuden $T -1$ . Samoin kulmakiihtyvyys $α$ kirjoitetaan yleensä rad ⋅ s −2 .

Vaikka tämä ei ole tavanomainen käytäntö, on myös oikein huomata kulmakomponentti pyörimistä kuvaavissa määrissä, jotka voidaan yksinkertaisesti tunnistaa vaihe vaiheelta mittayhtälöiden kautta:

työ pari on , ja on kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 . Pari $C$ on näin ollen kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ⋅ rad -1 , mikä on erotettava yksikön energiaa kg ⋅ m 2 ⋅ s -2 ; ${\ displaystyle W = {\ vec {C}} \ cdot {\ vec {\ alpha}}}$
yhtälö ilmaisee pyörivän kappaleen kineettisen energian . $E$ ollessa kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 , hitausmomentti $I$ on kg ⋅ m 2 ⋅ rad −2 ; ${\ textstyle E = {\ frac {1} {2}} \, I \, \ omega ^ {2}}$
päätellään, että konservatiivinen suuruus kierto, impulssimomentti , , on ulottuvuus kg ⋅ m 2 ⋅ rad -2 x rad ⋅ s -1 = kg ⋅ m 2 ⋅ s -1 ⋅ rad -1 . ${\ textstyle {\ vec {L}} = I \, {\ vec {\ omega}}}$

Mutta ulottuvuusanalyysissä kulmia ei voida periaatteessa pitää ongelman muuttujina, koska niiden klassinen määritelmä ei anna heille omaa ulottuvuutta. Otetaan esimerkiksi ammus, jolle etsimme ilmaisua alueelle $P$ kulman $θ$ ja laukauksen nopeuden $v$ sekä painovoiman $g$ vetovoiman funktiona . Tässä muodossa tehtävällä on neljä muuttujaa kolmesta suuruudesta riippuen, ja sen pitäisi siksi olla hyvässä asemassa ratkaisemaan $P$ muiden kolmen funktiona vakioon saakka. Mutta kulmaa $θ$ pidetään ulottumattomana, mutta tapa, jolla se esiintyy monomiaalissa, voi olla vain mielivaltainen: tämä "muuttuja" osoittautuu käyttökelvottomaksi klassisessa lähestymistavassa, jossa sitä ei voida erottaa mielivaltaisesta vakiosta.

Tätä erityistä ongelmaa käsitellään jäljempänä projisoimalla erottamalla alkunopeuden komponentit $v x$ ja $v z$ kahteen suuntaan, mutta tämä projektioprojekti ei ole yleinen käsittely, eikä se todellakaan ratkaise kulmien erityisongelmaa.

Inertiamassa ja vakava massa

Termodynamiikassa tai nestemekaniikassa on joskus mielenkiintoista erottaa massa inertian mittana (inertiamassa) ja massa aineen määrän (hautamassan) mittana. Ehdotuksen mukaan de Huntley jokainen elin:

inertti massa on dynaaminen ominaisuus asia, joka ilmenee inertian kehon. Konkreettisesti 20 kg: n massa kestää kiihtyvyyttä kaksi kertaa niin paljon kuin 10 kg: n massa ;
bruttomassa (Latin gravis , raskas) on staattinen ominaisuus asia, joka ilmenee, että gravitaatio elimissä. 20 kg: n massa luo ympärilleen painovoimakentän, joka on kaksi kertaa voimakkaampi kuin 10 kg: n massa ; lisäksi saman ulkoisen painovoimakentän läsnä ollessa (esimerkiksi maan), 20 kg: n massaan kohdistuu voima (paino), joka on kaksi kertaa suurempi kuin 10 kg: n massa .

Hauta massa on Newtonin vetovoimalaki mitä sähkövaraus on että Coulombin laki : se on tavallaan painovoiman maksu . Vaikka vakava massa ja inertiaalimassa ovat käsitteellisesti erilaisia, näemme käytännössä, että ne ovat aina suhteellisia, mikä oikeuttaa sen, että voimme käyttää samaa yksikköä molemmille (tämä on vastaavuusperiaate ). Kuitenkin, jos saman massayksikön käyttö on mahdollista, se ei ole välttämätöntä, ja on edelleen mahdollista erottaa nämä kaksi ulottuvuusyhtälössä: Huntley osoittaa analyysissään, että fyysinen yhtälö, joka sisältää nämä kaksi massatyyppiä, on homogeeninen jokaiselle massatyypille.

Suunnatut projektiot

Huntley tarjoaa toisen laajennuksen. Se koostuu siitä, että vektorin kolmen komponentin on katsottava liittyvän erillisiin suureisiin. Tällöin sen sijaan, että meillä olisi vain erottamaton pituus $L$ , meillä on pituus $L x$ $x-$ suunnassa ja niin edelleen.

Tämän ajatuksen havainnollistamiseksi voimme yrittää laskea, millä etäisyydellä vaakasuorasta tasosta ammutun tykinkuulan putoamispiste on pystysuoralla nopeudella $V z$ ja vaakanopeudella $V x$ .

Jos ei oteta huomioon tilan mittoja, ainoat mielenkiintoiset $suuruudet$ ovat $V x$ ja $V y$ , molemmat $L\cdotT -1: ssä$ , alue $P$ , ulottuvuuden $L$ ja $g$ painovoiman kiihtyvyys ulottuvuus $L\cdotT -2$ . Nämä neljä määrää riippuvat vain kahdesta itsenäisestä suuruudesta, ja siksi on mahdollista määritellä kaksi ulottumattomuutta.

Laajuuden haettu yhtälö on seuraavanlainen:

{\ displaystyle R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}}

Tai ulottuvuuden yhtälön muodossa:

L = (L / T) + b (L / T 2 ) c

Mistä voimme päätellä, että $a + b + c = 1$ ja $a + b + 2 c = 0$ , josta voimme päätellä, että $c = -1$ , mutta kaksi eksponenttia jää määrittelemättä. Tämä on normaalia, koska yhdelle yhtälölle on kaksi riippumatonta suuruutta ja neljä suuruutta.

Jos, kuitenkin, me erottaa eri suuntiin tilaa, niin $V x$ on mitta $L x \cdotT -1$ , $V y$ on $L y \cdotT -1$ , $R$ on $L x$ ja $g$ on $L y \cdotT -2$ . Mittayhtälöstä tulee sitten:

L x = (L x / T) (L y / T) b (L y / T 2 ) c

Nyt kun sinulla on kolme riippumatonta suuruutta ja neljä suuruutta kahdelle yhtälölle, on mahdollista ratkaista järjestelmä etsimällä $a = 1$ , $b = 1$ ja $c = -1$ ; ja niin :

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V_ {x}. V_ {y}} {g}}}

Jos merkitsemme polttokulmaa $θ$ , alkunopeuteen $V$ verrattuna meillä on $V x = V cos ( θ )$ ja $V y = V sin ( θ )$ , joten:

{\ displaystyle R \ propto {\ frac {V ^ {2}} {g}} \, \ sin (\ theta) \, \ cos (\ theta) = {\ frac {V ^ {2}} {g} } \, \ sin (2 \ theta)}

Voimme heti nähdä tässä esimerkissä voiton, joka johtuu suunnilleen erillisten pituuksien käyttöönotosta.

Tällaisen lähestymistavan taustalla on se, että ulottuvuuden mukaisen yhtälön jokaisen komponentin on itsessään oltava ulottuvuudeltaan yhdenmukainen riippumatta siitä, onko yhtälö skalaari, vektori vai tensori. Siksi projisoimalla ongelma jommallekummalle sen symmetrialle voidaan (joskus) tunnistaa itsenäiset yhtälöt, ja jokainen ylimääräinen yhtälö ratkaisee uuden muuttujan.

Tämä lähestymistapa koostuu kolmannen ulottuvuuden avaruudessa olevan ongelman vähentämisestä useisiin ongelmiin ulottuvuuden yksi lineaarisissa tiloissa. Vaikka Huntleyn ehdottama menetelmän laajennus onkin usein hyödyllinen, siinä on kuitenkin joitain puutteita:

se ei käsittele hyvin vektorituotteita koskevia tilanteita;
se ei mahdollista hallita kulmia, joita pidetään fyysisinä muuttujina;
näitä määriä $L$ , $L x$ , $L y$ ja $L z$ ei aina ole helppo määrittää ongelman eri muuttujille , toisin sanoen tunnistaa asiaankuuluvat projektioakselit.

Suuntausalgebra

Sen sijaan, että otettaisiin käyttöön vain kolme erikokoisen pituuden $L x$ ulottuvuutta , kuten Huntley ehdotti, Donald Siano ehdotti edustavansa tiettyjen määrien vektorimerkkiä säilyttääkseen täysimittaisena "orientaation määrinä" $1 x$ , $1 y$ ja $1 z$ ulottuvuudessa yhtälö, symboli $1 0$ edustaa puolestaan skalaarisuureena ilman suunta. Tämän lähestymistavan, ennustettu ulottuvuus $L x$ ehdottama Huntley tulee johdettu yhdiste määrä $L\cdot1 x$ , jossa $L$ merkitsee luonteeltaan "pituus", ja $1 x$ kääntää luonne "suunta" tiettyyn suuntaan, niin oleellisesti tämän määrän vektorimerkki.

Ulottuvuuskaavoissa skalaarimäärien suuruus on sitten $1 0$ riippumatta sen tilan suunnasta, johon ne projisoidaan, mutta vektorimäärät saavat nollan ulkopuolisen suuntautumisen ulottuvuuden - jonka valinta $x: ssä$ , $y , zon suhteellisen mielivaltainen, kunhan näitä valintoja yksinkertaistetaan ulottuvuusyhtälössä. Suunta voi olla esimerkiksi "ongelman suunta " 1 x, kun vain yksi suunta on mukana, mutta siitä tulee "tason toinen suunta" 1 y, kun sekunti tapahtuu, ja "suunta, joka on kohtisuora kahdelle muulle" 1 z, tarvittaessa.$

Tämä yleissopimus johtaa erityisesti olettaa, että kulmapoikkeaman kääntää kierto on kolmiulotteisessa avaruudessa :

Pyörimisen koko on

1 z

Tämä sama tulos voidaan saavuttaa suoraan huomaamatta, että polaaristen koordinaattien $( r , α )$ , elementaarisen vaihtelu $d α$ johtaa ortogonaalinen siirtymä $d x = r d α$ : $d x$ ollessa suunta $1 y$ suhteessa etäisyyden $r$ aiheuttamiin orientaation $1 x$ kaavan homogeenisuus edellyttää, että dα on orientaatio $1 z$ , mikä on siis radiaanin ulottuvuus . Voimme myös osoittaa ( Taylor-sarjan laajennuksen kautta ), että synnillä (θ), kuten kaikilla parittomilla funktioilla, on sama orientaation suuruus kuin sen argumentilla $θ$ ; ja että $cos ( x )$ , kuten mikä tahansa parillinen funktio, on aina suuruudeltaan skalaarinen suunta - parilliset tai parittomat funktiot eivät voi ottaa vain skalaarisia argumentteja.

Palatkaamme esimerkkinä sovelluksesta ammuksen kantama-alueeseen liittyvä ongelma ottaen huomioon suuntautumismäärä . Suhteessa suuntaan pisteen vaikutusten vakavuus on suunta $1$ $z$ , ja sytytyskulmaa $θ$ ollessa tasossa $xz$ tulee olemaan kohtisuorassa ulottuvuus, toisin sanoen $1$ $y$ . Laajuus $P$ on sitten muodoltaan: ${\ displaystyle 1_ {x}}$

{\ displaystyle P \ propto g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}}

Tämä edellyttää, että: .

{\ displaystyle \ mathrm {L} \, 1_ {x} \ sim \ left ({\ frac {\ mathrm {L} \, 1_ {z}} {\ mathrm {T} ^ {2}}} \ oikea) ^ {a} \ vasen ({\ frac {\ mathrm {L}} {\ mathrm {T}}} \ oikea) ^ {b} \, 1_ {y} ^ {c}}

Ulottuvuus homogeenisuus asettaa sitten oikein, että $a = -1$ ja $b = 2$ ; ja suhteellisuussuureen nähden $c: n$ on tällöin oltava pariton kokonaisluku (sen vuoksi voidaan pitää yhtä yhtenäisenä). Täydentävä analyysi osoittaa, että toiminto haetaan $θ$ , välttämättä pariton syistä homogeenisuus, on jaksollinen jaksolla $2 π$ (siis muotoa $sin ( nθ )$ ) ja häviää varten $θ = 0$ ja $θ = π / 2$ : siis $n = 2$ ja haettu tehtävä on $synti (2 θ )$ . Joten meillä on:

{\ displaystyle P \ propto {\ frac {v ^ {2}} {g}} \, \ sin (2 \, \ theta)}

Esimerkkejä sovelluksista

Teoreettisen fysiikan "nollaperiaate"

Ulottuvuusanalyysin ennustavan voiman voima sen yksinkertaisuuteen verrattuna sai Wheelerin ehdottamaan seuraavaa yleistä periaatetta:

" Älä koskaan tee laskelmia ennen kuin tiedät tuloksen ".

Tämä väite, joka saattaa tuntua etukäteen paradoksaaliselta , tarkoittaa konkreettisesti: olla aloittamatta monimutkaista laskutoimitusta etsimättä ensin tulosten laadullista muotoa ulottuvuusanalyysin avulla.

Ulottuvuusanalyysi antaa todellakin mahdollisuuden löytää tiettyjen ongelmien ratkaisumuoto ilman, että joudutaan ratkaisemaan yhtälöitä, Buckinghamin lauseen (jota joskus kutsutaan " Pi- lauseeksi ") ansiosta. Tämän tyyppinen laskenta on kelvollinen vain, jos pieni määrä parametreja ohjaa tehtävän ratkaisua (2 tai 3).

Ulottuvuusanalyysin avulla on mahdollista löytää vain fyysinen yhtälö, joka säätelee ilmiötä, lähellä numeerista vakiota $k$ lähellä, ulottumaton ja jota tämä menetelmä ei sen vuoksi pysty määrittämään. Sen löytäminen vaatii täydellisen nimenomaisen laskutoimituksen (tai kokeellisen mittauksen sen määrittämiseksi). Kokemus on kuitenkin osoittanut, että tutkittuun ongelmaan mukautetussa yksikköjärjestelmässä tämä vakio $kon aina suuruusluokaltaan 1 (siinä mielessä, missä π ~ e ~ 1), joten ulottuvuusanalyysin merkitys laskennan tuloksen muodon ennustamiseksi samoin kuin sen suuruusluokka.$

Homogeenisten yhtälöiden muodostaminen ei kuitenkaan riitä asiaankuuluvien fyysisten lakien tunnistamiseksi. Kuuluisa yhtälö $E = m c 2$ on täysin homogeeninen ja muuttumaton yksikköjen muutoksella; mutta tämä homogeenisuus ei riittänyt kaiken ennakoimaan sitä.

Kaksi tunnetuimpia esimerkkejä ovat tehon laskemiseksi ensimmäisen atomipommin ja malli Kolmogorov on turbulenssi homogeeninen isotrooppinen , joka vaikutti suuresti koko nesteen mekaniikka .

Putoavien elinten lait

Galileo ja ruumiiden kaatuminen

Galileo oli alun perin olettanut (väärin), että siltä osin kuin kehoon kohdistuva painovoima (sen paino) riippuu sen massasta, kappaleiden putoamista koskevasta laista, ts. Korkeudesta h ajan t ja painovoiman g funktiona , voi riippua myös tämän ruumiin massasta m . Tässä tapauksessa meillä olisi:

{\ displaystyle h = f (g, m, t)}

Korkeudella h on ilmeisesti ulottuvuus , massa m on ja t on ulottuvuus ; ja ulottuvuusanalyysi tarjoaa g- koon . Ainoa dimensioton määrän antava yhdistelmä on silloin: $\ käsikirjoitus L$ $\ käsikirjoitus M$ $\ käsikirjoitus T$ ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 2}}$

{\ displaystyle {\ frac {h} {gt ^ {2}}} = Cte}

Massatoimintoa ei voida muuttaa dimensiottomaksi muuttujien g , t ja h avulla , mikä osoittaa, että ajatus tämän lain asettamisesta riippuvaiseksi massasta on fyysisesti virheellinen. Todellisuudessa massa puuttuu lentoradan kuvaukseen vasta, kun otetaan huomioon ilman vastus, koska ilman viskositeetilla on sitten merkitystä massan mitalla.

Galileolla ei ollut differentiaalilaskentaa, ja hän oletti, että nopeus v (jonka mitat ovat ) oli verrannollinen putoamisen korkeuteen h , toisin sanoen . Jos hän olisi voinut käyttää ulottuvuusanalyysiä, hän olisi voinut nähdä, että ainoa dimensioton määrä, joka voidaan saada v: stä , h: stä ja g: stä, on: ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle v \ sim h}$

{\ displaystyle {\ frac {gh} {v ^ {2}}} = Cte}

Siksi h: n ja v: n välillä ei voi olla lineaarista riippuvuutta , joka voidaan sen vuoksi määrittää ilman differentiaalilaskentaa.

Massajousijärjestelmän taajuus

Värähtelevä paino

Se haetaan määrittää ajan T värähtelyn massa-jousi-järjestelmän funktiona jäykkyys k jousen ja painon p , joka on ripustettu siihen. Näillä kolmella fyysisellä määrällä on vastaavasti ulottuvuus:

T : s ;
k : kg ⋅ s -2 ;
p : kg ⋅ m ⋅ s −2 .

Näemme, että tässä muodossa ongelma on liukenematon: paino on ainoa fyysinen määrä, jolla on komponentin pituus, joten se ei voi puuttua tekijään ilman ulottuvuutta; ja jäykkyys on silloin ainoa määrä, jolla on komponentti massassa, joten se ei voi myöskään puuttua asiaan.

Hajottaen massan tuotepaino painovoiman kiihtyvyydellä, pyrimme sitten määrittämään massan m tämän värähtelyjakson T , joka on kiinnitetty ihanteelliseen jäykkyysjouseen k gravitaatiokentässä g . Näillä neljällä fyysisellä määrällä on vastaavasti ulottuvuus:

T : s ;
m : kg ;
k : kg ⋅ s -2 ;
g : m ⋅ s −2 .

Näistä neljästä muuttujasta on mahdollista muodostaa yksi dimensioton yhdiste . Yhdelläkään yhdistelmällä ei ole kerrointa g , koska tässä on ainoa, jolla on pituuskomponentti. ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {k \, T ^ {2}} {m}}}$

Itse asiassa ulottuvuusanalyysi voi asettaa voimakkaita rajoituksia fyysisen suureen merkityksellisyydelle ongelman ratkaisussa tai tarpeelle tuoda täydentäviä parametreja. Tässä on riittävästi muuttujia ongelman kuvaamiseksi oikein, ja johtopäätös on, että todellisuudessa jouseen kiinnitetyn massan värähtelyjen aika ei riipu painovoimasta g : se olisi sama maan päällä tai Kuulla.

Löytynyt dimensioton tekijä on a priori "pieni vakio", ja yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen vastaavassa muodossa (poseeraamalla ): ${\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ sqrt {\ pi _ {1}}}}$

{\ displaystyle T = \ pi _ {2} {\ sqrt {m \ over k}}}

Pelkkä ulottuvuusanalyysi ei pysty määrittämään vakiota . Löydämme muulla tavoin kuin . $\ pi _ {2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = 2 \ pi}$

Synkrotronipulssi

Tarkastellaan materiaalipistettä m ja sähkövaraus q, jotka altistuvat tasaiselle magneettikentälle . Nopeuden animoima aineellinen piste altistuu Lorentz-voimalle : ${\ vec {B}}$ ${\ vec {vb}}$

{\ vec {F}} = q {\ vec {v}} \ kiila {\ vec {B}}

Kun materiaalipiste kuvaa ympyrää tasossa, joka on kohtisuorassa magneettikenttään tasaisella kulmanopeudella ω . Tämän kulmanopeuden on oltava riippuvainen parametreista m , q ja ongelmasta. ${\ vec {v}} \ perp {\ vec {B}}$ ${\ vec {B}}$

Voimme katsoa, onko näiden parametrien välillä yksinkertainen suhde, kuten tuote:

\ omega = km ^ {{\ alpha}} q ^ {\ beta} B ^ {\ gamma}

missä k , α, β ja γ ovat tuntemattomia vakioita ja ulottumattomia lukuja.

Mittayhtälöitä käytetään näiden lukujen määrittämiseen. Meillä on todellakin:

{\ rm {\ left [F \ right] = M \ cdot L \ cdot T ^ {{- 2}} = \ left [q \ cdot v \ cdot B \ right] = Q \ cdot L \ cdot T ^ { {-1}} \ vasen [B \ oikea]}}

siis yhtälö magneettikentän mitoille:

{\ rm {\ left [B \ right] = M \ cdot T ^ {{- 1}} \ cdot Q ^ {{- 1}}}}

Johdetaan yhtälö, jonka mitat ovat ω :

\ left [\ omega \ right] = \ left [k \; m ^ {{\ alpha}} \; q ^ {{\ beta}} \; B ^ {{\ gamma}} \ right] = {\ rm {M ^ {{\ alpha}} \; Q ^ {{\ beta}} \; \ vasen [B \ \ oikea] ^ {{\ gamma}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \; Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \; T ^ {{- \ gamma}}}}

Lisäksi kulmanopeus ω on kulman suhde jaettuna ajalla T 0 (pyörimisjakso):

\ omega = {\ frac {2 \ pi} {T_ {0}}}

Kulma on dimensioton, se tulee:

{\ rm {\ left [\ omega \ right] = T ^ {{- 1}} = M ^ {{\ alpha + \ gamma}} \ cdot Q ^ {{\ beta - \ gamma}} \ cdot T ^ {{- \ gamma}}}}

Päätelmät ovat seuraavat: γ = 1; a + y = 0 → a = -1; ja β-γ = 0 → β = 1. Siksi ω : n muoto : $\ omega = k \ cdot {\ frac {qB} {m}}$

Kutsumme " syklotronin sykettä " suuruudeksi: $\ omega _ {c} = {\ frac {qB} {m}}$

Tässä tarkassa esimerkissä Newtonin dynamiikkayhtälön ratkaiseminen osoittaa, että k = 1 tarkalleen.

Lisäksi B on tämän monomaaalin ainoa fyysinen määrä, jolla on suuntausmerkki (se on pseudovektori ). Suhde voidaan siis kirjoittaa vektorimuodossa:

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} _ {c} = {q \ over m} \ cdot {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}

Atomipommin energia

Legendan mukaan ulottuvuusanalyysi antoi Geoffrey Ingram Taylorille mahdollisuuden arvioida vuonna 1950 atomipommin räjähdyksestä vapautuneen energian , kun nämä tiedot luokiteltiin erittäin salaisiksi . Tätä varten hän havaitsi elokuvan ydinräjähdyksestä New Mexico, jonka Yhdysvaltain armeija oli julkaissut vuonna 1949. Energia johtui atomisienen laajenemisesta.

Taylor olettaa etukäteen , että kaasupallon laajenemisprosessi riippuu ainakin seuraavista parametreista:

aika t ;
räjähdyksestä vapautuva energia E ;
ilman tiheys ρ .

Mittanalyysi johtaa sen sitten kaasupallon säteen ajanhetkellä t yhtälöön:

r = k \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}

missä k on dimensioton vakio. Taylor löytää siis jälleen sienen laajenemisen kokeellisen lain

r (t) \ propto t ^ {{2/5}}

mikä näyttää vahvistavan hänen parametrien valinnan. Sitten hän määrittää elokuvasta r ja t , ja kun oletetaan , että k on yhtenäisyyden ja ρ: n luokkaa , hän saa lopulta:

E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}

Todellisuudessa Taylor ei käyttänyt tätä yksinkertaistettua päättelyä. Ensimmäisessä julkaisussaan, 15 sivua, hän käyttää ulottuvuusanalyysiä yksinkertaistamaan virtausta kuvaavia differentiaaliyhtälöitä. Monien laskelmien jälkeen hän sai lopulta seuraavan hyvin yksinkertaisen kaavan:

$r = k (\ gamma) \; E ^ {{1/5}} \; \ rho ^ {{- 1/5}} \; t ^ {{2/5}}$

missä numeerinen määrä puuttuu, mikä riippuu vakiosta, joka on 1,4 ympäristön lämpötilassa, mutta joka pienenee korkeassa lämpötilassa. Taylor on siis yllättynyt toisessa artikkelissaan kaavan ja valokuvissa mitattujen arvojen välisestä erittäin hyvästä sopimuksesta ja täsmentää, että hän odotti vähemmän hyvää sopimusta. $k (\ gamma)$ $\gamma$

Siksi Taylorin laskelmien ja kokeellisen havainnon ansiosta lämpötilan puuttuminen on vain jälkikäteen , että voimme löytää tyylikkäästi ydinsienteen säteen ilmaisun ajan ja pommin energian funktiona.

Geoffrey Ingram Taylor ja John von Neumann julkaisivat tämän tyylikkään ratkaisun itsenäisesti toisen maailmansodan aikana yhdessä kolmen muun kanssa sodan jälkeen, LI Sedov , R. Latter ja J. Lockwood-Taylor.

Energian ilmentyminen yllä olevassa esimerkissä (ydinpommi) voidaan saada yleisemmin viittaamatta kaasupallon laajenemiseen. Koska kyse on suhteeseen puuttuvan monomaaalin löytämisestä nopeasti , mikä tahansa menetelmä on sopiva: $E = f (\ rho, r, t)$

Esimerkiksi ja siksi mistä $E = mc ^ {2} \ Oikea nuoli [E] = {\ rm {M \ cdot L ^ {2} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $\ rho = {\ frac mV} \ Rightarrow [\ rho] = {\ rm {M \ cdot L ^ {{- 3}}}}$ ${\ frac {[E]} {[\ rho]}} = {\ rm {L ^ {5} \ cdot T ^ {{- 2}}}}$ $E \ sim {\ frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}$

Yleistettävissä menetelmä: katsomme kuten kanssa , , ja (katso alla oleva taulukko ) ${\ displaystyle (a, b, c) \ sisään \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c}}$ ${\ displaystyle [E] = ML ^ {2} T ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle [\ rho] = ML ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle [r] = L}$ ${\ displaystyle [t] = T}$

${\ displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c} \ Rightarrow [E] = [\ rho] ^ {a} \ kertaa [r] ^ {b} \ kertaa [t] ^ {c} \ Vasen suora M ^ {1} L ^ {2} T ^ {- 2} = M ^ {a} L ^ {- 3a + b} T ^ {c} \ Vasen suora (a, b, c) = (1,5, -2) \ Oikea nuoli E = \ rho r ^ {5} t ^ {- 2}}$

Sedimentaatioaste

Yksi tapa suorittaa hienojen sedimenttien partikkelikokoanalyysi on laittaa se homogeeniseen suspensioon ja mitata sitten sedimentin korkeus ajan funktiona. Tässä menetelmässä oletetaan, että tiedämme hiukkasen sedimentoitumisnopeuden sen halkaisijan funktiona . On selvää, että tämä lasko riippuu myös vetovoiman kiihtyvyys , viskositeetti nesteen, ja suhteellinen tiheys , erilainen tiheys välillä sedimentin ja neste. Koska tässä on viisi parametria vain kolmelle perusulottuvuudelle, on a priori mahdollista määrittää vain osittainen riippuvuus parametrien välillä. $v$ $d$ $g$ $\ mu$ $\ rho$

On kuitenkin mahdollista erottaa, ulottuvuudessa pituus, välisen pituudet mitataan pystysuunnassa 1 z- , suunta nopeuden, kiihtyvyyden, ja vaikutus viskositeetti, ja ne mitattiin vaakatasoon 1 x , suunta, johon todellisen osan halkaisija on mitattava. Hiukkasen tilavuus yhdistää sekä pysty- että kaksi vaakasuuntaa.

Näiden muuttujien mitat ovat sitten:

$v$ : Nopeus L · T -1 · 1 z: ssä $\,$
$d$ : Halkaisija L · 1 x
$g$ : painovoiman kiihtyvyys L · T -2 · 1 z: ssä $\,$
$\ mu$ : Dynaaminen viskositeetti M · L -1 · T -1 $\,$ $\,$ 1 z -1
$\ rho$ : Tiheys M · L -3 $\,$ 1 z -1 1 x -2

Kaavan homogeenisuus asettaa sitten:

{\ displaystyle \ mathrm {Cte} = {v \ mu \ over \ rho gd ^ {2}}}

Tämä vastaa Stokesin lakia , jonka vakio on 2/9.

Kosmologia: Hubble-säde

Tässä kosmologiaan sovellettavassa esimerkissä käytämme mitoitusanalyysiä (pituus, massa ja aika) kolmesta vakiosta, G, ja kolmen tärkeimmän atomihiukkasten (elektroni, protoni ja neutroni) massojen tulosta ( tarkkuus 10-10, katso CODATA 2018): $\ hbar$

${\ displaystyle m ^ {3} = m_ {e} \ kertaa m_ {p} \ kertaa m_ {n}}$
ulottuvuusanalyysi antaa etäisyyden: miljardeja valovuosia; ${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} = 6,900}$
Toisaalta, ominaisuus pituus horisontin Schwarzschild musta aukko on , R H ollessa säde Hubblen , saadaan R H = 13,80 miljardin valovuoden vastaa 70,84 km / s Mega parsec ${\ displaystyle {\ frac {R_ {H}} {2}}}$

Tämä tulos on yhdenmukainen viimeisimpien arvioiden kanssa, paitsi että sitä ei voida liittää ikään, koska fyysiset ja matemaattiset vakiot ovat muuttumattomia ajassa ja tilassa.

Historiallinen

Ulottuvuusanalyysin alkuperästä keskustellaan historioitsijoiden keskuudessa. Matemaatikoiden Leonard Eulerin ja Joseph Fourierin sekä fyysikon Rayleighin sanotaan yleensä antaneen merkittävän panoksen olettaen, että sellaiset fyysiset lait, joiden ei pitäisi olla riippuvaisia kaavassa esiintyvien fyysisten määrien mittaamiseen käytetyistä yksiköistä. Tämä vaatimus johtaa johtopäätökseen, että fyysisen lain on muodostettava "homogeeninen" yhtälö näiden eri yksiköiden välille; tulos virallistettiin lopulta Vaschy-Buckinghamin lauseella . Mutta ulottuvuusanalyysin ensimmäinen soveltaminen näyttää johtuvan Savoyardin matemaatikosta François Daviet de Foncenexistä (1734–1799) teoksessa, joka julkaistiin vuonna 1761, 61 vuotta ennen Fourierin työtä. Joka tapauksessa James Clerk Maxwell vakiinnuttaa modernin lähestymistavan ulottuvuusanalyysiin asettamalla, että massa, pituus ja aika olivat perusyksiköitä, ja määrittelemällä muut "johdannaisiksi". ${\ textstyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$

Vaikka Maxwell määritteli ajan, pituuden ja massan "kolmeksi perusyksiköksi", hän kuitenkin huomautti, että gravitaatiomassa voisi olla ajan ja pituuden perusteella johdettu määrä, mikä johtaisi $johdantoon$ $M = L 3 3T -2$ , jos otetaan huomioon, että vuonna Newtonin universaali painovoimalain The painovoimavakio $G$ otetaan arvoltaan yksi. Samoin kirjoittamalla Coulombin lain muodossa, jossa vakio $k e$ asetetaan yhtä suureksi kuin yksikkö, Maxwell päätti, että sähköstaattisen yksikön mitan tulisi olla $Q = L 3/2 \cdotM 1/2 \cdotT -1$ , ja ottamalla huomioon $Ottaen$ huomioon, että lisäksi hän piti massaa johdettuna $suureena$ $M = L 3 \cdotT -2$ , sähkövarauksella oli sitten sama ulottuvuus kuin massa, ts. $Q = L 3 \cdotT -2$ .

Ulottuvuusanalyysin avulla voidaan myös päätellä muoto, jolla on oltava suhde fyysisten määrien välillä, jotka puuttuvat ilmiöön, jota halutaan sisällyttää / ymmärtää ja luonnehtia. Rayleigh näyttää käyttäneen sitä tässä mielessä ensimmäisenä vuonna 1872 yrittämällä selittää miksi taivas on sininen. Rayleigh julkaisi menetelmänsä vuonna 1877 kirjassaan The Theory of Sound .

Se on hänen työnsä Théorie de la Chaleur että Joseph Fourier esittelee ”ulottuvuus”, jonka hän alun perin rinnastetaan lukuarvot ottanut eksponentit perusyksiköt. Esimerkiksi hänelle kiihtyvyys on ulottuvuus 1 pituuden yksikköön nähden ja ulottuvuus -2 aikayksikköön nähden. Maxwellin mielestä kiihtyvyyden "ulottuvuus" on koko lauseke L $-2T -2$ eikä eksponenttisarja; tätä terminologiaa käytetään nykyään.

Mallinnus

Myöhään 19 : nnen ja varhaisen 20 th luvulla, jossa lisätutkimuksia ominaisuuksien nesteitä ja kehon liikkuvat nesteissä, fyysikkojen kuten Ludwig Prandtlin , Theodore von Karman , Albert Shields , Johann Nikuradse ja Rayleigh käytetään kolmiulotteinen analyysi toistaa laboratoriossa ja hallittavissa olosuhteissa fyysisten ilmiöiden käyttäytyminen, mutta eri nopeuksilla tai tiheyksillä, perustuen eri mittakaavan malleihin sovellettaviin samankaltaisuuslaeihin. Tämä samankaltaisuuden periaate, joka antaa mahdollisuuden tutkia fyysisiä ilmiöitä eri mittakaavoissa, on perusta similituditeorialle, jota kutsutaan myös malliteoriaksi.

Ulottuvuusanalyysi on todellakin mallinnuksen ja samankaltaisuuden taustalla. Vaschy-Buckingham lause osoittaa, että mikä tahansa fyysisen kaava joissa $n$ itsenäinen mitoitusmuuttujia, riippuen $k$ perus- yksiköistä, joilla on kaava voidaan muuntaa vastaavan kaavan riippuen nk dimensioton muuttujat johdetaan alkuperäisestä muuttujia. Tämä muutos mahdollistaa saman lain soveltamisen ja sen vuoksi saman ilmiön toistamisen eri mittakaavoissa, kunhan nämä ulottumattomuusluvut ovat identtiset molemmissa tapauksissa. Tärkeässä erityistapauksessa, kun $n = k$ , ei ole vapaata muuttujaa ilman ulottuvuutta, ja lause tarkoittaa, että muuttujien muodostama dimensioton lauseke on vakio tarkasteltavalle ilmiölle.

Vastaavasti fyysisen ilmiön tutkimuksessa on tarpeen tutkia järjestelmän käyttäytymistä vain, kun nämä ulottumattomuusmuuttujat vaihtelevat, loput päätetään suhteellisuudesta. Ulottuvuusanalyysi antaa sitten mahdollisuuden tunnistaa merkitykselliset muuttujat tarkasteltavan ilmiön tutkimiseen, mikä vaatii hyvää fyysisen todellisuuden tunnetta, mutta sitten sallii kokeellisen suunnitelman rajoittamisen pelkästään näihin ulottuvuuksiin. Kaikki tulosdiagrammit, joissa akselit ovat ulottumattomia lukuja, on johdettu ulottuvuusanalyysistä.

Huomautuksia ja viitteitä

(en) / (de) / (it) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu artikkeleista, joiden otsikko on englanti " Dimensional analysis " ( katso kirjoittajaluettelo ) , saksankielinen " Dimensionsanalyse " ( katso kirjoittajaluettelo ) ja italia. ” Analisi dimensionale ” ( katso luettelo tekijöistä ) .

Huomautuksia

Logaritminen johdannainen on ilmeinen poikkeus: sallimme itsemme kirjoittaa , vaikka $x$ ei olisikaan dimensioton (sen sijaan, missä $x$ $0$ on saman ulottuvuuden vakio kuin $x$ ), koska nämä kaksi operaatiota antavat muodollisesti saman tuloksen . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partituali {\ osallinen x}} (\ ln x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ osal} {\ osittain x}} \ vasen (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ oikea)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {d} \ vasen (\ ln {\ frac {x} {x_ {0}}} \ oikea) = {\ frac {x_ {0}} {x}} \ mathrm {d} \ left ({\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$
" Ilmeisesti Maxwellin alusta massan, pituuden ja ajan alettiin tulkita olevan etuoikeutettu perusluonne ja kaikki muut määrät johdannaisina, ei pelkästään mittauksen, vaan myös niiden fyysisen tilan suhteen " .
Tällaiset näkökohdat, joiden tarkoituksena on määritellä nämä yksiköt siten, että tietyt perusvakiot ovat yksikön arvoisia, ovat todellakin luonnollisten yksikköjärjestelmien perustana . Perusyksiköiden vähentäminen, vaikka se onkin teoriassa mahdollista, ei ole käytännössä toivottavaa. Jatkamalla tätä logiikkaa voimme valita, että valon nopeus on sama, pienentämällä edelleen pituutta johdetuksi yksiköksi, ja sitten ... Mutta jos kaikki fysikaaliset suuruudet lopulta laskevat ajan mittaan, ulottuvuusanalyysi ei enää antaa mitään tietoja eikä sillä ole enää syytä olemassaoloon. ${\ displaystyle \ käsikirjoitus c = 1}$ ${\ displaystyle \ käsikirjoitus T = L = M = Q}$

Viitteet

H.Sidhoum, M.Babout, L.Frécon, "Ampère2, fysiikan ohjelmointikieli", The European Journal of Physics , osa 11, 1990, s. 163-171 .
David Rouvel "Scolia on kansainvälisen mittayksikköjärjestelmän (SI)," Bulletin unionin fyysikkojen , n o 911, helmikuussa 2009 sivulla 212.
Vihreä kirja on IUPAC , 3 e ed. , 2007, sivu 4
" Resoluutio 8 20 : nnen GFCM - poistaminen luokan paljousyksiköistä SI " päälle bipm.org , Kansainvälisen paino- ja toimenpiteitä ,1995.
Huntley, HE (1967), Dimensional Analysis, Dover, LOC 67-17978
Johdanto maantieteilijöiden ulottuvuusanalyyseihin . Robin Haynes, 1982, s.33-34.
Donald Siano , Suunta-analyysi - täydennys ulottuvuusanalyysiin - I , voi. 320, kokoonpano "Franklin-instituutin lehti",1985, 267–283 Sivumäärä ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (85) 90031-6 ) , luku . 6
Donald Siano , Orientational Analysis, Tensor Analysis and the Group Properties of the SI Supplementary Unit - II , voi. 320, kokoonpano "Franklin-instituutin lehti",1985, 285–302 Sivumäärä ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (85) 90032-8 ) , luku . 6
Pietro-Luciano Buono, " Yksikköjen tasapaino matemaattisessa mallinnuksessa ", Accromath , voi. 12. kesä- ja syksy 2017 ( lue verkossa [PDF] )
Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "Räjähdysaallon muodostuminen erittäin voimakkaalla räjähdyksellä. II. Vuoden 1945 atomiräjähdys", Proceedings of the Royal Society of London. Sarja A, Matematiikka ja fysiikka , Voi. 201, nro 1065, s. 175-186 (22. maaliskuuta 1950). [ lue verkossa ]
Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "Räjähdysaallon muodostuminen erittäin voimakkaalla räjähdyksellä. I. Teoreettinen keskustelu" Proceedings of the Royal Society of London. Sarja A, Matematiikka ja fysiikka , Voi. 201, nro 1065, s. 159-174 (22. maaliskuuta 1950). [ lue verkossa ]
Neumann, John von, "Pistelähteen ratkaisu", John von Neumann. Collected Works , toimittaja AJ Taub, Voi. 6 [Elmsford, NY: Permagon Press, 1963], sivut 219 - 237.
Sedov, LI, "Vahvojen iskuaaltojen leviäminen", Journal of Applied Mathematics and Mechanics , Voi. 10, sivut 241 - 250 (1946).
Latter, R., "Samankaltaisuusratkaisu pallomaiselle iskuaallolle", Journal of Applied Physics , Voi. 26, s. 954 - 960 (1955).
Lockwood-Taylor, J., "Tarkka ratkaisu pallomaisesta räjähdysaallon ongelmasta", Philosophical Magazine , Voi. 46, sivut 317 - 320 (1955).
Batchelor, George, The Life and Legacy of GI Taylor , [Cambridge, Englanti: Cambridge University Press, 1996], sivut 202 - 207. [ lue verkossa ]
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/CCValue?me
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mp
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mn
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt .
(in) Jean Maruani , Diracin Electron: kemiasta kvanttikosmologia Holistic Journal Kiinan Chemical Society vol.63 kysymys 1 , Taipei, Wiley-VCH Verlag GmbH,2016, 33--48 Sivumäärä ( DOI https://doi.org/10.1002/jccs.201500374 )
http://www.ptep-online.com/2019/PP-57-12.PDF
Francis M.Sanchez talletti tämän laskelman 4. maaliskuuta 1998 sinetöidyssä kannessa nro 17367 Tiedeakatemiassa (Ranska) viitteellä: DC / nro 17367, todisti Jack BLACHERE 11. maaliskuuta 1998.
(in) John Claude_Pecker ja Jayant_Narlikar (toimittajat), Ajankohtaista kosmologiassa , Cambridge, Cambridge University Press ,2006, 257--260 Sivumäärä ( ISBN 978-1-107-40343-7 )
Henri Poincaré , tiede ja hypoteesi , Pariisi, Flammarionin tieteellisen filosofian kirjasto ,1902
(in) Enzo O. Macagno , " Historical-Critical Review of dimensional analysis " , Journal of Franklin Institute , voi. 292, n ° 6,1971, s. 391–40 ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 , lue verkossa )
(en) Roberto De A. Martins , “ Dimensionional analysis ” , Journal of the Franklin Institute , voi. 311, n ° 5,yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, s. 331–7 ( DOI 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 , lue verkossa )
Tutkimus kiinteästä mekaniikasta, 1765 apud Dic. Phys. .
Lämmön analyyttinen teoria, vuodelta 1822, Dud . Phys. .
Theory of Sound , 1877 apud Dic. Phys. .
Stephen Finney Mason , Tieteiden historia , New York, Collier Books,1962( ISBN 0-02-093400-9 ) , s. 169
John J Roche , Mittauksen matematiikka: kriittinen historia , Springer,1998, 330 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-91581-4 , lue verkossa ) , s. 203.
James Clerk Maxwell , traktaatti sähköstä ja magnetismista ,1873, s. 4
James Clerk Maxwell , traktaatti sähköstä ja magnetismista ,1873, s. 45
Paroni John William Strutt Rayleigh , Ääniteoria , Macmillan ,1877( lue verkossa )
Joseph J Fourier , Lämmön teoria ,1822( lue verkossa ) , s. 156
James Clerk Maxwell , traktaatti sähköstä ja magnetismista, osa 1 ,1873( lue verkossa ) , s. 5

Katso myös

Bibliografia

Richard Taillet , Loïc Villain ja Pascal Febvre , fysiikan sanakirja , Bryssel, De Boeck ,2013, s. 25
Bernard Diu , fyysikon matematiikka , Pariisi, Odile Jacob ,2010, s. 109-256 (Kolmas osa "ulottuvuusanalyysi", neljäs ja viides osa).

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

(en) Fyysiset kokonaisuudet ja matemaattinen esitys . Chester H.Page, National Bureau of Standards -B: n tutkimuslehti. Matematiikka ja matemaattinen fysiikka. Vuosikerta 65B, nro 4, loka-joulukuu 1961.
(fr) n-luokan kahvila : John Baezin blogi ulottuvuusanalyyseistä.
(en) Fysiikan tutkiminen ulottuvuusanalyysillä
SI osoitteessa bipm.org
Jean Villey. Lämpötila ulottuvuusanalyysissä . J. Phys. Radium, 1944, 5 (8), s. 164-172 . <10.1051 / jphysrad: 0194400508016400>. <jpa-00233879>.
Dimensioanalyysin fyysinen perusta , Ain A.Sonin, MIT, 2001.
13 ulottuvuusanalyysiin liittyvät PDF-tiedostot .
(en) Ulottuvuusanalyysin fyysinen perusta , Ain A.Sonin, 2. painos, 2001.