Poskiontelot (matematiikka)

On geometria , sini olevan kulman , joka suorakulmaisen kolmion on pituuden suhde on vastakkaisella puolella, että kulma pituus hypotenuusan . Käsite ulottuu myös mihin tahansa geometriseen kulmaan (välillä 0-180 °). Tässä mielessä sini on luku välillä 0 ja 1. Jos otetaan käyttöön suuntauksen käsite, kulmat voivat saada minkä tahansa positiivisen tai negatiivisen arvon, ja sini on luku välillä -1 ja +1. Kulman $α$ sinusta merkitään $sin ( α )$ tai yksinkertaisesti $sin α$ .

On analyysi , sinifunktion on funktio todellinen muuttuja, joka, jokaisen todellisen α, liittää sini suunnattu kulman mittaus α radiaania . Se on pariton ja jaksollinen toiminto . Trigonometriset funktiot voidaan määritellä geometrisesti, mutta moderni määritelmät tunnettu siitä, että voima-sarja tai ratkaisuja differentiaaliyhtälöitä erityinen, jolloin niiden laajentaminen tahansa arvoja ja kompleksiluvut .

Sinifunktion käytetään yleisesti mallintaa määräajoin ilmiöitä , kuten ääniaaltoja tai valo tai lämpötilan muutoksia vuoden aikana.

Sanan alkuperä

Sana sinus on latinankielinen sana, joka merkitsee muun muassa onteloa tai taskua. Se johtui käännösvirheestä, että se johtui suorakulmion yhden sivun pituudesta. Matemaattinen käsite on peräisin jyā- ja koṭi-jyā (en) -käsitteistä , joita käytetään Intian tähtitieteessä Gupta- aikana (tutkielmassa Surya Siddhanta ). Toisin Kreikan geometers, kuten Claudius Ptolemaios , joka perusti trigonometrisia taulukoita laskemalla merkkijonon pituuden subtended kaari, Intian matemaatikot päättävät käyttää puoli-merkkijonon, ardha-jyās tai ardha-jiva vuonna sanskrit. , Pian lyhentää JYA tai jiva , joka myös tarkoittaa, yhteydestä riippuen, koko sointu.

Vuonna VIII : nnen vuosisadan arabit käännetty Intian tekstejä. He käännetty sana jiva varten koko merkkijonon watar , mutta piti Intian sana jiva nimeämään puoli-merkkijono, arabized muodossa جيب puomin tai Jaib . Voit XII : nnen vuosisadan arabien teokset käännettiin latinaksi ja Latinalaisessa kääntäjiä, kun sana جيب Jaib varten kaimansa arabiankielistä sanaa pesillä tai Samanlaiseen vaatteen, käänsi sen latinankielisestä sanasta jolla mielekästä lähelle, sivuonteloiden .

Sinus kulmasta

Sininen geometrinen kulma

Suorassa kolmiossa

Suunnistamattoman terävän mittauskulman $α$ sini (asteina välillä 0-90 °, radiaaneina välillä 0 ja 90 ° $π / 2$ , In laadut välillä 0 ja 100 g) on positiivinen reaaliluku 0 ja 1 välillä Se voidaan määritellä käytettäessä mielivaltainen oikeus kolmio , jossa yksi kulmat kuin oikea kulma on toimenpide $α$ .

Suorakulmion sivuja kutsutaan:

hypotenuusa : se on vastakkaisella puolella kulmassa, jalka mittauksen kulman $α$ ja pisin kolmion;
vastakkaisella puolella : se on vastakkaisella puolella mittauskulmasta $α$ , että etuja meille;
vierekkäiset : se on se puoli, joka on jalka mittaus- kulman $α$ , joka ei ole hypotenuusa .

Panemme merkille:

h : hypotenuusin pituus; o : vastakkaisen sivun pituus.

Joten:

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ akuutti {e}} \; vastakohta {\ akuutti {e}}}} {\ mathrm {hypot {\ akuutti {e}} nuse}}} = {\ frac {o} {h}}}

Tämä suhde ei riipu tietystä suorakulmiosta , joka on valittu mittauskulmalla $α$ , koska kaikki nämä suorakulmaiset kolmiot ovat samanlaisia .

Missä tahansa kolmiossa

Missä tahansa kolmiossa kulman ABC sinus on yhtä suuri kuin korkeuden A ja pituuden BA suhde. Se on myös yhtä suuri kuin C: n ja BC: n välisen korkeuden suhde: ${\ displaystyle \ sin {\ widehat {ABC}} = {\ frac {h_ {A}} {BA}} = {\ frac {h_ {C}} {BC}}}$ .

Tällöin tylpän kulman sini on yhtä suuri kuin lisäkulman sini.

Kulman sinin tunteminen antaa mahdollisuuden laskea kolmion pinta-ala: ${\ displaystyle Aire (ABC) = {\ frac {1} {2}} BA \ kertaa BC \ kertaa \ sin {\ widehat {ABC}}}$ .

Toisaalta kulman sini voidaan laskea heti, kun tiedämme kolmion sivut ja pinta-alan (kolmion pinta-ala voidaan laskea Heronin kaavalla tai ristitulon ansiosta ): ${\ displaystyle \ sin {\ widehat {ABC}} = {\ frac {2 \, Aire (ABC)} {BA \ kertaa eaa.}}}$ .

Kolmion kolmen kulman sinit liittyvät toisiinsa sinilain mukaan . Jos merkitsemme $a: lla$ , $b: llä$ ja $c: llä$ pisteitä A, B ja C ja R vastakkaisia sivuja kolmioon ympyröidyn ympyrän säteen , meillä on: ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ hat {A}}}} = {\ frac {b} {\ sin {\ hat {B}}}}} = {\ frac {c} {\ sin {\ hat {C}}}} = 2R}$ .

Historialliset maamerkit

Trigonometriset taulukoita käytetään antiikin Mesopotamiassa , The Kreikan Empire , ja Intian niemimaalla , vuonna Pallotrigonometria tähtitieteellisiin laskelmia. Heille kyse on pituuksista, jotka liittyvät ympyrän kaareihin, joiden säde on annettu. Ensimmäisissä taulukoissa käytetään ympyrän kaaren sointua . Yksi taulukoiden laskettiin Hipparkhos vuonna II : nnen vuosisadan eaa. JKr , mutta yhtään kopiota ei ole saapunut meihin. Että Claude Ptolémée ilmestyy hänen Almagest ja sen kehitykseen voitaisiin innoittamana että Hipparkhos. Intiaanit myös alkaa työskentelemällä merkkijono taulukoita, jota he kutsuvat JYA tai jiva . Sitten he haluavat työskennellä mieluummin uuden määrän kanssa, yksinkertaisemman laskelmissa, mikä vastaa kaksinkertaisen jousen puolikaistaa. He kutsuvat tätä määrää ardha-jyaksi tai puolijonoksi , sitten vähitellen termiä jya tarvitaan kaksoisjousi puolijonoon . Termin ottavat sitten arabit, jotka translitteroivat sen jibaksi, joka kehittyy jaibiksi . Gérard de Cremonan arabialaisten kirjoitusten käännöksen aikana tämä termi muuttuu lopullisesti: Gérard de Cremona sekoittaa sen arabiankieliseen termiin, jolla on sama konsonanssi, jolla on merkitys "rinta", "kahva" tai "ontelo", ja kääntää sen vastaavalla latinankielisellä sanalla sinus .

Ensimmäinen sine taulukot tunnettuja ovat ne Siddhantas kuten Surya Siddhanta (lopussa IV : nnen vuosisadan alussa V th -luvulla) ja niille Aryabhata VI th -luvulla . Aryabhata olettaa, että 24 : nnen osan neljänneksessä, voimme sekoittaa pituus kaaren ja poskionteloiden. Kolmasosa neljänneksestä ympyrästä vastaa 30 ° kulmaa , jonka sinus on ilmeinen: puolisäde. Ja sitten saada 24 : nnen kvadrantin, yksinkertaisesti jakamalla 2-3 kertaa alkuperäisen kulma. Aryabhata pystyy Pythagoraan lauseen ansiosta laskemaan kulman puolikkaan sinin. Se vie ympyrän, jonka säde on 3438, joka johtaa silloin käytetyn π-arvon (3.141 6) ympärysmittaan 21600 (huomataan, että täysi kulma vastaa 360 ° tai 21600 minuuttia). Se antaa tälle säteen arvolle kaarien, joiden pituus on $n \times 225$ , 24 arvoa . Intialaiset tarjoavat myös sinitaulukoita ympyröille, joiden säde on 60, 150, 120 ... Tämä tapa rakentaa sinitaulukoita, jotka vastaavat ympyrää, jonka sädettä, mielivaltaisesti kiinnitettynä, kutsutaan "täydelliseksi siniksi", jatkuu Euroopassa. XVIII nnen vuosisadan.

Sinus suunnatusta kulmasta

Sinin suunnattu kulman mittaus $α$ on todellinen luku välillä -1 ja 1. Tässä koneessa on suunnattu trigonometriset suuntaan .

Yksikkö ympyrä on ympyrän säde 1, keskitetty alkuperä $(0, 0)$ on suorakulmaisen koordinaatiston .

Tarkastellaan välisessä leikkauskohdassa puoli-tuleva linja alkuperästä, joka tekee mittauksen kulman $α$ kanssa puoli-akselin $(O x )$ , ja yksikkö ympyrä. Sitten tämän leikkauksen pystysuora komponentti on yhtä suuri kuin $sin ( α )$ . Tämä määritelmä on sama kuin edellinen, kun $α$ on positiiviseen suuntaan suuntautuvan keskeisen kulman mitta, ja päätämme tämän edellisestä huomauttamalla, että kulman suuntauksen muutos saa aikaan sinusmerkin muutoksen.

On mahdollista määrittää suoraan käyttämällä determinanttia orientoidun kulman sini kahden vektorin välillä, joiden koordinaatit tiedämme: varten ja meillä on: ${\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y)}$ ${\ displaystyle {\ vec {vb}} (x ', y')}$ ${\ displaystyle \ sin {\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}} = {\ frac {\ det ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}) } {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ |}} = {\ frac {xy'-yx '} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ sqrt {x '^ {2} + y' ^ {2}}}}}}$ . Tällainen tasa-arvo voidaan osoittaa, jos otamme itsestäänselvyytenä sinin eron trigonometrisen kaavan . Kysy vain ${\ displaystyle x = r \ cos \ theta \ quad y = r \ sin \ theta \ quad x '= r' \ cos \ theta '\ quad y' = r '\ sin \ theta'}$ ja huomaa sen ${\ displaystyle {\ frac {\ det ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})} {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | }} = {\ frac {r \ cos \ theta \, r '\ sin \ theta' -r \ sin \ theta \, r '\ cos \ theta'} {rr '}} = \ sin (\ theta' - \ theta) = \ sin ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}})}$ .

Sinusfunktio

Määritelmät

Trigonometrisestä ympyrästä

Jos suunnatut kulmat mitataan radiaaneina, funktiota, joka yhdistää todelliseen α, suunnatun mittauskulman α radiaaneja sinin, kutsutaan sinifunktioksi.

Suunnattujen kulmien geometristen ominaisuuksien havaitseminen antaa meille mahdollisuuden päätellä identiteetit $sin (- α ) = -sin ( α )$ (sinifunktio on siis pariton ), $sin ( α + π) = -sin ( α )$ ja $sin ( α + 2π) = sin ( α )$ (sinifunktio on siis jaksollinen jakson 2π kanssa).

Koko sarjasta

On analyysi , toiminto $sin$ on määritelty joukko ℝ on todellinen määrä , jonka sarja , jossa osoitetaan, että se konvergoi kaikkien ℝ:

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + (- 1) ^ { k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} + \ cdots = \ summa \ rajoittaa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {(- 1) ^ { n}} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}

;

osoitamme myös, että tämä määritelmä on sama kuin edellinen kun kulmat mitataan radiaaneina.

Jaksotus derivoituvuus ja jatkuvuutta sitten perustama sarja teoriaa , koska ovat Euler kaavat monimutkainen analyysi yhdistää trigonometriset toiminnoista eksponenttifunktiota sekä Eulerin identiteetti . Tätä määritelmää käytetään usein lähtökohtana tiukoissa analyyseissä ja se sallii luvun $π määrittelyn$ .

Sarjaa käyttävä määritelmä mahdollistaa sinifunktion laajentamisen analyyttiseksi funktioksi koko kompleksitasolla .

Liuoksena, joka differentiaaliyhtälön

Koko edellinen sarja on ainutlaatuinen ratkaisu Cauchyn ongelmaan :

{\ displaystyle y '' = - y, \ quad y (0) = 0, \ quad y '(0) = 1}

mikä muodostaa siis sinifunktion vastaavan määritelmän.

Ominaisuudet

Vastavuoroinen

Trigonometriset toiminnot eivät ole bijektiivisiä (eivät edes injektoivia , koska ne ovat jaksollisia ); he eivät siis myönnä vastavuoroisia bijektioita . Vuonna rajoittavat tietyt väliajoin sekä lähtö- ja saapumisaika , trigonometriset funktiot voi toteuttaa bijections. Vastavuoroinen arcsiinihakemus määritetään seuraavasti:

kaikille todellisille $x: lle$ ja $y$ : lle:

{\ displaystyle y = \ arcsin x}

jos ja vain jos

{\ displaystyle \ sin y = x {\ text {et}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}

$Arcsin$ toiminto on siis bijektio päässä $[-1, 1]$ päälle $[-π / 2, π / 2]$ ja täyttää

\ forall x \ sisään [-1,1] \ quad \ sin (\ arcsin x) = x

{\ displaystyle \ forall y \ in \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right] \ quad \ arcsin (\ sin y) = y}

. Johdannainen

Johdannainen sini funktio on kosini funktio :

${\ displaystyle \ sin '= \ cos}$ .

Tämä ominaisuus on välitön sini- ja kosini-funktioiden kokonaislukusarjojen määritelmien kanssa. Päätämme erityisesti siitä ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = \ sin '0 = \ cos 0 = 1}$ .

Päinvastoin, tämä raja voidaan päätellä geometrisesta määritelmästä (vrt. § ”Rajat” ) ja käyttää sitä sitten johdannaisen laskemiseen.

Integraali

Primitiivinen on $synti$ on $-cos$ , joka on kirjoitettu: ${\ displaystyle - \ cos '= \ sin.}$ Toisin sanoen : kaikille $x 0$ ,

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ sin t ~ {\ rm {d}} t = - \ cos x + C}

missä on "integraatiovakio". ${\ displaystyle C = \ cos x_ {0}}$

Rajat

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ - 0} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = 1}$ ( katso yllä ).
${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ - + \ infty} {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = 0}$ .

Erityiset arvot

Alla olevassa taulukossa näkyvät arvot vastaavat kulmia, joihin neliöjuuria käyttävä lauseke on mahdollinen, ja tarkemmin mitä Wantzelin lause koskee; lisätietoja on artikkelissa Erityisten trigonometristen arvojen minimipolynomi .

x (kulma)			synti x		y (lisäkulma)
Tutkinnot	Radiaanit	Riveissä	Tarkka	Desimaali	Tutkinnot	Radiaanit	Riveissä
0 °	0	0 g	0	0	180 °	$\ pi$	200 g
15 °	$\ frac {\ pi} {12}$	16 2 ⁄ 3 g	$\ frac {\ sqrt {6} - \ sqrt {2}} {4}$	0,258819045102521	165 °	${\ frac {11 \ pi} {12}}$	183 1 / 3 g
18 °	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$	20 g	${\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}$	0,309016994374947	162 °	${\ displaystyle {\ frac {9 \ pi} {10}}}$	180 g
30 °	$\ frac {\ pi} {6}$	33 1 ⁄ 3 g	${\ frac {1} {2}}$	0.5	150 °	$\ frac {5 \ pi} {6}$	166 2 / 3 g
36 °	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {5}}}$	40 g	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	0,5877852523	144 °	${\ frac {4 \ pi} {5}}$	160 g
45 °	$\ frac {\ pi} {4}$	50 g	$\ frac {\ sqrt {2}} {2}$	0,707106781186548	135 °	${\ frac {3 \ pi} 4}$	150 g
54 °	${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {10}}}$	60 g	${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}}}$	0,809016994374947	126 °	${\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {10}}}$	140 g
60 °	$\ frac {\ pi} {3}$	66 2 ⁄ 3 g	${\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$	0,866025403784439	120 °	${\ frac {2 \ pi} 3}$	133 1 / 3 g
75 °	$\ frac {5 \ pi} {12}$	83 1 ⁄ 3 g	$\ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4}$	0,965925826289068	105 °	${\ frac {7 \ pi} {12}}$	116 2 / 3 g
90 °	${\ frac {\ pi} {2}}$	100 g	1	1

Suhde kompleksilukuihin

Sini käytetään määrittämään imaginaariosan on kompleksiluvun $z$ annetaan polaariset koordinaatit , sen moduuli $r$ ja sen argumentti $φ$ :

$z = r (\ cos \ varphi + {{\ rm {i}}} \ sin \ varphi)$ missä $i$ tarkoittaa kuvitteellista yksikköä .

$Z: n$ kuvitteellinen osa on ${{\ rm {Im}}} (z) = r \ sin \ varphi.$

Erityisesti

{\ displaystyle \ sin \ varphi = \ operaattorin nimi {Im} ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ varphi}).}

Sinusit monimutkaisella argumentilla

Sinifunktion määritelmä kokonaislukusarjana ulottuu monimutkaisiin argumentteihin $z$ ja antaa kokonaisfunktion :

{\ aloita {tasattu} \ sin z & = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {{n}}} {(2n + 1)!}} z ^ {{2n + 1}} \\ & = {\ frac {{{\ \ rm {e}}} ^ {{{{{{\ rm {i}}} z}} - {{\ rm {e}} } ^ {{- {{\ rm {i}}} z}}} {2 {{\ rm {i}}}}}}, \\ & = {\ frac {\ sinh \ vasemmalle ({{\ rm {i}}} z \ oikea)} {{\ rm {i}}}} \ loppu {tasattu}}

tai:

{\ displaystyle \ sin ({\ rm {i}} z) = {\ rm {i}} \ sinh z}

missä $sinh$ tarkoittaa hyperbolista sinifunktiota .

Joskus on hyödyllistä ilmaista se argumentin todellisina ja kuvitteellisina osina: $x: lle$ ja $y: lle$ todellinen,

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (x + {\ rm {i}} y) & = \ sin x \ cos {\ rm {i}} y + \ cos x \ sin {\ rm {i} } y \\ & = \ sin x \ cosh y + {\ rm {i}} \ cos x \ sinh y. \ loppu {tasattu}}}

Kompleksisen sinuksen osittainen jae ja sarjakehitys

Käyttäen tekniikkaa kehittää yksinkertainen elementtien (in) meromorfinen funktio , voidaan löytää ääretön sarja :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}} = \ summa _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {zn} } = {\ frac {1} {z}} - 2z \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2} -z ^ { 2}}}}

Löydämme myös

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ pi z}} = \ summa _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(zn) ^ {2}}}}

Tuotekehityksen tekniikkaa käyttämällä voimme johtaa

{\ displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vasen (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ oikea )}

.Monimutkaisen sinuksen käyttö

$sin z$ löytyy funktionaaliyhtälö varten gammafunktion , kutsutaan komplementin kaava ,

\ Gamma (s) \ Gamma (1-s) = {\ pi \ yli \ sin \ pi s},

joka puolestaan piilee funktionaaliyhtälö varten Riemannin Zeta funktio ,

{\ displaystyle \ zeta (s) = 2 (2 \ pi) ^ {s-1} \ Gamma (1-s) \ sin (\ pi s / 2) \ zeta (1-s)}

Kuten kaikki holomorfiset toiminnot , $sin z$ on harmoninen , ts. Ratkaisu kaksiulotteiseen Laplace-yhtälöön :

{\ displaystyle \ Delta u (x, y) = 0}

.Monimutkainen grafiikka Sinusfunktio kompleksitasossa


todellinen osa	kuvitteellinen osa	moduuli

Valokaaren sinifunktio kompleksitasossa


todellinen osa	kuvitteellinen osa	moduuli

Numeerinen laskenta

Sinin tai kosinin laskemiseksi ei ole vakiomenetelmää; etenkään IEEE 754-2008 -standardi ei tarjoa mitään. Algoritmin valinta on kompromissi tulojen nopeuden, tarkkuuden ja laajuuden välillä, erityisesti mahdollisuus laskea arvo suurille numeroille (suuri 2π radiaanin edessä tai 360 astetta). Sarjakehitystä käytetään hyvin vähän, koska se ei toimi hyvin.

Yksi yleinen menetelmä on arvojen ennakkolaskenta ja tallentaminen hakutaulukkoon ; funktion palauttama arvo on silloin matriisiin lähintä merkintää vastaava arvo, tai muuten tarkasteltavaa kulmaa ympäröivien kahden arvon lineaarinen interpolointi . Tätä menetelmää käytetään laajalti 3D- synteettisten kuvien tuottamiseen .

Tieteelliset laskimet käyttävät yleensä CORDIC- menetelmää .

Useissa tapauksissa toteutetut toiminnot ilmaisevat sisääntulokulman puolikierrosten lukumääränä eikä radiaaneina (yksi puolikierros on yhtä suuri kuin π radiaani). Itse asiassa π on irrationaaliluku , joten sen arvo esittää pyöristysvirheitä perustasta riippumatta; teemme siten vähemmän syöttövirheitä puhumalla 0,25 puolikierrosta kuin puhumalla π / 4 radiaaneista.

Bibliografia

(en) Jerrold Marsden ja Alan Weinstein , luku. 5 ”Trigonometriset toiminnot” , Calculus I , Springer,1985( online-esitys , lue verkossa ) , s. 231-306

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Sine " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Suluilla olevat merkinnät ovat aina oikein. Lyhyempi merkintätapa on hyväksyttävä vain, jos argumentti on yksinkertainen: voimme kirjoittaa $syn ( α )$ tai $sin α$ , mutta välttämättä $sin (2 α ) ja sin ( α + β )$ .
Löydämme tämän merkityksen anatomiasta, esimerkiksi leuan sinusille
(in) Carl B. Boyer ja Uta Merzbach , A History of Mathematics , John Wiley & Sons ,2011, 3 ja toim. ( 1 st toim. 1968), 688 s. ( ISBN 978-0-470-63056-3 , lue verkossa ) , luku . 11.
(in) BA Rosenfeld, historia Epäeuklidinen geometria, kehitys käsite tilaa geometrric , New York / Berlin / Heidelberg, Springer-Verlag ,1988, 471 Sivumäärä ( ISBN 3-540-96458-4 ) , s. 11
Alain Rey, Ranskan kielen historiallinen sanakirja , t. MZ, Le Robert,1992, 2383 Sivumäärä ( ISBN 2-85036-187-9 ) , s. 1951.
Marie-Thérèse Debarnot ( ohjaaja ), "Trigonometria" , julkaisussa Arabitieteiden historia: matematiikka ja fysiikka , t. 2,1997, s. 163
(in) Bibhutibhusan Datta ja Avadesh Narayan Singh, " Hindu trigonometria " , Indian Journal of History of Science , n o 18 (1)1983, s. 38-109 ( luettu verkossa , tutustunut 17. maaliskuuta 2017 ), s. 40
(in) Uta C. Merzbach ja Carl B. Boyer , A History of Mathematics , Hoboken, Wiley ,2011, 3 ja toim. ( 1 st toim. 1968), 688 s. ( ISBN 978-0-470-63056-3 , lue verkossa ) , luku . 10 ("Muinainen ja keskiaikainen Intia, § Siddhantas").
Kim Plofker ( toim. ), "Mathematics in India" , julkaisussa The Egyptian, Mesopotamia, Kiina, Intia ja islamin matematiikka: lähdekirja , Princeton University Press,2007, s. 407-409
Jean-Pierre Friedelmeyer ( toim. ), "Taustaa ja syitä ihmeelliselle keksinnölle" in History of logarithms , Ellipses,2006( ISBN 9782729830274 ), s. 43
Katso esimerkiksi Jean-Charles de Bordan desimaalitrigonometrinen taulukko , jossa selitetään s. 40 että vuosineljänneksen (eli yhden asteen) sadasosan desimaalilogaritmi on 8.196111, joka vastaa ympyrää, jonka säde on 10 10 , ja joka arvioi p: n. 29 , siniluvun desimaalilogaritmi arvoltaan 69,48 gradusta arvoon noin 9,948 tai sini 8 871 560 120.
Katso esimerkiksi F. Dupré, ” Valmistautuminen sisäiseen aggregaatioon - trigonometria ” .
Paul Zimmermann , " Voimmeko luottaa kelluviin numeroihin? », Suuret tietotekniikan haasteet ,20. syyskuuta 2006, s. 14 ( lue verkossa )