Isoperimetria

In Euklidinen geometria , isoperimetry on alun perin ominaisuuksien tutkiminen geometrisia muotoja on tasossa , joka on sama kehä , joka sitten yleistää muihin Euclidean tiloihin .

Klassisin ongelma on erityisesti määrittää geometrinen taso, joka maksimoi sen alueen kiinteällä kehällä. Vastaus on intuitiivinen, se on levy , mutta vaarattomasta ulkonäöltään huolimatta tämä ongelma vaatii hienostuneita teorioita tiukan esittelyn saamiseksi (erityispiirre, jonka se jakaa esimerkiksi Jordanian lauseen kanssa, mikä osoittaa, että ylittämättä piirretty silmukka jakaa suunnitelman kahteen osaan. osat). Tästä syystä isoperimetristä ongelmaa yksinkertaistetaan joskus rajoittamalla sallittuja pintoja esimerkiksi rajoittamalla itsensä vain nelikulmioihin tai kolmioihin , jotka antavat sitten neliön ja tasasivuisen kolmion . Yleensä polygoni, jossa on n sivua, joilla on suurin pinta-ala tietyllä kehällä, on se, joka on lähinnä ympyrää  : säännöllinen monikulmio .

Isoperimetria on yleistetty eri geometrioille. Esimerkiksi puolitason tapauksessa tietyn kehän maksimialueen vyöhyke on puolilevy. Dimensiossa 3 on kyse suurimman tilavuuden kiinteän aineen löytämisestä kiinteän mittauspinnan ympäröimänä; saippuakupla , joka ratkaisee päinvastainen ongelma "etsivät" minimoimaan pintaan, jolla se ympäröi tietty määrä ilmaa, kertoo ratkaisu: pallo .

Tämä käsite synnyttää perheen lauseiden kutsutaan isoperimetric lauseet , korotuksiin tunnetaan isoperimetric epätasa , sekä suhteessa, kutsutaan isoperimetric osamäärä . Dimensiossa 2 isoperimetrinen epätasa-arvo osoittaa, että pinta, jonka kehä p ja pinta-ala a, tyydyttää kasvun  ; vasemmalla oleva termi on isoperimetrinen osamäärä, joka on yhtä suuri kuin 1 vain levyn tapauksessa. 4πklos2≤1{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi a} {p ^ {2}}} \ leq 1}

Jos tämän kysymyksen alkuperä on vähintään 2900 vuotta vanha, kysymys ratkaistiin lopullisesti muinaisessa muodossa vasta vuonna 1895 Minkowskin lauseesta johdettujen menetelmien avulla . Nämä menetelmät mahdollistavat isoperimetrisen lauseen todistamisen ja yleistämisen korkeammille ulottuvuuksille euklidisen geometrian tapauksessa .

Tämä artikkeli käsittelee vain tämän kysymyksen perustekijöitä. Joitakin vastauksia, joissa käytetään kehittyneempiä matemaattisia työkaluja, ehdotetaan artikkelissa Isoperimetrinen lause .

Katkelmia historiasta

Legendan mukaan Karthagon kaupunki perustettiin vuonna814 eKr J.-C.Foinikialainen prinsessa Elissa, lempinimeltään Dido . Hän pyysi Numidia Iarbasin kuninkaalta myöntämään maata asumaan sinne. Iarbas vastahakoisesti myönsi hänelle oikeuden valita maa-alue, joka voisi sisältää härän ihon . Dido leikkasi ihon ohueksi nauhaksi, josta tuli 4 km pitkä pitkä hihna. Hänellä oli tämä remmi venytettynä puoliympyränä, jonka kaksi päätä kosketti kylkiluuta, suoraan siellä missä se oli. Kuningatar oli intuitiivisesti löytänyt ratkaisun isoperimetriseen ongelmaan euklidisella puolitasolla . Tämä ongelma ratkaistaan, kun tietylle kehälle löytyy suurin mahdollinen pinta. Puoliympyrä on itse asiassa käyrä, jota hihnan on noudatettava suurimman mahdollisen pinnan rajaamiseksi tässä nimenomaisessa tapauksessa.

Menetelmä alueen mittaamiseksi sen kehällä oli yleinen muinaisessa Kreikassa . Homer ilmoittaa, että Troijan kaupunki ottaa 10200  askelta , mikä osoittaa, että kiertäminen vaatii 10 200 askeleen kävelyn. Ratkaisussa isoperimetric ongelma euklidisessa tasossa tunnetaan joitakin varten V : nnen  luvun  BC. AD , ainakin monikulmion tapauksessa, jossa on n sivua. Siinä on isoperimetrisen lauseen nimi . Kreikkalaisten aikoina kaikki eivät näyttäneet olevan tietoisia tästä tuloksesta ja sen seurauksista. Proclos ( 412 - 495 ) muistuttaa vielä huijaaminen katsastajien vuodelta tällä kaudella. Maa jaettiin eri tontteihin samalla kehällä, mutta eri pinnoilla. Suurimmat tontit saivat jakamisesta vastaavat mittaajat. Petos havaittiin sadonkorjuun aikana, jonka runsaus on verrannollinen alueeseen eikä kehään.

Theon Alexandria ( 335 - 405 ) ja Pappus IV th  luvulla johtuvan Zenodorus II th  luvulla  eaa. JKr ensimmäiset mielenosoitukset. Hän todistaa, että kaikkien polygonien joukossa, joissa on n sivua ja sama kehä, vain säännöllinen on ehdokas vastaamaan isoperimetriseen ongelmaan. Hän huomaa myös, että tietyn kehän levyn pinta-ala on suurempi kuin minkä tahansa säännöllisen monikulmion. Hän olisi myös osoittanut, että pallo on kiinteä aine, jolla on suurempi tilavuus kuin millä tahansa saman pinnan polykedrillä .

Kreikkalaisilla matemaatikoilla ei ole keinoja ylittää tätä. Heidän mielenosoituksensa ovat edelleen osittaisia, vaikka heidän kirjoittajansa eivät olisikaan tietoisia todisteiden puutteellisuudesta. Heillä ei ole myöskään matemaattisia työkaluja, jotka olisivat mahdollistaneet edistyksen. Arab matemaatikot anastaa tietoon kreikkalaiset tässä asiassa. Abū Ja'far al-Khāzin kirjoitti tutkielman, jossa tiivistettiin kaikki aikansa tiedot isoperimetriasta. He kehittävät keinoja mennä pidemmälle. Nasir al-Din Tusi , matemaatikko ja XIII : nnen  vuosisadan , kehitti hänen translitteratio, nelisivuinen , tarpeeksi trigonometriaa toimita aukottomia todisteita tapauksessa kolmioiden tai suorakaiteen.

Vasta Euroopan matematiikan XIX : nnen  vuosisadan jatkokehitykselle. Vuonna 1836 , Jakob Steiner saatu ensimmäinen uusi tulos. Silloin kun myönnetään ratkaisun olemassaolo dimensiossa 2, tämä ratkaisu on välttämättä levy. Täydellisen todistuksen saamiseksi ulottuvuudesta 2 meidän on odotettava Karl Weierstrassin ja Hermann Minkowskin työtä  ; se muuttuu tiukaksi noin vuonna 1895 . Tätä tarinan osaa käsitellään artikkelissa Isoperimetrinen lause .

Määritelmät ja ensimmäiset ominaisuudet

Ulottuvuus 2

Olkoon P n olla monikulmio , jossa on n- sivut, jossa n merkitsee kokonaislukua suurempi kuin 2, p sen kehä ja n sen alueen. Tässä nimenomaisessa tapauksessa isoperimetrinen lause ilmaistaan ​​seuraavassa muodossa:

Isoperimetric lause varten monikulmion  -  alue P n on pienempi kuin säännöllinen monikulmio, jossa on n- puolelta ja kehä s . Levy on kehä p pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin P n .

Tämä lause voidaan ilmaista eriarvoisuuden muodossa:

Isoperimetrinen epätasa-arvo monikulmion suhteen  -  Meillä on seuraava eriarvoisuus:

4πkloei<4eirusketus⁡πeikloei≤s2.{\ displaystyle 4 \ pi a_ {n} <4n \ tan {\ frac {\ pi} {n}} a_ {n} \ leq p ^ {2}.}

Tämä ominaisuus on hyvin yleinen; se pysyy totta minkä tahansa alueen a pinnan kanssa , jolla on oikaistava reuna , jonka pituus on p , eli reuna on käyrä, jolla on rajallinen pituus.

Isoperimetrinen lause euklidisessa avaruudessa , ulottuvuus 2  -  Pinta-ala a on pienempi kuin levyllä, jolla on sama kehä p , mikä aiheuttaa seuraavan kasvun, jota kutsutaan isoperimetriseksi epätasa- arvoksi . Yhtälö tapahtuu vain, jos pinta on levy.

s2-4πklo≥0.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq 0.}

Tämä lause antaa määritelmän:

Isoperimetrinen osamäärä  -  Seuraavan yhtälön määrittelemää osamäärää q kutsutaan isoperimetriseksi osamääräksi:

q=4πklos2.{\ displaystyle q = 4 \ pi {\ frac {a} {p ^ {2}}}.}

Voimme tulkita tämän osamäärän sellaisen ympyrän säteen välisen suhteen neliöksi, jolla on sama alue saman ympyrän säteellä, jolla on sama kehä. Isoperimetrinen epätasa-arvo vastaa sanomista, että q on alle 1, tasa-arvotapausta esiintyy vain, jos pinta on levy.

Ulottuvuus 3

Dimensiossa 3 ei voida lähestyä palloa tarkemmin säännöllisen kuperan polyhedran avulla . Platonisia kiintoaineita on vain 5 . Yleinen tulos pysyy kuitenkin totta:

Isoperimetrinen lause 3-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa  -  Antaa olla mitattavissa oleva kiinteä siinä mielessä, että Lebesguella on mitattava reuna , sen tilavuus on pienempi kuin sellaisen pallon pallolla, jonka pallolla on sama alue.

Huomaa : Tässä kiinteän aineen reuna on pinta, kuten pallo on pallon reuna.

Isoperimetrinen eriarvoisuus ilmaistaan ​​käyttämällä isoperimetristä osamäärää q . Se osoittaa, että tämä kerroin on aina pienempi kuin 1 ja tasa-arvo esiintyy vain pallolla. Kerroin q ilmaistaan ​​seuraavassa muodossa, jos v tarkoittaa kiinteän aineen tilavuutta ja s kiinteän aineen reunan pinta-alaa:

q=36πv2s3.{\ displaystyle q = 36 \ pi {\ frac {v ^ {2}} {s ^ {3}}}.}

Tätä kaavaa kommentoidaan artikkelin mukaisesti ikosaedrin esimerkillä.

Perustulokset

Johdanto

Vasemmalla puolella olevassa kaaviossa on neljä kuvaa, joista kolme on monikulmainen ja kaikilla on sama kehä. Suurimman pinta-alan löytäminen ei ole aina helppoa. Historia osoittaa jopa, että joillekin kreikkalaisille ajatus siitä, että kahdella samankokoisella käyrällä rajattavalla alueella voisi olla eri alueita, oli intuitiivinen.

Jos todiste on yleensä riittävän monimutkainen vaatiakseen lähes 3000 vuoden ponnistelua, vain monikulmioiden tapauksen käsittely on yksinkertaisempaa. Perusratkaisut ovat olleet tunnettuja antiikin ajoista lähtien, vaikka ne olisivatkin osittaisia. Ne esitetään täällä modernilla kielellä.

Kirjain n tarkoittaa kokonaislukua, joka on suurempi kuin 2, ja p on ehdottomasti positiivinen reaaliluku. Ratkaistava kysymys on löytää polygoni, jolla on n sivua ja kehä p , jolla on suurin alue. Huomaa, että riittää, että haetaan vain kuperista polygoneista . Termi kupera tarkoittaa tässä, että monikulmion ympärillä oleva kuminauha on aina kosketuksessa sen reunaan. Harkita, itse asiassa, ei-kupera monikulmio P 1 , esimerkiksi yksi esitetty kuvassa oikealla, sininen. Sen kupera kirjekuori , eli luku, jolla raja, joka annetaan kuminauhaa ympäröivä monikulmio P 1 , on uusi monikulmio P 2 , tällä kertaa kupera. Monikulmio P 2 vastaa sitä, joka sisältää kuvan sinisen ja vihreän alueen. Sen pinta-ala on ehdottomasti suurempi ja ympärysmitta tarkasti pienempi. Laajennus on hyvin valittu suhde, välttämättä suurempi kuin 1, sovelletaan P 2 määritellään uusi monikulmio P 3 , jolla on sama kehä kuin P 1 . Alue P 1 on ehdottomasti pienempi kuin P 2 , itse tiukasti pienempi kuin P 3 . Polygonilla P 3 on sama kehä kuin P 1: llä ja sen pinta-ala on ehdottomasti suurempi. Olemme päätellä, että P 1 ei ehdokas vastata isoperimetric ongelma.

Nelikulmainen

Tämä tapaus vastaa tapausta, joka voidaan täysin ratkaista ilman muuta tietoa kuin kreikkalaisten matemaatikoiden.

Nelikulman tapaus  -  Ainutlaatuinen nelikulma, jonka ympärysmitta p ja tämän kehän suurin pinta-ala on neliö, jonka sivu on p / 4.

Alueen neliön on yhtä suuri kuin p 2 /16 perustelukappaleissa. Nimittäjä 16 on suurempi kuin 4π. Me päätellä, jos 4 on alue nelisivuisen kehä p  :

klo4≤s216<s24π.{\ displaystyle a_ {4} \ leq {\ frac {p ^ {2}} {16}} <{\ frac {p ^ {2}} {4 \ pi}}.}

Todisteessa käytetään lemmaa, joka on hyödyllinen minkä tahansa polygonin isoperimetriselle ongelmalle:

Lemma 1  -  Kaikista kolmioista, joiden pohja on AB , viimeinen kärki C ja kehä p , sellaisen etäisyyden AC, joka on yhtä suuri kuin CB, pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin kaikkien muiden. Kolmio on silloin välttämättä tasakylkinen .

Esittely

Ensinnäkin, lemma on osoitettava, se on tämän artikkelin monien todisteiden selkäranka.

• Kaikista kolmioista, joiden pohja on AB , viimeinen kärki C ja ympärysmitta p , sellaisen, jonka etäisyys AC on yhtä suuri kuin CB, pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin kaikkien muiden:

Lemmakolmio on esitetty mustalla vasemmalla olevassa kuvassa. Oletetaan, että sillä on kaksi eripituista puolta, tässä AC ja BC . Olkoon h kolmion korkeus suhteessa pohjaan AB , joka on esitetty vihreällä kuvassa, ja D piste samalla korkeudella C: n kanssa, joka sijaitsee linjalle AB kohtisuorassa ja joka leikkaa AB : n sen keskellä. Δ on etäisyys D: n ja C: n välillä . Oletuksen mukaan pituus δ ei ole nolla, muuten AC ja BC olisivat saman pituisia.Ensimmäinen vaihe on osoittaa, että kolmio ABD on samalla alueella kuin alkukolmio ABC ja tarkasti pienempi. Koska näiden kahden kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin A: n ja B: n välisen etäisyyden ja puolet h: n tulo , nämä kaksi pinta-alaa ovat todellakin yhtä suuret. Vielä on osoitettava, että BDA: n kehä on pienempi kuin BCA: n . Riittää, kun noudatetaan Fermatin periaatetta . Kevyt säde peräisin pisteestä , mikä on esitetyssä peilissä violetti oikealla Δ (vastaa yhdensuuntainen AB ja kulkee C ja D ), ja joka valaisee pisteen B käyttää lyhintä reittiä, joka kulkee D . Sen osoittamiseksi riittää, että piste E on symmetrinen B : n suhteen akseliin A nähden. E: n ja D: n välinen etäisyys on sama kuin B: n ja D: n välillä , päätellään, että etäisyys ADE on sama kuin ADB . Samoin etäisyys ACE on sama kuin ACB . Nyt on aivan selvää, että ADE on lyhyempi kuin ACE , koska kolme pistettä A , D ja E ovat linjassa. Toinen vaihe on rakentaa kolmio ABF , jonka kehä ja pinta-ala on sama kuin alkuperäinen kolmio. Otetaan piste F , joka on kohtisuorassa AB: n kanssa ja kulkee D: n läpi (vihreällä oikealla olevassa kuvassa) ja sellainen, että kahden segmentin AF ja FB pituus on sama kuin kahden segmentin AC ja CB . Koska kolmion AFB ja kolmion ACB ympärysmitta on sama, tiukasti suurempi kuin kolmion ADB , piste F on korkeampi kuin D , toisin sanoen AF on ehdottomasti suurempi kuin AD , tai kolmion AFB pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin kolmio ADB . Lisäalue on merkitty vaaleanpunaisella. Olemme todellakin rakentaneet kolmion AFB , jonka kehä on sama kuin ACB ja jonka pinta-ala on ehdottomasti suurempi, mikä lopettaa todistuksen. Lisäksi on huomattava, että AB- kantaa ei ole muutettu.

Kun tämä lemma on muodostettu, siirrymme kuperasta nelikulmasta Q , pisteistä ABCD ja kehästä p . Jos tämä monikulmio ei ole neliö, osoitamme, että kehän p neliöllä on ehdottomasti suurempi pinta-ala. Päämääriemme saavuttamiseksi on mahdollista edetä timantin avulla, joka esittelee mielenosoituksen vaiheen.

• Jos nelikulmio Q ei ole rombo , on olemassa rombi Q 1, jolla on sama kehä ja ehdottomasti suurempi pinta-ala:

Tämä vaihe on itse jaettu kahteen vaiheeseen:Ensimmäinen on esitetty vasemmalla olevassa kuvassa, Q on vihreä. Nelisivuisella ABCD: llä on väistämättä kaksi vierekkäistä sivua, joilla on erilliset pituudet, muuten ABCD olisi rombo. Vaikka se merkitsisi kutakin kärkeen liittyvien kirjainten järjestyksen muuttamista, voimme aina olettaa, että AB ei ole yhtä suuri kuin BC . Käytämme lemmaa rakentamaan piste B 1 . Kolmion AB 1 C ympärysmitta on yhtä suuri kuin ABC, ja se on lisäksi tasakylkinen. Rakennamme D 1 samalla tavalla . Sinisen nelikulmion pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin alkuperäinen nelikulmainen, ja sillä on hyödyllinen ominaisuus muille. Etäisyys AB 1 on yhtä suuri kuin B 1 C , se on sama AD 1: lle ja D 1 C: lle . Toisin sanoen, molemmat pituudet D 1 AB 1 ja B 1 CD 1 ovat molemmat yhtä suuria kuin p / 2.Toinen vaihe, joka näkyy oikealla, on tarkka analoginen nelikulmiossa AB 1 CD 1 , mutta tällä kertaa kolmioissa D 1 AB 1 ja B 1 CD 1 . Rakennamme nyt sinisen nelikulman avulla punaisen, jota merkitään A 1 B 1 C 1 D 1 . Sivun A 1 B 1 pituus on puolet pituudesta D 1 AB 1 tai p / 4. Tämä päättely koskee kaikkia neljää puolta, jotka ovat kaikki yhtäläiset, mikä osoittaa, että punainen nelikulmio on rombo.Punaisen timantin, merkitty L: n, pinta-ala on suurempi kuin sinisen nelikulmion, itse alueen, joka on ehdottomasti suurempi kuin vihreän nelikulmion, ja kaikilla on sama kehä. Nelikulmiosta, joka ei ole romu, olemme todellakin rakentaneet romun, jolla on sama kehä ja tiukasti suurempi pinta-ala, mikä lopettaa mielenosoituksen.

Lopuksi riittää, että osoitetaan, että jos rombi L ei ole neliö, niin neliöllä C , jolla on sama kehä, on ehdottomasti suurempi pinta-ala.

• Kehän p rombien joukossa neliö on ainoa, jonka pinta-ala on suurin:

Pinta-ala vinoneliön on yhtä suuri kuin tuote sen emäksen, tässä pituus 1 D- 1 , sen korkeus. Määritämme pisteen B 2 pisteeksi etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin A 1 B 1, ja siten, että A 1 D 1 ja A 1 B 2 muodostavat suorakulman . Punaisesta timantti edellisen esittely, mennään sininen timantti 1 B 2 C 2 D 1 , joka sattuu olemaan neliö C kehä s . Korkeus tämän neliön suhteessa alustaan 1 D 1 on ehdottomasti suurempi kuin rhombus L , jos se ei ollut yleinen, mikä osoittaa, että pinta-ala neliö on ehdottomasti suurempi ja päättyy esittelyn.

Lyhyesti sanottuna, jos Q ei ole rombo, rakennamme rombin L samalla kehällä ja ehdottomasti suuremmalla alueella. Sitten, jos L ei ole kehän p neliö , näemme, että alue L on ehdottomasti pienempi kuin neliön C neliö . Tämä kaksinkertainen rakenne osoittaa selvästi, että neliön C pinta-ala on suurempi kuin kaikkien kehän p nelikulmioiden pinta-ala ja että jos kehän p nelikulmion pinta-ala on sama kuin neliön C neliö , se johtuu siitä, että tämä nelikulmainen on myös neliö kehän p .

Mikä tahansa monikulmio

Mielivaltaisen monikulmion tapausta kohdellaan hieman eri tavalla. Seuraava ehdotus voidaan osoittaa käyttämällä edelliseen kappaleeseen verrattavia tekniikoita:

Minkä tahansa monikulmion tapaus  -  Monikulmio, jossa on n sivua, kehän p ja tämän kehän enimmäispinta-ala on säännöllinen .

Jos a n tarkoittaa säännöllisen monikulmion aluetta, meillä on isoperimetriset eriarvoisuudet:

kloei≤s24eirusketus⁡(πei)<s24π.{\ displaystyle a_ {n} \ leq {\ frac {p ^ {2}} {4n \ tan \ vasen ({\ frac {\ pi} {n}} \ oikea)}} <{\ frac {p ^ { 2}} {4 \ pi}}.}

Merkittävä osa todisteesta koostuu seuraavan Zenodorukselle osoitetun lemman luomisesta. Säännöllisen polygonin pinta-alan laskeminen on Archimedeksen työ . Jos ideat ovat vanhoja, tässä ehdotettu sanamuoto on moderni, se eroaa täysin todisteista, jotka on ilmoitettu meille.

Lemma 2  -  Jos monikulmio, jossa on n puolta, on ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan, kahden saman kärjen jakavan puolen väliset kulmat ovat samat.

Esittely

Tavoitteena on osoittaa, että polygonilla P, jolla on n sivua ja kehä p, ei ole enimmäispinta-alaa, ellei se ole säännöllinen. Kuten edellisessä kappaleessa, samoista syistä oletamme, että P on kupera. Siksi riittää osoittamaan, että joko sivut eivät ole kaikki yhtä pitkiä tai ovat, mutta kulmat kahden saman kärjen jakavan reunan välillä eivät ole kaikki samat. Mikä jakaa mielenosoituksen kahteen osaan. Ensimmäinen tulos ilmaistaan ​​seuraavasti:

• Monikulmio, jossa on kaksi eripituista reunaa, ei ole ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan:

Oletetaan, että polygonissamme P on kaksi eripituista reunaa. Huomaa, että tällöin on mahdollista löytää kaksi samaa kärkeä jakavaa reunaa. Itse asiassa, jos kaikki saman kärjen jakavat reunat ovat saman pituisia, huomaamme askel askeleelta, että ne kaikki ovat saman pituisia. Tutkittu tapaus on esitetty oikealla olevassa kuvassa, kolmio ACB , jonka muodostavat kaksi eripituista reunaa, on esitetty vihreällä, sen kärjet on merkitty. Kärkipistettä jakavat kaksi reunaa AB ja CB ovat eri pituisia, edellisen kappaleen Lemma 1 osoittaa, että on mahdollista rakentaa toinen punaisella havainnollistettu kolmio samalle pohjalle AB ja kärjelle D kuten kolmiot ACB ja ADB on sama kehä ja siten, että punaisen ADB- kolmion pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin vihreän.Monikulmion P 1 , jolla on samat kärjet kuin P: llä , lukuun ottamatta C: tä , joka on korvattu D: llä, on ympärysmitta, joka on p ja muuttumaton. Itse asiassa pituus AC + CB on rakenteeltaan yhtä suuri kuin pituus AD + DB . Sen sijaan, alue P 1 on ehdottomasti suurempi kuin P . Tämän vakuuttamiseksi riittää huomata, että sinistä aluetta ei muuteta. Toisaalta vähennetty vihreä alue korvataan punaisella, joka on tiukasti suurempi Lemman 1 mukaan.

• Monikulmio, jolla on vain saman pituiset reunat, mutta joista eroaa vähintään kaksi kulmaa, ei ole ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan:

Oletamme nyt, että pisteisiin liittyvät kulmat eivät ole kaikki yhtä suuria. Oletetaan jopa aluksi kahden kulman α ja β olemassaolo siten, että β on ehdottomasti pienempi kuin α ja että niihin liittyvät pisteet eivät ole vierekkäin, toisin sanoen nämä kaksi kärkeä eivät muodosta polygonin reunaa. Tämä on esitetty vasemmalla olevassa kuvassa, joka sallii samanaikaisesti pisteiden A , B , C , D , M ja N määrittelemisen . Kuten kuvassa on esitetty, etäisyydet δ ja λ ovat vastaavasti AB: n ja CD: n . Koska α on ehdottomasti suurempi kuin β, δ on ehdottomasti suurempi kuin λ.

Muuttamatta kehän P , me rakentaa uusi monikulmio P 1 , jolla on sama pisteiden lukumäärä n , sama kehä, mutta tiukasti suurempi alue, joka osoittaa ehdotusta. Polygon P 1 näkyy oikealla.

Kolmioiden APB ja CQD rakentaminen  : Tarkastellaan oikeanpuoleisessa kuvassa sinistä segmenttiä, jonka pituus on neljä kertaa P 1: n reunan pituinen . Tällä segmentillä on sama pituus kuin neljän reunan AM , MB , CN ja ND pituuksien summa . Tämä pituus valitaan yhtä kuin A: n ja P: n , P: n ja B: n , C: n ja Q: n , Q: n ja D: n välisten etäisyyksien summa . Siksi vihreiden kolmioiden korvaaminen punaisilla ei muuta monikulmion kehää.Olkoon r suhde δ / (δ + λ), jaamme segmentin kahteen osaan, toisen osuuteen r ja toisen osaan (1 - r ). Saamme siis kaksi segmenttiä, joiden pituuksien summa on yhtä suuri kuin 4 kertaa reunan summa, ja nämä kaksi segmenttiä ovat verrannollisia kahteen pituussuuntaan δ ja λ. Kaksi segmenttiä on jaettu kahteen yhtä suureen osaan, saamme 4 segmenttiä, joista kaksi on pituudeltaan nimeltään c 1 ja kaksi muuta kutsutaan nimellä c 2 . Järjestys on valittu siten, että c 1 on suurempi kuin c 2 . Tämä jako on havainnollistettu menetelmällä, joka mahdollistaa sen rakentamisen viivaimen ja kompassin kanssa oikealla olevassa kuvassa. Purppuran segmentin pituus on δ + λ.Anna P kohta etäisyys c 1 on ja B ja Q- pisteen etäisyys c 2 ja C ja D . Rakentamalla kolmiot APB ja CQD ovat tasakylkisiä, ja ne ovat lisäksi samankaltaisia. Todellakin, suhde etäisyydet AB päälle AP on rakenteellisesti yhtä kuin CD on CQ . P- ja Q- pisteille on kaksi vaihtoehtoa , me tietysti valitsemme ne, jotka tekevät P 1: stä kuperan. Voimme nyt vaihtaa kaksi vihreää tasakylkistä kolmiota kahdella punaisella tasakylkisellä kolmiolla muuttamatta kehää. Kaksi punaista tasakylkistä kolmiota ovat samanlaisia, mikä ei päde vihreisiin kolmioihin, muuten kulmat α ja β olisivat samat. Tämän samanlainen luonne tekee mahdolliseksi osoittaa, että alue P on ehdottomasti pienempi kuin P- 1 . Tämä on seuraavan mielenosoituksen aihe. P: n ja P 1  : n alueiden vertailu : Koska tämän avattavan ruudun kahden ensimmäisen numeron sinistä aluetta ei ole muutettu, tämä osoittaa osoittavan, että vihreiden kolmioiden pinta-alojen summa on pienempi kuin punaisten kolmioiden pinta-alojen summa.Alueiden vertailemiseksi leikkaamme ne pois ja sijoitamme suorakulmioon. Aloitetaan punaisista suorakulmioista. Olkoon k 1 ja k 2 heidän korkeutensa. Jos leikkaamme kolmiot niiden korkeuksien mukaan, saadaan kullekin kahdelle suoralle kolmiolle, joiden sivut ovat k i , missä i vaihtelee välillä 1 - 2. Voimme koota ne muodostamaan suorakulmioita, kuten oikealla olevassa kuvassa on esitetty, koska punaiset kolmiot ovat tasakylkisiä. Huomaa, että nämä kaksi lävistäjää ovat kohdakkain, koska kolmiot ovat samanlaisia. Sama käsittely vihreillä kolmioilla antaa vasemmalla olevan tuloksen, jos h 1 ja h 2 tarkoittavat kahden kolmion korkeuksia. Huomaa, että tällä kertaa h 1 on pienempi kuin k 1 , ensimmäinen vihreä suorakulmio on litistetty enemmän kuin sen punainen ekvivalentti. Itse asiassa, jos k 1 olivat pienempiä kuin h 1 , niin k 2 olisi vieläkin pienempi. Todellakin, λ on pienempi kuin δ ja kaksi punaista kolmiota ovat samanlaisia. Punaisen kolmion reunojen summa olisi tiukasti pienempi kuin vihreiden kolmioiden reunojen summa, mikä ei ole mahdollista, rakenteeltaan nämä summat ovat samat. Voimme myös huomata, että vihreiden kolmioiden kaksi lävistäjää ovat monikulmion P 1 reunan pituisia ja että niiden summa on yhtä suuri kuin punaisen suorakulmion lävistäjien summa. Johtopäätöksenä on, että h 1 + h 2 on ehdottomasti pienempi kuin k 1 + k 2 . Kahden kuvan päällekkäisyys antaa kaavion oikeassa alakulmassa. On vihreä alue, jota punainen alue ei peitä (Punaisen ja vihreän suorakulmion peittämät alueet näkyvät sinisellä). Koska δ on ehdottomasti suurempi kuin λ, riittää, että vedät tämän alueen vasemmalle niin, että vihreä peitetään kokonaan. Oikeassa yläkulmassa on sitten peittämätön punainen vyöhyke, mikä osoittaa, että punaisten kolmioiden pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin vihreiden kolmioiden pinta-ala.

Voimme nyt käsitellä kappaleen yleistä tapausta. Toisin sanoen tapaus, jossa kulmat α ja β ovat vierekkäin.

• Epäsäännöllinen monikulmio ei ole koskaan ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan:

Jos n on 4, löydämme todistuksen edellisestä kappaleesta. Jos n on yhtä suuri kuin 3, kolmion, jolla on 3 yhtä suurta sivua, väistämättä on kolme yhtä suurta kulmaa. Jos n on suurempi tai yhtä suuri kuin 5, edellinen todiste osoittaa, että säännöllisen polygonin tapauksessa ensimmäiseen kärkeen liittyvä kulma on yhtä suuri kuin mihin tahansa kärkeen liittyvä kulma, paitsi että toinen on viimeinen. Neljänteen kärkeen liittyvä kulma, joka ei ole koskaan viimeinen, koska n on suurempi tai yhtä suuri kuin 5, on sama kuin ensimmäiseen ja toiseen kärkeen liittyvä kulma. Ensimmäisellä ja toisella kärjellä on siis samat kulmat. Sama päättely, joka käyttää kolmatta kärkeä, osoittaa, että ensimmäiseen ja viimeiseen kärkeen liittyvät kulmat ovat myös samat.

• Säännöllisen monikulmion, jossa on n sivua ja kehä p, pinta-ala on yhtä suuri kuin p 2 / 4n tan (π / n):

Voimme yksinkertaisesti laskea säännöllisen monikulmion isoperimetrisen osamäärän. Selittävä kuva on vasemmalla. Laskelmat on esitetty artikkelissa Säännöllinen monikulmio .

Jos a on monikulmion pinta-ala, jolla on n kehän p puolta , sen pinta-ala on pienempi kuin tavallisen monikulmion pinta-ala, mikä osoittaa isoperimetrisen epätasa-arvon ensimmäisen osan. Johdannainen on tangentti toiminnon välillä] 0, π / 2 [on ehdottomasti suurempi kuin 1, äärellinen välein lause osoittaa toinen osa epäyhtälön:

rusketus⁡(πei)>πeija4π<4eirusketus⁡(πei).{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)> {\ frac {\ pi} {n}} \ quad {\ text {ja}} \ quad 4 \ pi <4n \ tan \ vasen ({\ frac {\ pi} {n}} \ oikea).}

Ei monikulmainen reunus

Ei-polygonaalisen reunan tapaus on tuskin monimutkaisempi, jotta saavutettaisiin edellisiä vastaava tulos:

Minkä tahansa pinnan tapaus  -  Kaikki pinnat, joiden ympärysmitta on p ja tämän kehän suurin pinta-ala, ovat levy .

Temppu on Steinerin työ, joka löytää symmetrisointiprosessin , jota käytetään edelleen ja joka nyt kantaa hänen nimeään.

Steiner-esittely

Oletetaan, että S on pinta, jonka pinta-ala on a ja kehä p . Oletetaan lisäksi, että alue a on suurin kehälle p . Tämä pinta on esitetty vasemmalla, sillä on munan muoto, joka on sijoitettu vaakasuoraan. Tavoitteena on osoittaa, että ristiriitojen välttämiseksi S on välttämättä levy. Valittu alkuperäinen muoto ei ole levy, joka kuvaa ristiriitaa elävämmin.

• Δ-akselin ja pisteen O rakenne  :

Tavoitteena on leikata kuvio kahteen yhtä suureen ja symmetriseen osaan. Ensinnäkin pidämme pisteen P alueen oikea puoli D päähän P , jonka leikkaus kanssa S pienenee pisteeseen P . Olkoon f funktion [0, 2π] funktio, joka kulmassa φ yhdistää S: n ja puoliviivojen D rajaaman vyöhykkeen leikkausalueen ja sen pyörimisen kulmaan φ. Arvo f (φ) vastaa kuvion tummansinisen alueen aluetta. Huomaa, että f (0) on yhtä suuri kuin 0 ja f (2π) on a . Koska toiminto f on jatkuva, on φ arvo, jonka kuva alla f on yhtä suuri kuin puoli pintaan S . Kuvassa tämä of-arvo on yhtä suuri kuin π. Olkoon Δ tähän viivaan associated liittyvä viiva, se leikkaa pinnan S kahteen osaan yhtä pinta-alasta.

Piste P on yksi S: n kahdesta rajapisteestä, jotka kuuluvat Δ: een, olkoon Q näiden kahden pisteen toinen rajapiste ja O keskipiste. S: n yläosan A kehä on sama kuin alaosan kehä. Jos kehä olisi pienempi ylhäältä, kehäalueella, joka on Δ: n yläpuolella yhtä suuri kuin S: n , sitten alapuolella yläosan puolikierroksen kiertymiseen pisteeseen O nähden , olisi täsmälleen sama pinta pienemmälle kehälle. Tämän pinnan laajentaminen antaisi ehdottomasti suuremman pinta-alan samalle kehälle. Tämä on mahdotonta, koska S valitaan maksimiksi. Jos S on levy, akseli A on läpimitan akseli, O levyn keskikohta ja alempi vyöhyke ovat ylemmän symmetrinen.

• QAPB- nelikulmion rakentaminen  :

Emme kuitenkaan toimi S: llä , vaan S 1: llä , joka näkyy oikealla olevassa kuvassa. Alavyöhykkeen raja valitaan yhtä suuri kuin puoli kierrosta ylemmän vyöhykkeen kierrosta. Koska kierto on isometria, kehää eikä aluetta ei ole muutettu. Alueen S 1 on myös maksimi kehä s .

Olkoon olla piste rajalla S 1 ( eroaa P ja Q ) ja B sen symmetrinen O. Kuviossa S 1 on symmetrinen O, piste B on myös rajalla S 1 . Neljä segmenttiä QA , AP , PB ja BQ leikkaa uuden pinnasta 5 osaa, 4 violetti lunulae oikealla kuviossa ja vaaleanpunainen suunnikas .

• Asemaa  :

Nelikulmioiden todiste osoittaa, että suurin pinta-alainen romb, isoperimetrillä, on neliö. Tämä sama osoitus osoittaa, että suorakulmio on suuremman pinnan suuntainen suunta, isoperimetrillä ja muuttamatta sivujen pituutta. Jos QAPB suunnikkaan ei ole suorakulmio, on mahdollista rakentaa uusi pinta S 2 siirtämällä neljä lunulas niin tehdä QAPB alueella suorakulmainen, kuten on esitetty kuviossa vasemmalla.

Jos QA ja AP eivät olleet kaksi aluksi kohtisuoraa segmenttiä, saisimme uuden luvun, jonka kehä olisi sama kuin S ja jonka pinta-ala olisi ehdottomasti suurempi, mikä on hypoteesin mukaan mahdotonta. Kolmio QAP on siis suorakulmio kohdassa A, joka puoliympyrään kirjoitetun kolmion lauseen mukaan sijoittaa pisteen A halkaisijan ympyrään [PQ] . Piste jotka on valittu määrittelemätön rajalla S 1 (eri P tai Q ), kaikki kohdat rajan ovat ympyrän halkaisija [PQ] ja S 1 on siis levy.

Topologia

Nelikulmaista tapausta lukuun ottamatta vakiintuneet lauseet eivät ole yhtä voimakkaita kuin ne näyttävät. Yksi saa tietoonsa vain keskellä XIX : nnen  vuosisadan . Lauseet osoittavat, että jos pinnan enimmäispinta-ala on, se piirtää säännöllisen monikulmion tai levyn tutkitusta tapauksesta riippuen. Toisaalta ne eivät tarkoita, että tavallinen polygoni tai levy saavuttaisi tämän maksimin. Tämä mielenosoituksen osa, tämä puuttuva lenkki vaatii kehittyneempiä työkaluja kuin Steinerin aikaan löydetyt. He käyttävät matematiikan haaraa, jota kutsutaan topologiaksi .

Kaikilla tässä artikkelissa esitetyillä perusteluilla, nelikulmioita lukuun ottamatta, on sama looginen rakenne. Osoitetaan, ettei mikään ratkaisu ole hyväksyttävä yhtä lukuun ottamatta. Tämä ei osoita, että jäljellä oleva olisi ratkaisu. Matemaatikko O.Perron havainnollistaa loogista vikaa havaitsemalla, että tämäntyyppisen todisteen hyväksyminen merkitsisi mahdollisuuden osoittaa, että 1 on suurin kokonaisluvuista. Jos kokonaisluku on erilainen kuin 1, neliön on ehdottomasti suurempi kuin . Luku a ei siis voi olla suurin kokonaislukuista. Ainoa poikkeus ehdottomasti positiivisten kokonaislukujen joukossa on 1, joka olisi silloin suurin kokonaislukuista.

Näin ollen on osoitettu, että pinta kehä p ja suurin alue voi olla vain levy, mutta ilmoitus ei tarkoita, että levy on itse asiassa suurin pinta, tai että säännöllinen monikulmio n sivut on enintään alueen kesken polygoneja kanssa n samaa reunaa. Nämä kaksi tulosta ovat kuitenkin totta, niihin liittyviä todisteita ehdotetaan artikkelissa Isoperimetrinen lause . Kolmion tapauksessa voimme silti saavuttaa tuloksen rajoittumalla todellisen muuttujan jatkuvan funktion käyttöön todellisilla arvoilla.

Kolmion tapaus

• Mikä tahansa kehän p ja maksimialueen kolmio on tasasivuinen:

Lemma 1 osoittaa, että jos kolmio ei ole tasasivuinen, se ei voi olla ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan. Itse asiassa, jos kolmen sivun kolme pituutta merkitään a , b ja c , lemma osoittaa, että a  =  b ja että b  =  c on välttämätön edellytys kolmion maksimipinta-alalle. Päätelmämme on, että tällainen kolmio on tasasivuinen.

Lopuksi riittää, että osoitetaan, että ainakin yksi ratkaisu on olemassa.

• Kolmioissa on ratkaisu isoperimetriseen ongelmaan:

Meidän on osoitettava, että on olemassa kolmio, jonka ympärysmitta on p ja suurin pinta-ala. Lemma osoittaa, että on olemassa tasakylkisen kolmion T i kehä p ja ala on suurempi kuin alkuperäisen kolmion. Siksi riittää osoittaa, että minkä tahansa kehän p tasakylkisen kolmion pinta-ala on pienempi kuin kehän p ja sivun c kolmion T e . Anna c + 2 ε olla pituus pohjan T i ja c - ε pituus kahteen yhtä puolta. Tässä ε on reaaliluku välillä - c  / 2 ja c  / 4. T i: n pinta-ala on puolipituuden 1/2 ( c + 2 ε ) tulo korkeuden h perusteella , jonka antaa Pythagoraan lause  :

h2=(vs.-e)2-(12vs.+e)2=34vs.2-3vs.e.{\ displaystyle h ^ {2} = \ left (c- \ varepsilon \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {1} {2}} c + \ varepsilon \ right) ^ {2} = { \ frac {3} {4}} c ^ {2} -3c \ varepsilon.}

Jos a i on tasakylkisen kolmion pinta-ala, meillä on kaava:

kloi2=(12vs.+e)2(34vs.2-3vs.e).{\ displaystyle a_ {i} ^ {2} = \ vasen ({\ frac {1} {2}} c + \ varepsilon \ oikea) ^ {2} \ vasen ({\ frac {3} {4}} c ^ {2} -3c \ varepsilon \ oikea).}

Toiminto, joka kanssa ε osakkuusyritysten i 2 on jatkuva , se on esitetty kuvassa oikealla. Itse asiassa se on kolmannen asteen polynomifunktio . Se on määritelty segmentille , rajojen teoreema vakuuttaa meille, että maksimiarvo on saavutettu. Toisin sanoen on olemassa ainakin yksi ratkaisu kolmioiden isoperimetriseen ongelmaan. Graafisesti havaitsemme, että tämä ratkaisu vastaa pistettä ε = 0 , toisin sanoen tasasivuista kolmiota. Tämä tulos on yhdenmukainen edellisen ehdotuksen kanssa.

Esimerkkejä

Kaupungin valleilla

Dido ei ole ainoa johtaja, joka joutuu kohtaamaan kysymyksen suurimmasta pinnasta tietyllä kehällä. Keskiaikaisen kaupungin valleilla vaaditaan sekä paljon rakennustöitä että runsaasti sotilaita suojellakseen kaupunkia hyökkäyksissä. Nämä kaksi syytä suosivat kaupungin sisäpinnan maksimointia suhteessa sen kehään.

Käytetty geometria ei aina ole euklidisen tason geometria. Esimerkiksi euklidinen puolitaso mahdollistaa paremman suhteen saavuttamisen. Ratkaisu on puoliympyrä, se on kaksi kertaa tehokkaampi. Käyttämällä valli, jonka pituus on s , me kattaa pinnan p 2 / 2π. Kölnin kaupunki käyttää tätä lähestymistapaa suojellakseen kaupunkiaan keskiajalla.

Vuonna XVIII nnen  vuosisadan muut rajoitteet suosivat hyvin erilainen geometria. Että Lille esimerkiksi perustuu periaatteeseen nipistimen, esittää reunat vaikea tykki kasvoihin. Se tarjoaa paremman vastustuksen tykistön hyökkäyksille.

Liemen silmä

Liemessä oleva silmä koostuu pisarasta öljyä suspendoituna veteen. Öljyn ja veden välinen kosketuspinta kuluttaa potentiaalista energiaa . Pienimmän potentiaalienergian pisteeseen saavutettu tasapaino saadaan geometrialla minimoimalla tämä rajapinta-alue. Puhuen kuvallisella sanalla: "Epämiellyttävimmät molekyylit ovat rajapinnalla (toisin sanoen öljyn ja liemen välillä), joten mitä suurempi rajapinta, sitä parempi järjestelmä. Epämiellyttävä" .

Tästä syystä pisarat omaksuvat pyöreän geometrian. Jos kaksi silmää sulautuvat, ne saavat heti tämän muodon. Jos toinen silmä leikataan puoliksi esimerkiksi veitsellä, myös saadut kaksi silmää saavat pyöreän muodon.

Tämä sama syy asettaa pallomaisen muodon saippuakuplille, jotka eivät ole liian suuria. Potentiaalinen energia on suurin, jos kuplan pinta on minimaalinen. Kuplalla on taipumus sulkea ilmamäärä pallomaisessa tilassa, koska se minimoi pinnan mahdollisimman hyvin tietylle tilavuudelle (loukkuun jääneen ilman tilavuus).

Ikosaedri

Isoperimetrian lause osoittaa, että minkä tahansa mitattavan kiinteän aineen, jolla on mitattava alue, tilavuus on pienempi kuin saman alueen pallon tilavuus. Näin ollen kiinteä pinta S on aina tilavuus V pienempi kuin V: n , joka on pallo, jolla on sama pinta-ala:

V≤Vs.{\ displaystyle V \ leq V_ {s}.}

Säteen r pallon pinta-ala on 4π r 2 . Kyseisen pallon säde r on yhtä suuri kuin √ S / (2 √ π ) . Tilavuus V s on yhtä suuri kuin 4π r 3 /3 . Johtopäätös uusi kasvu:

Vs=4πS3/224π3/2=S3/26π.{\ displaystyle V_ {s} = {\ frac {4 \ pi S ^ {3/2}} {24 \ pi ^ {3/2}}} = {\ frac {S ^ {3/2}} {6 {\ sqrt {\ pi}}}}.}

Kaava ilmaistaan ​​yksinkertaisemmin, jos se on neliö. Saamme:

q=36πV2S3≤1.{\ displaystyle q = {\ frac {36 \ pi V ^ {2}} {S ^ {3}}} \ leq 1.}

Tämä antaa isoperimetrisen epätasa-arvon muodon ja isoperimetrisen osamäärän kaavan, joka on merkitty tähän q . Ikoahedronin tapauksessa ja jos a tarkoittaa kiinteän aineen reunaa, meillä on seuraavat kaavat:

V=5φ26klo3jaS=53klo2kanssaφ2=φ+1.{\ displaystyle V = {\ frac {5 \ varphi ^ {2}} {6}} a ^ {3} \ quad {\ text {et}} \ quad S = 5 {\ sqrt {3}} a ^ { 2} \ quad {\ text {kanssa}} \ quad \ varphi ^ {2} = \ varphi +1.}

Tässä φ tarkoittaa kultaista lukua, joka on yhtä suuri kuin1 + √ 5/2. Löydämme :

q=36π52φ4klo662⋅53⋅33klo6=πφ4153≈0,82799772.{\ displaystyle q = 36 \ pi {\ frac {5 ^ {2} \ varphi ^ {4} a ^ {6}} {6 ^ {2} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {3 }} a ^ {6}}} = {\ frac {\ pi \ varphi ^ {4}} {15 {\ sqrt {3}}}} \ noin 0,82799772.}

Tämä isoperimetrinen osamäärä on korkein mahdollinen arvo Platonin kiinteälle aineelle .

Huomautuksia ja viitteitä

1. Tämä kaiverrus vuodelta 1630 ja tulee Historische kroonisesti jonka Johann Ludwig Gottfried  (de) . Se on Matthäus Merian vanhempi.
2. Virgil , Aeneid [ yksityiskohdat painoksista ] [ lue verkossa ] , kirja 1, 16.
3. Nämä tiedot pituudesta ovat peräisin "  Isoperimetrisestä ongelmasta  " , IREM Orleansista , s.  1 .
4. Bernard Teissier , "  Kuparien kappaleiden, geometrian ja algebran volyymit  " , Jussieun matematiikan instituutti (oppitunti annettu 7. lokakuuta 1999, kirjoittanut C. Reydy), s.  1-2 .
5. Löydämme tämän määritelmän artikkelista F. Viot, "Variaatioiden laskennan ja sen sovellusten kehittäminen dynamiikkaan", Mnémosyne , nro 4-5. s. 35 63 ( ISBN  2866120868 )
6. (in) William Dunham , matemaattinen Universe: aakkosellinen halki Suuren Todisteet, ongelmat, ja persoonallisuuksia , Wiley 1994 ( ISBN  978-0-471-53656-7 ) , s.  112 .
7. (in) Thomas Pikku Heath , A History of kreikkalaisen matematiikan , Vol.  2: Aristarchuksesta Diophantukseen , Dover ,2013( 1 st  ed. 1921), 608  s. ( ISBN  978-0-486-16265-2 , luettu verkossa ) , s.  206-207.
8. (in) Paul J. Nahin , milloin vähiten on parasta: kuinka matemaatikot löysivät monia fiksuja tapoja tehdä asioista mahdollisimman pieniä (kultaisia ​​suuria) , PUP ,2007, 372  Sivumäärä ( ISBN  978-0-691-13052-1 , luettu verkossa ) , s.  47.
9. (in) Ivor Thomas, Kreikan matematiikkateokset , Voi. 2: Aristarchuksesta Pappukseen , kokoelma. Loebin klassinen kirjasto, HUP , 1941 ( ISBN  978-0-67499399-0 ) , s.  395 .
10. (sisään) Richard Lorch, "Abū Ja'far al-Khāzin me isoperimetria ja arkhimedean perinne", Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften , voi. 3, 1986, s.  150 - 229 .
11. Hélène Bellosta , "  Arabitieteiden historiasta  ", Gazette des mathématiciens , voi.  82,1999, s.  37–44 ( lue verkossa ).
12. Nämä tiedot ovat peräisin "Isoperimetrisestä ongelmasta", IREM Orleansista , s.  11.
13. Teissier, "Kuparien kappaleiden, geometrian ja algebran volyymit" , s.  6.
14. Se on saanut inspiraation ajatuksesta: D. Wells Curious and Interesting Geometry, The Penguin Dictionary of Penguin (Non-Classics) (1992) s. 123 ( ISBN  0140118136 )
15. Tässä esitetty todiste on hyvin klassinen, se löytyy esimerkiksi artikkelista "Isoperimetrinen ongelma", IREM Orleansista , s.  4.
16. yksi toteaa todisteet "THE isoperimetric ongelma", on IREM Orleansin , s.  7.
17. Tämä esittely esitetään joskus täydellisenä ja tarkkana: G. Villemin Variaatioiden laskeminen Numerot: uteliaisuuksien teoriakäyttö. Akateemiset asiakirjat ovat päinvastaisessa asemassa. B. Teissier sijoittaa ensimmäisen tiukan mielenosoituksen melkein 60 vuotta myöhemmin: Teissier, “Volumes des corps convexes, géometry et algebre” , s.  6.
18. F. Mekko , ”  isoja ongelmia  matematiikan, ” SMF Bulletin , Voi.  115, n o  lisäsi: konferenssi "eteenpäin matematiikka"1987, s.  43.
19. Tämä esimerkki on otettu asiakirjasta "Isoperimetrinen ongelma", IREM Orleansista , s.  1.
20. "Isoperimetrinen ongelma", IREM d'Orléans , s.  1.

Katso myös

Bibliografia

• (en) Isaac Chavel , isoperimetriset eriarvoisuudet: differentiaaligeometriset ja analyyttiset näkökulmat , CUP ,2001, 268  Sivumäärä ( ISBN  978-0-521-80267-3 , lue verkossa )
• (en) David Pollard , teoreettisen todennäköisyyden mittaamisen käyttöopas , CUP,2002( ISBN  978-1-139-93653-8 , lue verkossa )

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Suurin pieni monikulmio  (en)

Ulkoiset linkit

• "  Säännöllisestä polygoneja ympyrän  " puolesta IREM mistä Paris-Nord Yliopisto
• (en) Jennifer Wiegert , "  Piirien sagasiteetti: historia isoperimetrisestä ongelmasta - Pappuksen työ  " , MAA: n digitaalikirjastossa

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">